高等代数 I 笔记

线性方程组

1. 高斯消元

1.1 线性方程组的形式

线性方程组的一般形式为

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \qquad\qquad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} \tag{*} \]

其中，$a_{ij}$ 是系数，$x_j$ 是变量，$b_i$ 是常数项。

线性方程组中，各变量的次数为 $0$ 或 $1$，且变量之间不相乘。

学习目标：

求解线性方程组。
研究解之间的关系。

求解线性方程组使用高斯消元法。

1.2 矩阵的初等行变换

矩阵的初等行变换包括如下三种：

交换两行。
将一行的倍数加到另一行。
将一行乘以一个非零数。

线性方程组的系数矩阵为：

\[A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} \]

增广矩阵为：

\[\widetilde A= \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{array} \right) \]

1.3 行阶梯形矩阵

一个 $m\times n$ 矩阵是行阶梯形矩阵时：

全为 $0$ 的行位于最下方。
各非零行的首个非零元称为主元，相邻非零行中，下一行的主元位于上一行主元的严格右侧。

1.4 最简行阶梯形矩阵

最简行阶梯形矩阵在行阶梯形矩阵的基础上满足：

每个非零行的主元为 $1$。
每行主元所在列的其他元素均为 $0$。

高斯消元的求解过程就是通过矩阵的初等行变换，把增广矩阵变成最简行阶梯形。

2. 判别线性方程组解的情况

适当交换变量的顺序后，增广矩阵可以化成如下形式的阶梯形：

注意：这里只是为了方便讨论所做的简化，在解具体方程组时，最好不要交换变量的顺序以免混淆。

\[\left( \begin{array}{cccccccc|c} c_{11}&c_{12}&c_{13}&\cdots&c_{1r}&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}&d_1\\ 0&c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2r}&c_{2,r+1}&\cdots&c_{2n}&d_2\\ 0&0&c_{33}&\cdots&c_{3r}&c_{3,r+1}&\cdots&c_{3n}&d_3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&c_{rr}&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}&d_r\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&d_{r+1}\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&0&0&\cdots&0&0 \end{array} \right) \]

其中 $c_{11},c_{22},\dots,c_{rr}$ 均非零。

$r$ 即为系数矩阵 $A$ 的秩，记为 $r(A)$。

若 $r<m$ 且 $d_{r+1}\ne 0$，则方程组无解，此时系数矩阵与增广矩阵的秩不同，等价于 $r(A)<r(\widetilde A)$ 时方程组无解。
若 $r(A)=r(\widetilde A)$ 且 $r=n$，则方程组有唯一解。
若 $r(A)=r(\widetilde A)$ 且 $r<n$，则方程组有无穷多解，可将 $x_{r+1},\ldots,x_n$ 取作自由变量，其余变量可以表示为：

\[\begin{cases} x_1=f_1+e_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{1n}x_n\\ x_2=f_2+e_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{2n}x_n\\ \qquad\vdots\\ x_r=f_r+e_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{rn}x_n \end{cases} \]

其中 $x_{r+1},\ldots,x_n$ 为自由变量。

称线性方程组为齐次的，当且仅当常数列全为 $0$，否则称为非齐次的。

由于齐次线性方程组对应增广矩阵在矩阵初等行变换下始终满足常数列全为 $0$，因此对于齐次线性方程组：

当 $r=n$ 时，只有零解 $x_1=x_2=\cdots=x_n=0$。
当 $r<n$ 时，有无穷多解，其中 $x_{r+1},\ldots,x_n$ 为自由变量，其余变量可以表示为：

\[\begin{cases} x_1=e_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{1n}x_n\\ x_2=e_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{2n}x_n\\ \qquad\vdots\\ x_r=e_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+e_{rn}x_n \end{cases} \]

3. 数域与坐标向量空间

3.1 数域的定义

称 $\mathbb C$ 中至少含有一个非零元素的子集 $F$ 为数域，如果 $F$ 对加、减、乘、除四种运算封闭，其中除法的除数不能为 $0$。

例如，复数域 $\mathbb C$、实数域 $\mathbb R$ 与有理数域 $\mathbb Q$ 都是数域。

对于无平方因子的整数 $d$，$\mathbb Q(\sqrt d)=\{a+b\sqrt d\mid a,b\in\mathbb Q\}$ 也是数域。

3.2 最小数域

若 $a\ne 0$ 且 $a\in F$，则由数域对四则运算的封闭性可知 $1=\dfrac aa\in F,0=a-a\in F$。

由于 $+,-$ 对 $F$ 封闭，因此可得 $\mathbb Z\subseteq F$，又因为 $\div$ 对 $F$ 封闭，所以可得 $\mathbb Q\subseteq F$。

因此，$\mathbb Q$ 是最小的数域，即任意数域 $F$ 都包含 $\mathbb Q$。

3.3 定义在数域上的方程组

若线性方程组、矩阵或向量中的各个数都属于数域 $F$，则称相应的线性方程组、矩阵或向量定义在数域 $F$ 上。

并且线性方程组的解也应该在数域 $F$ 中讨论。

3.4 坐标向量与坐标向量空间

对于数域 $F$ 和正整数 $n$，由 $F$ 上的 $n$ 个元素组成的有序数组 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$，称为 $F$ 上的一个 $n$ 维向量。向量也可以写成列形式 $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$。

可以记 $F^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1,a_2,\dots,a_n\in F\}$。

在同一段运算中，向量需要统一写成行向量或列向量。

3.5 坐标向量空间的运算

对于向量 $\alpha,\beta\in F^n$，设 $\alpha=(a_1,\ldots,a_n),\beta=(b_1,\ldots,b_n)$。

定义 $\alpha=\beta$，当且仅当对所有 $i=1,\ldots,n$ 都有 $a_i=b_i$。

定义向量加法为 $\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)$。

对于 $k\in F$，定义数乘为 $k\alpha=(ka_1,ka_2,\ldots,ka_n)$。

于是 $(F^n,+,\cdot)$ 构成一个向量空间。

3.6 加法的基本性质

在向量空间 $(F^n,+,\cdot)$ 中，向量加法对于任意 $\alpha,\beta,\gamma\in F^n$ 满足：

加法结合律：$\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$。
加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$。
存在零向量 $\theta\in F^n$：使得对任意 $\alpha\in F^n$，都有 $\theta+\alpha=\alpha$，其中 $\theta=(0,0,\ldots,0)$。
存在负向量：对任意 $\alpha$，存在 $\beta$ 使 $\alpha+\beta=\theta$，称 $\beta$ 为 $\alpha$ 的负向量，记作 $\beta=-\alpha$。

