素数验证算法——直面大数据

      素数的验证，可能会被作为所谓“循环练习”的题目。因为其算法实在太简单（不知道直接暴力循环能不能算一种算法）。经典的方法就是试除，用循环变量i从2开始到n-1，如果有取模为0的，就直接return false。到最后，还没有模出0，就return true。这个算法也可以优化n-1为sqrt(n)。原理是：设x为大于sqrt(n)的数，n=xy，则y一定小于sqrt(n)，所以只要验证到sqrt(n)，就能验证到y，相当于验证到了x。

      以上这种暴力算法，如果有N个数要验证，则时间复杂度为O(sqrt(N)*N)，面对类似于N=100000000的数据明显力不从心。所以，我们可以使用筛选法：依次剔除2、3、5、7等素数的倍数，最后就能得出一张素数表。建表后，查询素数只要O(1)的时间复杂度。但是对于以上数量级的N，仍然不能很快的求出一张素数表，消耗时间高达2.1s。所以，我们还要加以优化。

      众所周知，除去2以外，所有的偶数均为合数。所以，素数表内可以除去偶数。即prime[0]代表3是否为素数，prime[1]代表5……而且，筛数也不必筛到N，只要筛到sqrt(N)即可。设key1(i)=i*2+3;key2(i)=(i-3)/2，这分别对应素数表内第i个位置表示的奇数与奇数i在素数表内的存储位置。原来筛的时候，i*(2,3,4…)简化为了i*(3,5,7…)。头一次筛掉的数为key2(key1(i*i))，简化后为(i*i)*8+3，之后每次累加的数为key2(key1(i+2))-key2(key1(i))，简化后为i*2+3，这样推导完成以后，程序就很容易写了。下面给出源代码：

#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=100000001;
const int N1=(N-3)/2;
bool prime[N1+1];
int tmp;

int main(void){
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    for (int i=0;i<(int(sqrt(N))-3)>>1;++i){
        if (prime[i]){
            tmp=((i*i)<<3)+3;
            while (tmp<N1){
                prime[tmp]=false;
                tmp+=(i<<1)+3;
            }
        }
    }
    printf("%d\t",2);
    for (int i=0;i<N1;++i)
        if (prime[i])   printf("%d\t",i*2+3);
    return 0;
}

      附上各种方法的时间与内存占用统计表（测试环境：MinGw4.9.2，Intel Xeon E3 1230V2，去除IO输出时间）：

	时间	内存
暴力试除法	N/A（太长了）	1Mb
朴素筛选法	2.1s	98Mb
优化后的筛选法	1.0s	50Mb