UVA1660 电视网络 Cable TV Network[拆点+最小割]

题意翻译

题目大意： 给定一个n(n <= 50)个点的无向图，求它的点联通度。即最少删除多少个点，使得图不连通。

解析

网络瘤拆点最小割。

定理

最大流\(=\)最小割

感性地理解（口胡）一下：首先显然最大流\(<=\)割，而根据最大流定义，最小割恰恰就是要恰好割断最大流经过的所有最窄流量的边集，就能恰好使得源点和汇点不连通，即最大流\(=\)最小割。

至于具体的证明，我也不知道。

拆点

一般来说，正常的拆点有两个作用：

1. 在不改变原图连通性的情况下，将点权转化为边权。
2. 通过化点为边，限制通过某点的流量。

对于无向图和有向图，一般意义上的拆点做法是相同的。

一般做法：以有向图为例，对于原图中的一个点对\((x,y)\)，且有一条有向边\(c(x,y)\)。我们将其分别拆成两个点\(x,x',y,y'\)，然后\(x\rightarrow x',y\rightarrow y'\)这样连接有向边，如果原来的点有点权那么将有向边的边权赋值为点权，如果没有点权则赋值为1。对于原图存在的有向边，连接\(x'\rightarrow y\)。

对于无向边，我们再连一条边\(y'\rightarrow x\)即可。

那么对于本题，显然是一个求最少割点，我们转化为拆点最大流做。

注意可能有多组数据。

参考代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 110
using namespace std;
struct node{
	int next,ver,leng;
}g[N<<1];
int tot,head[N],d[N],n,m,a[N],b[N],s,t;
inline void add(int x,int y,int val)
{
	g[++tot].ver=y,g[tot].leng=val;
	g[tot].next=head[x],head[x]=tot;
}
inline bool bfs()
{
	memset(d,0,sizeof(d));
	queue<int> q;
	d[s]=1;q.push(s);
	while(q.size()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=g[i].next){
			int y=g[i].ver,z=g[i].leng;
			if(!z||d[y]) continue;
			d[y]=d[x]+1;
			if(y==t) return 1;
			q.push(y);
		}
	}
	return 0;
}
inline int dinic(int x,int flow)
{
	if(x==t) return flow;
	int rest=flow;
	for(int i=head[x];i&&rest;i=g[i].next){
		int y=g[i].ver,z=g[i].leng;
		if(!z||d[y]!=d[x]+1) continue;
		int k=dinic(y,min(rest,z));
		if(!k) d[y]=0;
		else{
			g[i].leng-=k;
			g[i^1].leng+=k;
			rest-=k;
		}
	}
	return flow-rest;
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
		int ans=INF;
		for(int i=0;i<m;++i){
			a[i]=b[i]=0;
			char str[20];
			scanf("%s",str);
			int j=1;
			while(str[j]!=',') a[i]=a[i]*10+str[j]-'0',++j;
			j++;
			while(str[j]!=')') b[i]=b[i]*10+str[j]-'0',++j; 
		}
		for(s=0;s<n;++s)
			for(t=0;t<n;++t){
				if(s==t) continue;
				memset(head,0,sizeof(head));
				tot=1;
				for(int i=0;i<n;++i)
					if(i==s||i==t) add(i,i+n,INF),add(i+n,i,0);
					else add(i,i+n,1),add(i+n,i,0);
				for(int i=0;i<m;++i){
					add(a[i]+n,b[i],INF),add(b[i]+n,a[i],INF);
					add(b[i],a[i]+n,0),add(b[i],a[i]+n,0);
				}
				int now=0,tmp=0;
				while(bfs())
					while((now=dinic(s,INF))) tmp+=now; 
				ans=min(ans,tmp);
			}
		if(n<=1||ans==INF) ans=n;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}