根据负向量可以定义向量空间上的减法运算：$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$。

3.7 数乘的基本性质

在向量空间 $(F^n,+,\cdot)$ 中，向量数乘对于任意 $\alpha,\beta\in F^n$ 以及 $k,\ell\in F$ 满足：

数乘结合律：$k\cdot (\ell \cdot\alpha)=(k\cdot\ell)\cdot \alpha$。
数乘分配律：
- 对标量的分配律：$(k+\ell)\cdot\alpha=k\cdot\alpha+\ell\cdot\alpha$。
- 对向量的分配律：$k\cdot(\alpha+\beta)=k\cdot\alpha+k\cdot\beta$。
酉性：$1\cdot \alpha=\alpha$。

3.8 向量组的线性表示

在 $F^m$ 中，给定列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\beta$，可考虑线性方程组的向量表达式：

\[x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\beta \]

一般地，称 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，若存在 $k_1,k_2,\ldots,k_s\in F$，使得

\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta \]

称 $\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i$ 为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的线性组合。

上述线性方程组有解，等价于 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性表示。

由上述线性方程组解的情况，可区分 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性表示，以及是唯一表示还是有无穷多种表示。

零向量 $\theta$ 能被任意向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，取 $k_1=\cdots=k_s=0$ 即可。零向量能否被该向量组以非平凡方式线性表示，是一个研究重点。

4. 一般向量空间

4.1 一般向量空间的定义

若在非空集 $V$ 上给定数域 $F$ 上类似的加法运算 $+$ 和数乘运算 $\cdot $ 满足：

加法 $+$ 将 $V\times V$ 映入 $V$，数乘 $\cdot$ 将 $F\times V$ 映入 $V$。
$(V,+,\cdot)$ 满足加法结合律、加法交换律、零向量存在、负向量存在、数乘结合律、酉性、以及数乘对标量加法和向量加法的分配律。

则称 $(V,+,\cdot)$ 为数域 $F$ 上的向量空间（线性空间）。$V$ 中的元素统称为向量。

4.2 一般向量空间的例子

$(F^n,+,\cdot)$：$n$ 维坐标向量空间。
$(M_{m\times n}(F),+,\cdot)$：由数域 $F$ 上的所有 $m\times n$ 矩阵构成。
$(C[a,b],+,\cdot)$：$[a,b]$ 上的连续实值函数集，此例取 $F=\mathbb R$。
$(K,+,\cdot)$：$K$ 为数域，且 $F\subseteq K$。
$(F^S,+,\cdot)$：$F^S=\{f\mid f:S\to F\}$，即 $S$ 上的 $F$ 值函数集，加法和数乘对 $S$ 上的每个元素逐点定义。
当 $S=\{1,2,\ldots,n\}$ 时，$F^S$ 可自然地一一对应到 $F^n$。

4.3 一般向量空间中的推论

向量空间 $(V,+,\cdot)$ 中满足如下性质：

性质 1：零向量唯一。

证明：

若 $\theta_1,\theta_2$ 都是零向量，则 $\theta_1=\theta_1+\theta_2=\theta_2$。
性质 2：负向量唯一。

证明：

设 $\beta_1,\beta_2$ 都是 $\alpha$ 的负向量，则 $\beta_1=\beta_1+\theta=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\alpha+\beta_1)+\beta_2=\beta_2$。
性质 3：$0\cdot\alpha=\theta$。

证明：

由数乘分配律与酉性，$0\cdot\alpha+\alpha=(0+1)\cdot\alpha=\alpha$。

再由加法结合律，$0\cdot\alpha=0\cdot\alpha+\alpha+(-\alpha)=\alpha+(-\alpha)=\theta$，证毕。
性质 4：$(-1)\cdot\alpha=-\alpha$。

证明：

$(-1)\cdot\alpha+\alpha=(-1+1)\cdot\alpha=0\cdot\alpha=\theta$。
根据负向量的定义及其唯一性，$(-1)\cdot\alpha=-\alpha$，证毕。
性质 5：$k\cdot\theta=\theta$。

证明：

$k=0$ 情况同性质 3，只需考虑 $k\ne 0$。

由数乘结合律与分配律，$\forall \alpha\in V$ 均有：

\[k\cdot\theta+\alpha=k\cdot\theta+k\cdot\tfrac1k\cdot\alpha=k\cdot(\theta+\tfrac1k\cdot\alpha)=k\cdot\tfrac1k\cdot\alpha=\alpha \]
因此，由零向量的定义可得 $k\cdot\theta=\theta$，证毕。
性质 6：$k\cdot\alpha=\theta\implies k=0$ 或 $\alpha=\theta$。

证明：

只需说明 $k\cdot\alpha=\theta$ 且 $k\ne0$ 时有 $\alpha=\theta$。

由数乘结合律及性质 5：$\alpha=\frac1k\cdot k\cdot\alpha=\frac1k\cdot\theta=\theta$，证毕。

4.4 子空间

称数域 $F$ 上向量空间 $(V,+,\cdot)$ 的非空子集 $U$ 为 $V$ 的子空间，若 $U$ 关于 $V$ 中的加法与数乘运算封闭。

例如：

$n$ 阶方阵空间 $M_n(F)$ 中所有的上三角矩阵 $\{A\in M_n(F)\mid \forall 1\le i<j\le n,A_{j,i}=0\}$ 构成一个子空间。
对于一组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in F^m$，构造集合 $\{(x_1,x_2,\dots,x_n)\in F^n\mid x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\theta\}$，则该集合为 $F^n$ 的子空间。

