题解：ABC452E YOU WILL LIKE SIGMA PROBLEM!!!

因为洛谷部分代码块不适用于此，所以推荐在洛谷上获得更好的阅读体验并点赞。

一眼整除分块吧，但最后为啥又不是了。

把原式的 \(i\bmod j\) 换掉，得

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}A_i\times B_j\times (i-j\times \lfloor\frac{i}{j}\rfloor) \]

乘法分配律拆括号，得

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m} (A_i\times B_j\times i)-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{m} (A_i\times B_j\times j\times \lfloor\frac{i}{j}\rfloor) \]

这里我们想把 \(A_i\times B_i\) 拆掉。前面这个双重求和我们注意到其实有一个引理可以去掉：对于 \(a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2\) 可以提公因式得 \(a_1(b_1+b_2)+a_2(b_1+b_2)=(a_1+a_2)(b_1+b_2)\)。

这个结论可以推广到任意长度的数组，所以我们尝试拆掉，得

\[\underbrace{(\sum_{i=1}^{n}A_i\times i)(\sum_{j=1}^m B_j)}_{S_1}-\underbrace{\sum_{j=1}^{m}(B_j\times j\times\sum_{i=1}^nA_i\times \lfloor\frac{i}{j}\rfloor)}_{S_2} \]

\(S_1\) 是可以线性时间复杂度求得的，丢了；注意到我们转化成了固定 \(j\) 变 \(i\)。容易发现 \(k=\lfloor\frac{i}{j}\rfloor\) 的变化规律是：

当 \(k=0\) 时，\(i\in[1,\operatorname{min}(j-1,n)]\)。
当 \(k>0\) 时，\(i\in[k\times j,\operatorname{min}(j\times k+j-1,n)]\)。

容易发现记每个区间的左右端点分别为 \(l,r\)，那一个区间和就是 \(k\sum_{i=l}^{r}A_i\)。如果用前缀和维护，就可以 \(\operatorname{O}(1)\) 解决每个区间。只要枚举每个 \(k\) 即可得到结果，每一个 \(j\) 需要循环 \(\lfloor \frac{n}{j}\rfloor\) 次。

总时间复杂度即 \(\operatorname{O}(\sum_{j=1}^m\lfloor\frac{n}{j}\rfloor)\)，用调和级数计算可约等于 \(\operatorname{O}(n\operatorname{log}n)\)，足够通过本题。

在上面的计算的时候，不要忘记取模。

需要我直接给你解决这道题目的数学公式吗？

贴心的 PMW 帮你总结出了解决这道题目的数学公式。其中数组 \(f\) 表示数组 \(a\) 的前缀和。

\[\boxed{(\sum_{i=1}^{n}A_ii)(\sum_{j=1}^{m}B_j)-\sum_{j=1}^{m}(B_jj\times \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}k(f_{\operatorname{min}(j\times (k+1)-1,N)}-f_{jk-1}))} \]

注意到 \(k=0\) 时对结果没有贡献，所以 \(k\) 从 \(1\) 开始。

//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma GCC optimize("O2")
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back
#define is insert
#define fr(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define rf(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i++)
#define pri priority_queue
#define gYES printf("YES\n")
#define gNO printf("NO\n")
#define gYes printf("Yes\n")
#define gNo printf("No\n")
const int MOD=998244353;
const int Mod=1e9+7;
const int N=5e5;
using namespace std;
int max(int ax,int ay){ return (ax>ay)?ax:ay; }
int min(int ax,int ay){ return (ax<ay)?ax:ay; }
int abss(int ax){ return max(ax,-ax); }
void fastIO(){ 
	ios::sync_with_stdio(0); 
	cin.tie(0),cout.tie(0); }
int n,m,a[N+5],b[N+5],f[N+5],s1,s2;
signed main(){
	fastIO();
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i]; s1=(s1+a[i]*i)%MOD;
		f[i]=(f[i-1]+a[i])%MOD;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin >> b[i];
		s2=(s2+b[i])%MOD;
	}s1=s1*s2%MOD;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		s2=0;
		for(int k=1;k<=n/j;k++){
			s2=(s2+k*(f[min(j*(k+1)-1,n)]-f[j*k-1]))%MOD;
		}s2=s2*(b[j]*j%MOD)%MOD;
		s1=(s1-s2)%MOD;
	}s1=(s1%MOD+MOD)%MOD; 
	cout << s1;
	return 0;
}