P1080 【NOIP 2012】 国王游戏[贪心+高精度]
题目来源：洛谷
题目描述
恰逢 H国国庆，国王邀请n 位大臣来玩一个有奖游戏。首先，他让每个大臣在左、右手上面分别写下一个整数，国王自己也在左、右手上各写一个整数。然后，让这 n 位大臣排成一排，国王站在队伍的最前面。排好队后，所有的大臣都会获得国王奖赏的若干金币，每位大臣获得的金币数分别是：排在该大臣前面的所有人的左手上的数的乘积除以他自己右手上的数，然后向下取整得到的结果。
国王不希望某一个大臣获得特别多的奖赏，所以他想请你帮他重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖赏最多的大臣，所获奖赏尽可能的少。注意，国王的位置始终在队伍的最前面。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数n，表示大臣的人数。
第二行包含两个整数 a和 b，之间用一个空格隔开，分别表示国王左手和右手上的整数。
接下来 n行，每行包含两个整数a 和 b，之间用一个空格隔开，分别表示每个大臣左手和右手上的整数。
输出格式：
一个整数，表示重新排列后的队伍中获奖赏最多的大臣所获得的金币数。
输入输出样例
说明
【输入输出样例说明】
按1、2、3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 22；
按 1、3、2 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为22；
按 2、1、3 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 22；
按2、3、1这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为99；
按 3、1、2这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 22；
按3、2、1 这样排列队伍，获得奖赏最多的大臣所获得金币数为 99。
因此，奖赏最多的大臣最少获得 2个金币，答案输出 2。
【数据范围】
对于 20%的数据，有 1≤n≤10,0<a,b<8；
对于 40%的数据，有 1≤n≤20,0<a,b<8；
对于 60%的数据，有 1≤n≤100；
对于 60%的数据，保证答案不超过 10^9；
对于 100%的数据，有 1≤n≤1,000,0<a,b<10000。
NOIP 2012 提高组 第一天 第二题
是时候重修高精度了。。。没想到还有直接用int型来算的高精度，之前我打都是char型的，复杂了许多。。。
学到了学到了。（鼓掌）
解析：
嗯，这道题啊，说难也难，说不难，其实也不是很难，一个微扰就证明贪心策略了。
我主要栽在高精度上，码了半天没出来最后看题解去了。。。（国王：这锅我不背）
我们假设对于任意一种数据，第i个大臣左手的数值为l[i],右手为r[i],那么这个大臣后面那个大臣就是l[i+1]和r[i+1]。
根据题意，第i个大臣可以拿到的金币就是l[1]*l[2]*...l[i-1])/r[i](我们假设国王是i=1)，第i+1个大臣可以拿到l[1]*l[2]*...*l[i]/r[i+1]个金币。
我们来微扰一下：贪心的微扰法的原理就是在最优情形下，如果改动最优策略的选择，势必会造成整体不优。
那么我们就作死地改变一下第i个大臣和第i+1个大臣的顺序吧，反正他们没什么好反驳的（这个叫临项交换）。
于是我们得到：由于第i个大臣和第i+1个大臣换了下位置，那么第i个大臣（原第i+1个）的金币就变成了l[1]*l[2]*...l[i-1]/r[i+1],第i+1个大臣呢，就变成了l[1]*l[2]*...l[i]/r[i]。
我们来比较一下交换前后他们二者获得最多（注意是最多）金币的多少吧。
交换前：l[1]*l[2]*...l[i-1])/r[i] 与 l[1]*l[2]*...l[i]/r[i+1]。我们需要从二者中找到较大值来跟交换后比较。
交换后：l[1]*l[2]*...l[i-1]/r[i+1] 与l[1]*l[2]*...l[i-1]*l[i+1]/r[i]。我们需要从二者中找到较大值来跟交换前比较。
哇，这看起来真长,是不是眼花缭乱了？不过没关系，我们可以化简它。
提取公因式l[1]*l[2]*...l[i-1]之后,我们得到：
max(1/r[i],l[i]/r[i+1])与max(1/r[i+1],l[i+1]/r[i])
两边同时乘r[i]*r[i+1]得到：