向量空间 $(V,+,\cdot)$ 的子空间 $(U,+,\cdot)$ 也是向量空间。

4.5 向量的线性表示

在向量空间中，若存在 $k_1,k_2,\ldots,k_s\in F$，使得

\[\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s \]

则称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s\in V$ 线性表示。

向量空间中的基本问题就是：能否找到 $n$ 个特殊向量，使 $V$ 中的每个向量均可由这 $n$ 个向量唯一地线性表示出来。

这实际上相当于建立坐标系。

例如，单位向量 $\varepsilon_1=(1,0)$、$\varepsilon_2=(0,1)$。对 $\alpha=(a,b)$，有 $\alpha=a\varepsilon_1+b\varepsilon_2$。

因此，任意二维向量均可以由 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 线性表示，且表示方式唯一。

在 $F^2$ 中，什么样的 $\{\varepsilon_i\}$ 满足这种要求？

如果选出的向量数量 $\ge 3$ 则不能唯一表出，若 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$ 共线，那么无法表示直线外的向量。

5. 线性相关与线性无关

5.1 定义与判别

设 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 为 $V$ 中的 $s$ 个向量。

若 $s\ge 2$，且存在某个 $\alpha_i$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_s$ 线性表示，则称 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 线性相关，否则称其线性无关。

当 $s=1$ 时，称 $\alpha_1$ 线性相关当且仅当 $\alpha_1=\theta$。

另一种判定方法是当且仅当方程

\[x_1\alpha_1+\cdots+x_s\alpha_s=\theta \]

有非全零解时（$x_1=x_2=\cdots=x_s=0$ 称为全零解），称 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性相关，否则称其线性无关。

注：线性相关与线性无关二者必居其一。

在 $V=F^n$ 时只需要解线性方程组即可。

5.2 线性相关与线性无关的性质

若向量组含有零向量 $\theta$，则该向量组必线性相关。
若向量组存在一个线性相关的部分组，则整个向量组线性相关。
因此，若整个向量组线性无关，则任意部分组均线性无关。
若 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示，则 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta$ 线性相关。
因此，若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，则该向量组中的任一向量均不能由其余向量线性表示。
在 $F^n$ 中，若 $s>n$，则向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性相关。

5.3 向量延伸组的线性相关性

对于 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F^m$，设

\[\alpha_i=(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{mi}) \]

且 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关。考虑 $\widetilde\alpha_1,\ldots,\widetilde\alpha_n\in F^{m+t}$，其中

\[\widetilde\alpha_i=(a_{1i},a_{2i},\ldots,a_{mi},b_{1i},\ldots,b_{ti}) \]

方程 $\sum_{i=1}^n x_i\widetilde\alpha_i=\theta$ 只有零解。因此，在 $F^m$ 中的向量组中任意添加 $t$ 个分量并嵌入更高维空间后，得到的向量延伸组也是线性无关的。

证明：

考虑解线性方程组的前 $m$ 行，已经确定唯一解为 $x=\theta$。

而 $x=\theta$ 同时满足后 $t$ 行的限制，因此整个方程组的唯一解就是 $x=\theta$。

同理，$F^n$ 中向量组线性相关，则其向量缩短组（删除若干维度的所有分量得到的向量组）也是线性相关的。

6. 极大线性无关组

6.1 极大线性无关组的定义

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in V$，称其部分组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r}$ 为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的极大线性无关组，若满足：

无关性：$\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 线性无关。
极大性：对于任意 $\beta\in\{\alpha_1,\ldots,\alpha_s\}$，$\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r},\beta$ 线性相关。

注：极大线性无关组一定存在，但未必唯一。

命题：非零的有限向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 必存在极大线性无关组。

证明：

任取 $\alpha_{i_1}\ne\theta$。若 $\{\alpha_{i_1}\}$ 可表出 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$，则 $\{\alpha_{i_1}\}$ 即为所求。

否则，存在 $\alpha_{i_2}$ 不可由 $\alpha_{i_1}$ 表出，则 $\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\}$ 线性无关。

若 $\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2}\}$ 不可表出 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$，同理可找到 $\alpha_{i_3}$，使 $\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\alpha_{i_3}\}$ 线性无关。

以此类推，一定存在一个 $1\le k\le s$ 使得线性无关组 $\{\alpha_{i_1},\dots,\alpha_{i_k}\}$ 是极大的。

极大线性无关组的极大性等价于：$\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 可以由 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 线性表示。

6.2 等价向量组

若向量组 $\alpha$ 与 $\beta$ 中的每个向量分别可由对方中的所有向量线性表示，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 等价。

命题：

任意非零向量组与其任意一个极大线性无关组等价。

证明：

由向量组的极大性容易说明。

任意非零向量组的任意两个极大线性无关组等价。

证明：

由命题 1 结合等价关系的传递性即可说明。

若线性无关组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 可表出 $\beta_1,\ldots,\beta_t$，且 $t>s$，则 $\beta_1,\ldots,\beta_t$ 必线性相关。

证明：

记

\[\beta_j=\sum_{i=1}^{s}a_{ji}\alpha_i,\qquad j=1,\ldots,t \]
代入 $k_1\beta_1+\cdots+k_t\beta_t=\theta$，得

\[\sum_{j=1}^{t}\sum_{i=1}^{s}k_ja_{ji}\alpha_i=\theta \]
因此，对任意 $i=1,\ldots,s$，均有 $\sum_{j=1}^{t}k_ja_{ji}=0$。

所以 $k_1,\ldots,k_t$ 是一个含 $s$ 个方程、$t$ 个未知数的齐次线性方程组解。

因为 $s<t$，所以必有自由变量，故存在不全为 $0$ 的 $k_1,\ldots,k_t$，从而 $\beta_1,\ldots,\beta_t$ 线性相关。

命题 3 的逆否命题为：如果线性无关组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 可表出线性无关组 $\beta_1,\dots,\beta_t$，那么一定有 $t\le s$。

由命题 1 和命题 3 可知，任意非零向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等。

6.3 向量组的秩

称向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的极大线性无关组所含向量的个数为该向量组的秩，记作 $r(\{\alpha_1,\ldots,\alpha_s\})$ 或 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$，其中特别规定全零向量组的秩为 $0$。

