2025 初中小数联竞赛题解

2025 初中小数联竞赛

我们这边都管它叫小数联，反正我是不知道为什么初一要考初二备战初三自招的题目。没办法考差了估计和以后的数竞都无缘了，吃屎吧。

在本文章中，如果有两个解法，一般第一个都是我想出来的吃屎做法。

第一题

假设 \(p\) 是大于等于 \(197\) 的最小质数，那么 \(2025\) 的 \(p-1\) 次方除以 \(p\) 的余数是（___）。

对于本题给出两种做法：

[做法一：快速幂做法]

这种做法很阴你知道吗。

开题先可以转化成

\[2025^{197-1}\equiv x\pmod {197} \]

然后同余定理，变成

\[55^{196}\equiv x\pmod {197} \]

这里最精的一步来了！！！从编程中快速幂的思想受到启发，可以把 \((196)_{10}\) 转化为 \((11000100)_2\)。

把底数 \(55\) 写成 \(d\)，那么 \(d^{196}=d^4\times d^{64}\times d^{128}\)，只要算出来每个乘积对 \(197\) 取模后的结果就可以了。经过二十分钟的奋战，发现 \(x=1\)。

[做法二：费马小定理做法]

费马小定理如下：

\[a^{p-1}\equiv1\pmod p \]

其中 \(p,a\) 不成倍数关系。

这个式子刚好是符合费马小定理的，得到 \(x=1\)。

第二题

如果 \(x\) 和 \(y\) 满足：

\[\begin{cases}\displaystyle \frac{3}{7}\left\{\frac{3}{7}\left[\frac{3}{7}\left(\frac{3}{7}x+\frac{5}{13}y+17\right)+\frac{5}{13}y+17\right]+\frac{5}{13}y+17\right\}+\frac{5}{13}y+17 = x\\[6pt]\displaystyle \frac{3}{7}x+\frac{5}{13}\left\{\frac{3}{7}x+\frac{5}{13}\left[\frac{3}{7}x+\frac{5}{13}\left(\frac{3}{7}x+\frac{5}{13}y+17\right)+17\right]+17\right\}+17 = y\end{cases} \]

那么 \(x+y\) 的值的个位数字是（）。

第三题

若正实数 \(x,y\) 满足：\(x\neq y,\ x(\sqrt{y}-2)=y(\sqrt{x}-2)=10\)，则 \(xy\) 的值的个位数字是（）。

给出一种常见错误方法。

[错误做法一：暴力推方程法]

由式子可得：

\[y=\frac{10}{\sqrt{x}-2} \]

那么原式子满足

\[x(\sqrt{\frac{10}{\sqrt{x}-2}}-2)=10 \]

这个方程虽然我不会解，但是扔给豆包发现没有整数解，说明这个做法应该是不可行的。

[做法二：对称方程法]

首先 \(x\neq y\neq 0\)，设 \(a=\sqrt{x}>0,b=\sqrt{y}>0\)。

原方程转化为 \(a^2(b-2)=10,b^2(a-2)=10\)。

两式相减：

\[a^2b-2a^2-(ab^2-2b^2)=10 \]

\[a^2b-ab^2-2a^2+2b^2=10 \]

\[ab(a-b)-2(a^2-b^2)=0 \]

\[ab(a-b)-2(a+b)(a-b)=0 \]

\[(a-b)(ab-2a-2b)=0 \]

这一步中 \(a-b\) 和 \(ab-2a-2b\) 至少有一个是 \(0\)。题目给出 \(x\neq y\) 所以 \(a\neq b\)，即 \(ab-2a-2b=0\)。

这里还是有点复杂，让我们把它转化成：

\[ab=2(a+b)\tag{A} \]

把 A 式带进 \(a^2b-2a^2=10\) 中：

\[2a(a+b)-2a^2=10 \]

\[2a^2+2ab-2a^2=10 \]

\[ab=5 \]

