Lucas's 定理

Luca’s 定理

  对于素数\(p\)以及正整数\(m>n\)在\(p\)进制下，有如下的表示

\[\begin{align*} m &=a_0+a_1p+\dots+a_kp^k\\ n&=b_0+b_1p+\dots+b_kp_k \end{align*} \]

那么就有\(C_m^n=\prod \limits_{i=0}^kC_{a_i}^{b_i} (mod\ p)\)

引理一

  对于一个素数\(p\)，\(\forall k\in[1,p-1],p\mid C_p^k\).

引理一证明

  对于\(C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!}\)，我们可以知道除了分子含有%p%这个因子，而分母是不含有\(p\)这个因子的，于是我们就可以得到\(C_p^k=p\cdot\frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}\)，但是此时\(\frac{(p-1)!}{k!(p-k)!}\)并不是一个组合数，因此我们提取一个\(1/k\)出来，就可以得到\(C_p^k=\frac{p}{k}\cdot\frac{(p-1)!}{(k-1)!(p-k)!}=\frac{p}{k}\cdot C_{p-1}^{k-1}\)，于是我们可以推出\(k\cdot C_p^k=p\cdot C_{p-1}^{k-1}\)，可以知道右式为整数，并且可以被\(p\)整除，因此我们得到\(p|k\cdot C_p^k\)，因为\((p,k)=1\)，所以我们知道\(p|C_p^k\)。

引理二

  \((x+y)^p=x^p+\sum \limits_{k=1}^{p-1}C_p^k\cdot x^k\cdot y^{p-k}+y^p\)由定理一我们可以知道，中间的组合数可以被\(p\)整除，于是\((x+y)^p\equiv x^p+y^p\ (mod\ p)\)，同样的，我们可以推广到\((x+y)^{p^2}\equiv (x^p+y^p)^p\equiv x^{p^2}+y^{p^2}\)以及更多的情况。于是我们得到，一般的，\((x+y)^{p^k}\equiv x^{p^k}+y^{p^k}\ (mod\ p)\)

Luca’s 定理的证明

\[\begin{align*} 考虑到二项式展开\\ (1+x)^m&=(1+x)^{a_0+a_1p+\dots+a_kp^k}\\ &=(1+x)^{a_0}\cdot(1+x)^{a_1p}\cdots(1+x)^{a_kp^k}\\ &=\sum\limits_{j=0}^{a_0}C_{a_0}^jx^k\cdot((1+x^p)^{a_1}\cdots(1+x^{a_k})^{p^k})\\ &=\sum\limits_{j=0}^{a_0}C_{a_0}^jx^j\cdot\sum\limits_{j=0}^{a_1}C_{a_1}^jx^{pj}\cdots\sum\limits_{j=0}^{a_k}C_{a_k}^{j}x^{p^kj}\\观察x^n的系数，n&=b_0+b_1p+\dots+b_kp^k，左式=C_m^n,右式=C_{a_0}^{b_0}\cdot C_{a_1}^{b_1}\cdots C_{a_k}^{b_k}(mod\ p) \\于是得到C_m^n&=\prod \limits_{i=0}^kC_{a_i}^{b_i} (mod\ p)\\ 我们看到右式中&可能存在b_i>a_i的情况，组合数不存在，于是此种情况我们定义C_{a_i}^{b_i}不存在 \end{align*} \]

现在我们来看，对于\(n\)来说，\(n\)同样可以表达成\(n=\lfloor n/p \rfloor+n\ mod\ p\),于是我们利用上面同样的办法就可以得到一个等价的式子

\[C_n^m\equiv C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}\cdot C_{n/p}^{m/p}(mod\ p) \]