向量组的秩具有以下性质：

等价向量组有相同的秩。
$r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)\le s$，且 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=s$ 当且仅当 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关。
若向量组 $\alpha$ 可由 $\beta$ 线性表示，则 $r(\beta)\ge r(\alpha)$。

6.4 矩阵的行秩与列秩

对于任意 $A\in M_{m\times n}(F)$：

设其行向量组为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in F^n$，称 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ 为矩阵 $A$ 的行秩。
设其列向量组为 $\beta_1,\ldots,\beta_n\in F^m$，称 $r(\beta_1,\ldots,\beta_n)$ 为矩阵 $A$ 的列秩。

矩阵 $A$ 经过行变换化为行阶梯形，再经过列变换可化为形如 $\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}$ 的矩阵。

而这样的矩阵的行秩和列秩显然都是 $r$。

如果我们能说明初等行变换或列变换均不改变行秩和列秩，那么就能说明任意矩阵 $A$ 的行秩等于列秩。

而初等行变换得到的行向量组依旧和原向量组等价，因此其行秩必定不会改变。

所以我们只需要证明：初等行变换不改变任意列向量部分组的线性无关性。

证明：

这是因为对于列向量部分组 $\beta_{i_1},\ldots,\beta_{i_r}$，其线性无关性等价于 $k_1\beta_{i_1}+\cdots+k_r\beta_{i_r}=\theta$ 只有零解。

对原矩阵进行初等行变换，相当于对线性方程组对应的增广矩阵进行初等行变换，因此不改变方程组的解。

因此，求极大线性无关组时，将向量作为列向量组成矩阵，对矩阵进行初等行变换，不改变极大线性无关组的位置，以及剩余向量的线性表出方式。

6.5 矩阵秩的性质

记矩阵 $A$ 的行秩或列秩为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$。

矩阵的秩具有以下性质：

将矩阵 $A$ 化为阶梯形矩阵后，所得矩阵中非零行的行数就是 $A$ 的秩。
若 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=r$，且向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 可由 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 线性表示，则 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 必为极大线性无关组。
对于 $A\in M_{m\times n}(F)$，有 $r(A)\le\min\{m,n\}$。
- 当 $r(A)=m$ 时，称 $A$ 为行满秩矩阵。
- 当 $r(A)=n$ 时，称 $A$ 为列满秩矩阵。
- 对于 $n$ 阶方阵 $A$，当 $r(A)=n$ 时，称 $A$ 为满秩矩阵。

7. 向量空间的基

7.1 生成子空间

对于向量空间 $V$，任取 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in V$，记

\[L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=\left\{\sum_{i=1}^{s}k_i\alpha_i\mid k_1,\ldots,k_s\in F\right\} \]

即 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的所有线性组合构成的集合。

考察线性组合的系数可知 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$ 对加法和数乘运算封闭，因此 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$ 是 $V$ 的子空间，称为由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 生成的子空间。

设 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组，则 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=L(\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r})$。

7.2 基与维数

设 $V$ 为数域 $F$ 上的向量空间。若有限个向量 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d\in V$ 满足：

$\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ 线性无关。
$V$ 中的所有向量均可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ 线性表示。

则称 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ 为 $V$ 的一组基，称 $d$ 为 $V$ 的维数，记作 $\dim_F V=d$，或可简记为 $\dim V=d$，并称 $V$ 为 $d$ 维向量空间。

注：向量空间的基必定存在，其中可能含有无限个（甚至不可数个）向量。此时称 $V$ 为无限维向量空间，若想进一步分析，可能需要引入一些极限和拓扑的知识。

7.3 向量在一组基下的坐标

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d\in V$ 为 $V$ 的一组基，则对于任意 $\beta\in V$，$\beta$ 可唯一表示为 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_d\alpha_d$。

称 $(k_1,k_2,\ldots,k_d)\in F^d$ 为 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ 下的坐标。

7.4 有限维向量空间的性质

设 $V$ 为 $d$ 维向量空间，则有以下性质：

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_d$ 为 $V$ 的一组基，则 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_d)=V$。
$V$ 中任意 $d+1$ 个向量必线性相关。
$V$ 中任意 $d$ 个线性无关的向量必为 $V$ 的一组基。
若 $V$ 的子空间 $U$ 满足 $\dim U=\dim V$，则 $U=V$。

7.5 齐次线性方程组的解空间与基础解系

方程 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\theta$ 的解集 $U$ 为 $F^n$ 的子空间。

定理：设齐次线性方程组 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\theta$ 的解空间为 $U$，则：

$U=\{\theta\}$ 当且仅当 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关，也当且仅当 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=n$。
若 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=r<n$，则 $U$ 为 $n-r$ 维向量空间。存在 $n-r$ 个线性无关的解 $\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{n-r}$，使 $L(\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{n-r})=U$。
称 $\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{n-r}$ 为该齐次线性方程组的一个基础解系。
基础解系 $\eta_1,\eta_2,\ldots,\eta_{n-r}$ 实际上就是 $U$ 的一组基。

基础解系的构造方法：将矩阵 $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ 通过初等行变换化为行最简阶梯形矩阵。

设非主元列对应 $n-r$ 个自由变量。依次令其中一个自由变量为 $1$，其余自由变量为 $0$，再求出对应主元变量的值，即可得到 $n-r$ 个解向量。

8. 线性方程组的解空间

8.1 齐次与非齐次线性方程组的全部解

齐次线性方程组对矩阵消元，得到基础解系后，可由基础解系生成解空间。

非齐次线性方程组的全部解需另外讨论。注：非齐次方程组的解集不构成子空间。

首先需要判定方程组是否有解：$r(A)=r(A\mid b)$ 当且仅当方程组有解，此条件等价于 $b$ 可由 $A$ 的列向量线性表示。

只考虑解个数 $>1$ 的情况，即 $r(A)=r(A\mid b)=r<n$，记非齐次方程组的全部解为 $W$。

若 $\gamma_1,\gamma_2\in W$，则 $\gamma_1-\gamma_2$ 为对应齐次方程组 $x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n=\theta$ 的解。