max(r[i+1],l[i]*r[i])与max(r[i],l[i+1]*r[i+1])
很好，接下来我们只需要在二者之间找到最大值：
max(r[i+1],l[i]*r[i]) 与 max(r[i],l[i+1]*r[i+1])
我们知道大臣序列都是正整数，于是可以得到任意的r[i+1]<=l[i+1]*r[i+1],r[i]<=l[i]*r[i]。
所以，根据上一条我们得到的，如果l[i+1]*r[i+1]>l[i]*r[i]，那么必然有 左<右。
反之如果l[i]*r[i]>l[i+1]*r[i+1]，那么就是 左>右。
不难看出，我们用左右手数值的乘积排个序就得了。
是的，仔细想想，本题最优情况就是没有逆序对的时候，这样的话我们就可以枚举一遍排序后的序列找到最优解咯。
PS：这里我不写累乘符号，其实呢。。。是因为我懒得打。
参考代码：（丑的要死，依葫芦画瓢的高精度。。。）
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<queue> 5 #include<cstring> 6 #define N 10010 7 #define ll long long 8 using namespace std; 9 int ans[N],add[N],sum[N]; 10 struct node{ 11 ll l,r; 12 }a[N]; 13 bool cmp(node a,node b) 14 { 15 return a.l*a.r<b.l*b.r; 16 } 17 void multiply(ll x) 18 { 19 memset(add,0,sizeof(add)); 20 for(int i=1;i<=ans[0];i++) 21 { 22 ans[i]=ans[i]*x; 23 add[i+1]+=ans[i]/10; 24 ans[i]%=10; 25 } 26 for(int i=1;i<=ans[0]+4;i++) 27 { 28 ans[i]+=add[i]; 29 if(ans[i]>=10) 30 { 31 ans[i+1]+=ans[i]/10; 32 ans[i]%=10; 33 } 34 if(ans[i]!=0) 35 { 36 ans[0]=max(ans[0],i); 37 } 38 } 39 } 40 void chu(ll x) 41 { 42 memset(add,0,sizeof(add)); 43 int q=0; 44 for(int i=ans[0];i>=1;i--) 45 { 46 q*=10; 47 q+=ans[i]; 48 add[i]=q/x; 49 if(add[0]==0&&add[i]!=0) 50 { 51 add[0]=i; 52 } 53 q%=x; 54 } 55 } 56 bool compare() 57 { 58 if(sum[0]==add[0]) { 59 for(int i=add[0];i>=1;i--) { 60 if(add[i]>sum[i]) return 1; 61 if(add[i]<sum[i]) return 0; 62 } 63 } 64 if(add[0]>sum[0]) return 1; 65 if(add[0]<sum[0]) return 0; 66 } 67 void cp() 68 { 69 memset(sum,0,sizeof(sum)); 70 for(int i=add[0];i>=0;i--) 71 { 72 sum[i]=add[i]; 73 } 74 } 75 void print() 76 { 77 for(int i=sum[0];i>=1;i--) printf("%d",sum[i]); 78 } 79 int main() 80 { 81 int n; 82 cin>>n; 83 scanf("%lld%lld",&a[1].l,&a[2].r); 84 for(int i=2;i<=n+1;i++) scanf("%lld%lld",&a[i].l,&a[i].r); 85 sort(a+2,a+n+2,cmp); 86 memset(ans,0,sizeof(ans)); 87 ans[0]=1; 88 ans[1]=1; 89 for(int i=2;i<=n+1;i++) 90 { 91 multiply(a[i-1].l); 92 chu(a[i].r); 93 if(compare()) cp(); 94 } 95 print(); 96 return 0; 97 }
2019-05-24 20:01:13