我们知道 \(x=a^2,y=b^2\)，所以 \(xy=a^2b^2=5^2=25\)，个位数为 \(5\)。

第四题

若正实数 \(a\) 满足：

\[\begin{align*}|a-7|+|2a-7|+|3a-7|+|4a-7|&=|a-8|+|2a-8|+|3a-8|+|4a-8|\\&=|a-9|+|2a-9|+|3a-9|+|4a-9|\end{align*} \]

则 \(a\) 的最大值的个位数字是（）。

第五题

若正整数 \(a,b,c,x,y,z\) 满足 \(ax=b+c,\ by=c+a,\ cz=a+b\)，则乘积 \(xyz\) 可能的取值有（）个。

[做法一：代入法]

原式转化为：

\[x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c} \]

那么 \(xyz\) 可以用下面的式子表示：

\[\frac{(b+c)(a+c)(a+b)}{abc} \]

发现它是一个三元状物，不妨设 \(p=a+b+c\)，则：

\[b+c=p-a,a+c=p-b,a+b=p-c \]

所以：

\[x=\frac{p-a}{a},y=\frac{p-b}{b},z=\frac{p-c}{c} \]

则

\[x=\frac{p}{a}-1,y=\frac{p}{b}-1,z=\frac{p}{c}-1 \]

即

\[x+1=\frac{p}{a},y+1=\frac{p}{b},z+1=\frac{p}{c} \]

所以

\[a=\frac{p}{x+1},b=\frac{p}{y+1},c=\frac{p}{z+1}\tag{A} \]

代入 \(p=a+b+c\)，得

\[p=\frac{p}{x+1}+\frac{p}{y+1}+\frac{p}{z+1} \]

消去 \(p\)，得

\[1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \]

设 \(u=x+1,v=y+1,w=z+1\)，得

\[\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=1 \]

对于这种分子是 \(1\) 的分数之和为 \(1\) 的，我们一般要分类讨论。

• 如果 \(u=2\)，那么 \(v,w\) 不能小于 \(2\)。

由

\[\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=\frac{1}{2} \]

得

\[2v+2w=vw \]

即

\[vw-2v-2w=0 \]

为了配方，加上 \(4\) 得

\[vw-2v-2w+4=4 \]

因式分解得

\[(v-2)(w-2)=4 \]

不难发现 \(4\) 只有两种分解方法：\([1,4]\) 和 \([2,2]\)，得出 \(\begin{cases}v=3\\w=6 \end{cases}\) 和 \(\begin{cases}v=4\\w=4 \end{cases}\) 两对解。

• 如果 \(u=3\)，那么唯一解是 \(\begin{cases}v=3\\w=3 \end{cases}\)
• 如果 \(u>3\)，那么此方程将无正整数解。请注意 \(u\le v\le w\)。

所以一共有 \(3\) 个解。

[做法一中基础结论的另一种推法]

请先阅读做法一。

对题目给出的三个式子相加，得到

\[ax+by+cz=2p \]

由做法一中 A 式换过来得

\[\frac{px}{x+1}+\frac{py}{y+1}+\frac{pz}{z+1}=2p \]

把 \(p\) 消掉，得

\[\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2 \]

这和做法一的基础结论是等价的，因为我们可以转化成：

\[3-(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1})=1 \]

\[(1-\frac{x}{x+1})+(1-\frac{y}{y+1})+(1-\frac{z}{z+1})=1 \]

即

\[\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1 \]

剩下的跟做法一一样了。

[做法二：行列式转化]

这个做法不是我想的，是 ds 给我的一个很猎奇的做法。由于我不会横列式，就不写了。

第六题

端午节到了，小艾学习折香囊，当她将两张面积均为 \(12+6\sqrt{3}\) 的正方形竹纸的中心叠放在一起，再将其中的一个正方形顺时针旋转 \(30^\circ\) 之后，两张竹纸重叠部分的图形周长的个位数字是（）。