该齐次方程组的解集记为 $U$ 并称该齐次方程组为原方程组的伴随组。

任取 $\gamma_0\in W$ 为一个特解。对任意 $\gamma\in W$，有 $\gamma-\gamma_0\in U$。

因此，$f(\gamma)=\gamma-\gamma_0$ 给出 $W$ 到 $U$ 的对应，并有 $W=U+\gamma_0$，即 $W$ 是解空间 $U$ 的平移。

取 $U$ 的基础解系 $\eta_1,\ldots,\eta_{n-r}$，则 $W$ 中的解可写为

\[\gamma=\gamma_0+c_1\eta_1+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r} \]

其中 $\gamma_0$ 为特解，$c_1,\ldots,c_{n-r}\in F$。由于 $\gamma_0\notin U$，所以 $\gamma_0,\eta_1,\ldots,\eta_{n-r}$ 这 $n-r+1$ 个向量线性无关。

也可写成由原方程组的 $n-r+1$ 个线性无关的解 $\gamma_0,\gamma_0+\eta_1,\ldots,\gamma_0+\eta_{n-r}$ 构成的仿射表示，即其中各向量解的系数之和为 $1$ 的表示。

8.2 子空间与齐次方程组的解空间

命题：$F^n$ 的任一子空间 $V$ 均为某个齐次方程组 $Ax=\theta$ 的解空间。

证明如下：

取一组 $V$ 的基 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$，并把矩阵 $\begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\vdots\\\alpha_r\end{pmatrix}$ 通过初等行变换和消元成如下形式（由各分量的对称性，不妨设主元列为 $1,2,\dots,r$）：

\[\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0&b_{1,r+1}&\dots&b_{1,n}\\ 0&1&\dots&0&b_{2,r+1}&\dots&b_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&b_{r,r+1}&\dots&b_{r,n} \end{pmatrix} \]

那么该矩阵的行向量组 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r$ 也是 $V$ 的一组基。

取 $\gamma_{r+1},\gamma_{r+2},\dots,\gamma_{n}\in F^{n-r}$ 分别为单位向量 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_{n-r}$。

对于 $i=1,2,\dots,r$，记 $\gamma_i=-\sum\limits_{j=r+1}^{n}\gamma_j b_{i,j}$。

由于 $\gamma_{r+1},\gamma_{r+2},\dots,\gamma_{n}$ 线性无关，所以 $r(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_n)=n-r$。

又因为 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r$ 线性无关，并且它们都是方程组 $x_1\gamma_1+x_2\gamma_2+\cdots+x_n\gamma_n=\theta$ 的解。

所以 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r$ 同时是 $V$ 的基和该方程组的基础解系，该方程组的解空间恰是 $V$。

8.3 解集相等的齐次线性方程组

考虑两个齐次线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ \qquad\qquad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases} \qquad\text{与}\qquad \begin{cases} b_{11}x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=0\\ \qquad\qquad\vdots\\ b_{s1}x_1+b_{s2}x_2+\cdots+b_{sn}x_n=0 \end{cases} \]

若两方程组的解集相等，记 $\alpha_i=(a_{i1},\ldots,a_{in})$，$\beta_i=(b_{i1},\ldots,b_{in})$，则向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 与 $\beta_1,\ldots,\beta_s$ 等价。

证明：

设两方程组的解空间为 $U$，则 $r(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)=n-\dim U=r(\beta_1,\ldots,\beta_s)$，记 $r=n-\dim U$。

且 $U$ 也是以 $\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_m\\\beta_1\\\vdots\\\beta_s\end{pmatrix}$ 为系数矩阵的线性方程组的解空间，所以 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_1,\dots,\beta_s)=r$。

那么对于任意 $i=1,2,\dots,s$，都有 $r(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_i)=r$。

因此向量组 $\alpha$ 可表出向量组 $\beta$，同理向量组 $\beta$ 可表出向量组 $\alpha$。

9. 对偶空间

9.1 线性函数

设 $\dim_F V=n$。考虑映射 $f:V\to F$。

若它保持 $V$ 与 $F$ 上的加法和数乘结构，即对任意 $\alpha,\beta\in V$、$k\in F$，有 $f(\alpha)+f(\beta)=f(\alpha+\beta)$，$kf(\alpha)=f(k\alpha)$，则称 $f$ 为 $V$ 上的线性函数。

例如：

当 $V=M_{m\times n}(F)$ 时，$f_{ij}((a_{ij})_{m\times n})=a_{ij}$ 是线性函数，即取出矩阵的一个元素。
设 $V$ 的一组基为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$。

任意 $\alpha\in V$ 均可唯一表示为 $\alpha=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n$，定义 $f_i(\alpha)=x_i$，即取出第 $i$ 个坐标。

当 $V=F^n,\alpha_i=\varepsilon_i$ 时，$f_i((a_1,\ldots,a_n))=a_i$。

9.2 对偶空间

设 $V^*$ 为 $V$ 上所有线性函数构成的集合。关于函数的逐点加法与数乘，$V^*$ 构成向量空间，称为 $V$ 的对偶空间。

例如，当 $V=F^n$，$f_i((a_1,\ldots,a_n))=a_i$ 时，$f_1,\ldots,f_n$ 为 $V^*$ 的一组基，证明如下：

无关性：若对所有 $\alpha=(a_1,\ldots,a_n)\in F^n$，都有

\[\sum_{i=1}^n k_i f_i(\alpha)=0 \]

取 $\alpha=\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n$，可得每个 $k_i=0$。

极大性：对任意 $f\in V^*$ 及 $\alpha=(a_1,\ldots,a_n)\in F^n$，有

\[\begin{aligned} f(\alpha)&=f(a_1\varepsilon_1+\cdots+a_n\varepsilon_n)\\ &=a_1f(\varepsilon_1)+\cdots+a_nf(\varepsilon_n)\\ &=f_1(\alpha)f(\varepsilon_1)+\cdots+f_n(\alpha)f(\varepsilon_n) \end{aligned} \]

因此，$f(\varepsilon_1),\ldots,f(\varepsilon_n)$ 为 $f$ 在 $f_1,\ldots,f_n$ 下的坐标。

9.3 对偶基

进一步，对于任意有限维向量空间 $V$，取一组基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$，则 $V^*$ 上存在一组基 $f_1,\ldots,f_n$，其中 $f_i(\varepsilon_j)=[i=j]$。

即 $f_i(\alpha)$ 为 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 下的坐标向量的第 $i$ 个分量。

因此可以推出：若 $V$ 是有限维向量空间，则 $\dim V=\dim V^*$。

行列式

1. 反对称多重线性函数

1.1 多重线性函数

对 $k\in\mathbb Z^+$，若映射 $f:(F^n)^k\to F$ 对每个变量都具有线性性，即对任意 $i=1,\ldots,k$，有

\[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i+c\beta,\ldots,\alpha_k) =f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_k) +c f(\alpha_1,\ldots,\beta,\ldots,\alpha_k) \]

则称 $f$ 为 $F^n$ 上的 $\mathbf k$ 重线性函数。

$k=1$ 时即为线性函数，$k=2$ 时称为双线性函数。

记这类函数的集合为 $L^k(F^n)$，则 $L^k(F^n)$ 对逐点加法和数乘构成向量空间。

对任意 $i_1,\ldots,i_k\in\{1,\ldots,n\}$，设 $\alpha_j=(a_{j1},a_{j2},\ldots,a_{jn})$。

定义函数 $f_{i_1,\ldots,i_k}(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=a_{1,i_1}a_{2,i_2}\cdots a_{k,i_k}$，所有这样的 $f_{i_1,\ldots,i_k}$ 构成 $L^k(F^n)$ 的一组基。

证明只需考虑把任意 $\alpha_j$ 表成 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 的线性组合即可。

1.2 反对称性

称 $F^n$ 上的 $k$ 重线性函数 $f$ 是反对称的，若对任意 $1\le i<j\le k$，有

\[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_k) =-f(\alpha_1,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_k) \]

若 $f\in L^k(F^n)$，则 $f$ 反对称，当且仅当任意两个变量相同时，均有 $f(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=0$。

证明：

由左推右，容易得到。由右推左，利用多重线性性展开

\[\begin{aligned} 0={}&f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i+\alpha_j,\ldots,\alpha_i+\alpha_j,\ldots,\alpha_k)\\ ={}&f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_k) +f(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_k)\\ &+f(\alpha_1,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_k) +f(\alpha_1,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_k) \end{aligned} \]
其中首项和末项为 $0$，故交换两个变量后，$f$ 的值变号。

命题：若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ 线性相关，且 $f$ 为 $k$ 重线性反对称函数，则 $f(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=0$。

证明：

不妨设 $\alpha_1=c_2\alpha_2+\cdots+c_k\alpha_k$，由多重线性性可得

\[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=c_2f(\alpha_2,\alpha_2,\dots,\alpha_k)+\cdots+c_kf(\alpha_k,\alpha_2,\dots,\alpha_k)=0 \]

推论：若 $k>n$，则 $F^n$ 上的 $k$ 重线性反对称函数只能是零函数。

1.3 排列与逆序数

$n$ 元排列是把 $1,\ldots,n$ 按一定顺序排列得到的一列元素，共有 $n!$ 个。

在 $n$ 元排列 $i_1,\ldots,i_n$ 中，按原顺序取出二元组 $(i_r,i_s)$，其中 $r<s$。

若 $i_r>i_s$，则称其为一组逆序，否则称为顺序。

所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为 $\tau(i_1,\ldots,i_n)$，例如 $\tau(1,\ldots,n)=0$。

若 $\tau(i_1,\ldots,i_n)$ 为偶数，则称 $i_1,\ldots,i_n$ 为偶排列。若逆序数为奇数，则称其为奇排列。

交换排列 $i_1,\ldots,i_n$ 中任意两个元素，称为一次对换，有如下结论：

任意排列 $i_1,\ldots,i_n$ 均可由 $1,\ldots,n$ 经过若干次对换得到。
任意两个排列可经过若干次对换相互得到。
对换一次会改变排列的奇偶性。

1.4 多重线性函数的展开

设 $\eta_1,\ldots,\eta_n$ 为 $F^n$ 的一组基。

对 $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in F^n$，设 $\alpha_i=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\eta_j$，其中 $i=1,\ldots,k$。

若 $f$ 为 $k$ 重线性函数，则

\[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_k) =\sum_{j_1,\ldots,j_k\in\{1,\ldots,n\}} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{kj_k} f(\eta_{j_1},\eta_{j_2},\ldots,\eta_{j_k}) \]

若 $f$ 反对称，则只需考虑 $j_1,\ldots,j_k$ 两两不同的项。

当 $k=n$ 时，求和只需遍历 $1,\ldots,n$ 的排列，并由排列的逆序数确定符号：

\[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) =\sum_{\substack{(j_1,\ldots,j_n)\text{为 }n\text{ 元排列}}} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} f(\eta_1,\ldots,\eta_n) \]

1.5 非零反对称多重线性函数与线性无关性

推论：设 $f$ 为 $F^n$ 上非零的 $n$ 重反对称线性函数，则 $f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\ne0$ 当且仅当 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 线性无关。

证明：

由左推右，已经证明。

由右推左，由于 $f\ne0$，存在 $\eta_1,\ldots,\eta_n$，使得 $f(\eta_1,\ldots,\eta_n)\ne0$。

由左推右可知，$\eta_1,\ldots,\eta_n$ 为 $F^n$ 的一组基。

设

\[\eta_i=\sum_{j=1}^{n}b_{ij}\alpha_j \]
则

\[f(\eta_1,\ldots,\eta_n) =\sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} b_{1j_1}\cdots b_{nj_n} f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \]
由 $f(\eta_1,\ldots,\eta_n)\ne0$，可得 $f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\ne0$。

1.6 非零反对称多重线性函数的比例关系

推论：$F^n$ 上任意两个非零的 $n$ 重反对称线性函数 $f,f'$，仅相差一个常数因子。

证明：

设 $\eta_1,\ldots,\eta_n$ 为 $F^n$ 的一组基，并设 $f(\eta_1,\ldots,\eta_n)=c f'(\eta_1,\ldots,\eta_n)$。

对任意 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F^n$，令

\[\alpha_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\eta_j \]
则

\[\begin{aligned} f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) &= \sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} f(\eta_1,\ldots,\eta_n)\\ &= \sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} c f'(\eta_1,\ldots,\eta_n)\\ &=c f'(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \end{aligned} \]
故 $n$ 重反对称线性函数空间的维数至多为 $1$。

2. 行列式函数

2.1 行列式函数的定义

构造 $(F^n)^n$ 与 $M_n(F)$ 之间的双射 $\varphi$：

\[(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \longleftrightarrow A=\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \]

称函数 $D:M_n(F)\to F$ 为 $\mathbf n$ 重线性的，若 $D\circ\varphi:(F^n)^n\to F$ 为 $F^n$ 上的 $n$ 重线性函数。

类似地，若 $D\circ\varphi$ 反对称，则称 $D$ 反对称。

称 $D:M_n(F)\to F$ 为 $n$ 阶行列式函数，若 $D$ 反对称、$n$ 重线性，且 $D(I_n)=1$。

由于 $n$ 重线性反对称函数的维数至多为 $1$，所以 $D$ 若存在，则由 $D(I_n)=1$ 可知其必然唯一。

2.2 行列式函数的存在性

2.2.1 归纳构造与余子式

用归纳法证明 $n$ 阶行列式函数 $D_n$ 存在。

对于一阶与二阶的情形定义，$D_1(a)=a$，$D_2\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$。

设 $n-1$ 阶行列式函数 $D_{n-1}$ 存在。

去掉 $A\in M_n(F)$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 列，其余元素按原顺序排列，得到 $n-1$ 阶方阵 $M_{ij}\in M_{n-1}(F)$。

称 $D_{n-1}(M_{ij})$ 为 $A$ 的 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式。

称 $(-1)^{i+j}D_{n-1}(M_{ij})$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$。

2.2.2 按列的 Laplace 展开

定理：设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，$D_{n-1}$ 为 $n-1$ 阶行列式函数，$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

对任意 $j=1,2,\ldots,n$，定义

\[D_n^{(j)}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \]

称 $D_n^{(j)}(A)$ 为 $|A|$ 按第 $j$ 列的 Laplace 展开。

2.2.3 多重线性性的验证

对于任意 $j$，$D_n^{(j)}$ 都是 $n$ 重线性的，即对每一行 $r=1,\ldots,n$ 均为线性的。

证明：

记

\[\widetilde A= \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ k\alpha_r+\ell\beta\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \qquad \widetilde B= \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_r\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \qquad \widetilde C= \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \beta\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \]
要证 $D_n^{(j)}(\widetilde A)=kD_n^{(j)}(\widetilde B)+\ell D_n^{(j)}(\widetilde C)$。

当 $i\ne r$ 时，$\widetilde A_{ij}=k\widetilde B_{ij}+\ell\widetilde C_{ij}$。

当 $i=r$ 时，$\widetilde A_{rj}=\widetilde B_{rj}=\widetilde C_{rj}$。

因此

\[\begin{aligned} D_n^{(j)}(\widetilde A) &= \sum_{i\ne r}a_{ij}\widetilde A_{ij} +(ka_{rj}+\ell b_j)\widetilde A_{rj}\\ &= \sum_{i\ne r}a_{ij} (k\widetilde B_{ij}+\ell\widetilde C_{ij}) +ka_{rj}\widetilde B_{rj} +\ell b_{j}\widetilde C_{rj}\\ &=kD_n^{(j)}(\widetilde B)+\ell D_n^{(j)}(\widetilde C) \end{aligned} \]

2.2.4 反对称性的验证

设矩阵 $A$ 的第 $r$ 行与第 $s$ 行均为 $\beta$，下证 $D_n^{(j)}(A)=0$。

证明：

当 $i\ne r$ 且 $i\ne s$ 时，$M_{ij}$ 的行向量组中仍有两个重复的 $\beta$，故 $A_{ij}=0$。

当 $i=r$ 与 $i=s$ 时，$M_{rj}$ 与 $M_{sj}$ 的行向量组经过 $|s-r|-1$ 次对换可变为相同。

代数余子式的符号相差 $(-1)^{r-s}$，故 $A_{rj}+A_{sj}=(-1)^rA_{rj}+(-1)^s(-1)^{|s-r|-1}A_{sj}=0$。

综上 $D_{n}^{(j)}(A)=a_{rj}A_{rj}+a_{sj}A_{sj}+\sum\limits_{i\ne r,i\ne s}a_{ij}A_{ij}=0$。

由于 $D_n^{(1)}(I_n)=D_n^{(2)}(I_n)=\cdots=D_n^{(n)}(I_n)=1$ ，而这些函数之间成整数倍，所以这些函数都是相等的。

2.3 行列式的计算式

设 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 为 $F^n$ 的标准基。

对任意 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in F^n$，令

\[\alpha_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\varepsilon_j \]

当 $A=\begin{pmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{pmatrix}=(a_{ij})_{n\times n}$ 时，有

\[\begin{aligned} D(A) &= \sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} D(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)\\ &= \sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n} \end{aligned} \]

这也是行列式的定义式。

常将 $D(A)$ 记为 $|A|$ 或 $\operatorname{Det}A$，称其为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 阶行列式，称 $D$ 为 $n$ 阶行列式函数。

2.4 行列式的排列展开

$|A|$ 的展开式共有 $n!$ 项，对应于各行各列互不相同的 $n$ 个元素之积。

行指标按 $1,\ldots,n$ 的自然顺序排列时，符号由列指标的逆序数决定。

若固定行指标为 $i_1,\ldots,i_n$，考虑其中一个乘积项 $a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}$，其符号为 $(-1)^{\tau(i_1,\ldots,i_n)+\tau(j_1,\ldots,j_n)}$。

可以理解为，用 $\tau(i_1,\ldots,i_n)$ 次对换，将行指标变为顺序排列 $1,\ldots,n$。

2.5 三角行列式

下三角矩阵的行列式为其对角元的乘积：

\[\begin{vmatrix} a_{11}&0&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&0&\cdots&0\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \]

这是按列逐步展开所得的结果。

上三角矩阵的行列式也为其对角元的乘积：

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ 0&0&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \]

这是按行逐步展开所得的结果。

因此，求 $|A|$ 时，通常可以进行行变换或列变换，将 $A$ 化简为三角矩阵。

2.6 转置矩阵与行列式

对 $A=(a_{ij})_{m\times n}$，其转置矩阵为$A^{\mathsf T}=(b_{ij})_{n\times m}$，其中 $b_{ij}=a_{ji}$。

命题：对任意 $A=(a_{ij})\in M_n(F)$，有 $|A|=|A^{\mathsf T}|$。

证明：

设 $A^{\mathsf T}=(b_{ij})_{n\times n}$，则 $b_{ij}=a_{ji}$。

按行指标的排列展开 $|A|$，有

\[\begin{aligned} |A| &=\sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} a_{j_1,1}a_{j_2,2}\cdots a_{j_n,n}\\ &=\sum_{(j_1,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,\ldots,j_n)} b_{1,j_1}b_{2,j_2}\cdots b_{n,j_n}\\ &=|A^{\mathsf T}| \end{aligned} \]

2.7 初等行变换与行列式

由于 $|A|=|A^{\mathsf T}|$，因此在矩阵上应用初等行变换和初等列变换对行列式值的影响相同。

若交换 $A$ 的两行或两列，则行列式变号。
若将 $A$ 的一行或一列乘以 $k$，则行列式也乘以 $k$。
行列式对每一行及每一列都是线性的。例如，

\[\begin{aligned} &\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\alpha_i+k\beta,\ldots,\alpha_n)\\ =&\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_n) +k\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\beta,\ldots,\alpha_n) \end{aligned} \]
将某行的 $k$ 倍加到另一行，行列式不变，
对列作同样的变换也不变。

证明：

设 $A$ 的行向量为 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，且 $i\ne j$。

由行列式的线性性与反对称性

\[\begin{aligned} &\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\alpha_i+k\alpha_j,\ldots,\alpha_n)\\ =&\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\alpha_i,\ldots,\alpha_n) +k\operatorname{Det}(\alpha_1,\ldots,\alpha_j,\ldots,\alpha_n)\\ =&\operatorname{Det}A \end{aligned} \]

推论：若 $A$ 有两行或两列成比例，则 $\operatorname{Det}A=0$。

2.8 行列式的计算方法与例子

最朴素的办法是通过初等行变换和初等列变换将矩阵化简成上三角矩阵或下三角矩阵。

也可选取或构造出零较多的一行或一列作 Laplace 展开，按第 $i$ 行或第 $j$ 列展开，分别有

\[|A|=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \qquad |A|=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \]

例 1： 对角元为 $a_i+1$，其余元素为 $1$ 的 $n$ 阶行列式。

解：

从第 $2$ 行起，各行减去第 $1$ 行，得到

\[\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a_1+1&1&1&\cdots&1\\ 1&a_2+1&1&\cdots&1\\ 1&1&a_3+1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&1&\cdots&a_n+1 \end{vmatrix}\\[3em] = &\begin{vmatrix} a_1+1&1&1&\cdots&1\\ -a_1&a_2&0&\cdots&0\\ -a_1&0&a_3&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_1&0&0&\cdots&a_n \end{vmatrix}\\[3em] =&\prod_{i=1}^{n}a_i +\sum_{i=1}^{n}\prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{n}a_j \end{aligned} \]
化简后只有对角线和第一行、第一列上的值非零的矩阵称为爪形矩阵。

求行列式时可以直接枚举乘积项不含 $0$ 的排列，也可以进一步消元成下三角形矩阵再计算行列式。

例 2： 对角元均为 $a$，其余元素均为 $b$ 的 $n$ 阶行列式。

解：

由于每列元素和相等，因此将所有行相加到第一行，提出公因子，再用第一行消去其余各行的首项，得

\[\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}\\[3em] =& \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&a-b&0&\cdots&0\\ 0&0&a-b&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a-b \end{vmatrix}\times \bigl(a+(n-1)b\bigr)\\[3em] =&\bigl(a+(n-1)b\bigr)(a-b)^{n-1} =(a-b)^n+nb(a-b)^{n-1} \end{aligned} \]

另一种做法是构造一个大小为 $n+1$ 的矩阵使其按 Laplace 展开后行列式相等：

解：

\[\begin{aligned} &\begin{vmatrix} a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ b&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}_n = \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&a&b&\cdots&b\\ 0&b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&b&b&\cdots&a \end{vmatrix}_{n+1}\\[3em] =& \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ -b&a-b&0&\cdots&0\\ -b&0&a-b&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -b&0&0&\cdots&a-b \end{vmatrix}_{n+1} =(a-b)^n+nb(a-b)^{n-1} \end{aligned} \]

例 3： 设 $a\ne b$，对角元均为 $a+b$，上邻对角元均为 $ab$，下邻对角元均为 $1$，其余元素均为 $0$ 的 $n$ 阶行列式。

解：

记

\[D_n= \begin{vmatrix} a+b&ab&0&\cdots&0\\ 1&a+b&ab&\cdots&0\\ 0&1&a+b&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&ab\\ 0&\cdots&0&1&a+b \end{vmatrix}_n \]
按第一列展开，在子式 $|M_{21}|$ 中按第一行展开，此时只能选择 $ab$ 一项，此时两种展开式恰好得到结构完全一致的 $n-1$ 阶矩阵和 $n-2$ 阶矩阵，所以有递推关系

\[D_n=(a+b)D_{n-1}-abD_{n-2} \]
边界为 $D_0=1,D_1=a+b$，因而

\[D_n-aD_{n-1}=b(D_{n-1}-aD_{n-2})=b^{n-1}(D_1-aD_0)=b^n \]
同理，$D_n-bD_{n-1}=a^n$，故

\[D_n=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a} \]

posted @ 2026-09-15 20:45 DaiRuiChen007 阅读(79) 评论(0) 收藏举报

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