数学分析 I 笔记

集合论基础

1. 集合的基本概念

集合可以理解为：由具有某种性质的对象构成的整体。组成集合的对象称为集合的元素。

1.1 外延原则

一个集合完全由它所包含的元素决定。集合中元素的排列顺序以及同一元素出现的次数都不影响集合本身。例如：\(\{1,2,3\}=\{3,2,1\}=\{1,1,2,3\}\)。

1.2 元素与集合

给定集合 \(A\) 和对象 \(a\)，命题 \(a\in A\) 的真假应当是确定的，即使我们不能判定这个命题是否为真。

1.3 概括原则

若 \(P(x)\) 表示对象 \(x\) 所满足的性质，则可以用描述法记集合：\(S=\{x\mid P(x)\text{ 成立}\}\)。

不过这种写法可能引发罗素悖论，在 ZFC 中，通过性质定义集合则必须满足更严格的公理。

1.4 包含关系

若集合 \(A\) 的每个元素都是集合 \(B\) 的元素，则称 \(A\) 包含于 \(B\)，记作 \(A\subseteq B\)。

2. 为什么需要公理化集合论

如果不加限制地使用概括原则，可能构造出导致悖论的集合。例如，考虑：\(A=\{B\mid B\notin B\}\)。

追问 \(A\in A\) 是否成立会产生矛盾。这说明集合的构造不能毫无限制，需要通过公理系统来规定哪些集合可以存在。常用的体系是 ZFC 集合论。

3. ZFC 集合论中的若干公理

3.1 外延公理

若集合 \(X\) 与集合 \(Y\) 具有完全相同的元素，则二者相等：\(\forall z\,(z\in X\iff z\in Y)\implies X=Y\)。

3.2 空集存在公理

存在不包含任何元素的集合，称为空集，记作 \(\varnothing\)。

由外延公理可知，空集是唯一的。

3.3 无序对集合存在公理

对于任意集合 \(X\)、\(Y\)，存在一个集合，其元素恰好是 \(X\) 和 \(Y\)，记作：\(\{X,Y\}\)。

当 \(X=Y\) 时，记作单元素集合 \(\{X\}\)。

3.4 幂集存在公理

对任意集合 \(E\)，存在由 \(E\) 的所有子集组成的集合，称为 \(E\) 的幂集，记作：\(2^E=\mathcal P(E)=\{A\mid A\subseteq E\}\)。

例如：

• \(2^{\varnothing}=\{\varnothing\}\)。
• \(2^{\{\varnothing\}}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\)。

3.5 并集存在公理

对于任意集合族 \(S\)，存在一个集合，它由 \(S\) 中各集合的所有元素组成，记作：\(\bigcup S=\{x\mid \exists E\in S,\ x\in E\}\)。

两个集合 \(E\) 与 \(F\) 的并集为：\(E\cup F=\{x\mid x\in E\text{ 或 }x\in F\}=\bigcup\{E,F\}\)。

3.6 分离公理模式

给定集合 \(S\) 和性质 \(P\)，可以从 \(S\) 中分离出所有满足性质 \(P\) 的元素，得到集合 \(E=\{x\in S\mid P(x)\text{ 成立}\}\)。

注意这里用性质 \(P\) 筛选 \(E\) 之前，必须指定被筛选元素的范围 \(S\)，从而避免悖论。

3.7 替换公理模式

若一个由集合论公式表达的规则 \(F\) 为集合 \(S\) 的每个元素 \(x\) 唯一指定一个集合 \(F(x)\)，则 \(S\) 在 \(F\) 下的像也是集合，即 \(E=\{y\mid \exists x\in S,\ y=F(x)\}\)。

3.8 无穷公理

存在集合 \(X\)，满足 \(\varnothing\in X\)，并且对任意 \(A\in X\)，均有 \(A\cup\{A\}\in X\)。
由此可依次构造 \(X\) 中元素：

\[\varnothing,\ \{\varnothing\},\ \{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\},\ldots \]

它们分别对应自然数 \(0,1,2,3,\ldots\)，一般地，\(0=\varnothing,n=\{0,1,2,\ldots,n-1\}\)。

无穷公理给出的 \(X\) 不一定恰好是自然数集。还需在 \(X\) 中利用分离公理取出自然数集 \(\mathbb N\)。

3.9 正则公理

对任意非空集合 \(X\)，存在 \(x\in X\)，使得 \(x\cap X=\varnothing\)。

这一公理排除了无穷下降的隶属链，尤其是集合之间呈环状的嵌套关系。

3.10 选择公理

对于任意非空集合组成的集合族 \(X\)，存在选择函数 \(F\)，使得对任意 \(x\in X\)，都有 \(F(x)\in x\)。

直观地说，若有一族非空集合，则可以从每个集合中各选取一个元素。

4. 映射

4.1 映射的定义

设 \(X,Y\) 为集合。笛卡尔积 \(X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}\) 的子集称为 \(X\) 与 \(Y\) 之间的一个关系，即 \(R\subseteq X\times Y\)。

若关系 \(f\subseteq X\times Y\) 满足：对于每个 \(x\in X\)，都存在唯一的 \(y\in Y\) 使得 \((x,y)\in f\)，则称 \(f\) 是从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作 \(f:X\to Y\)。

记 \(X\) 为定义域、\(Y\) 为陪域。

值域（像）为 \(f(X)=\{y\in Y\mid \exists x\in X,f(x)=y\}\)。

对于 \(y\in Y\)，其原像为 \(f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}\)。

4.2 单射、满射与双射

• 若 \(x_1\ne x_2\) 时总有 \(f(x_1)\ne f(x_2)\)，则称 \(f\) 为单射。
• 若对任意 \(y\in Y\)，都存在 \(x\in X\) 使得 \(f(x)=y\)，则称 \(f\) 为满射。
• 既是单射又是满射的映射称为双射，此时 \(f\) 存在逆映射。

4.3 映射的分类

• 函数与映射在此具有相同含义。
• 定义域为 \(\mathbb R^n\) 的子集时称为实变函数，为 \(\mathbb C^n\) 的子集时称为复变函数。
• 陪域为 \(\mathbb R\)、\(\mathbb C\)、\(\mathbb R^m\) 或 \(\mathbb C^m\) 时，分别称为实值、复值或向量值函数。
• 以函数空间为定义域、以 \(\mathbb R\) 为陪域的映射通常称为泛函。
• 定义域和陪域都是函数空间时通常称为算子。

4.4 限制与延拓

设 \(f:X\to Y\)，且 \(A\subseteq X\)。将 \(f\) 的定义域限制在 \(A\) 上，得到映射 \(g:A\to Y\)，记作 \(g=f|_A\)。

此时称 \(g\) 为 \(f\) 在 \(A\) 上的限制，称 \(f\) 为 \(g\) 的延拓。

4.5 复合映射

设 \(f:X\to Y\)，\(g:Y\to Z\)，则二者的复合映射 \(g\circ f:X\to Z\) 定义为：\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)。

复合映射一般不满足交换律。即使 \(f\circ g\) 与 \(g\circ f\) 都有定义，二者通常也不相等。

4.6 无穷集

不是有限集的集合称为无穷集。

若一个集合能够与它的某个真子集建立一一对应，则称它为戴德金无穷集。例如，映射 \(n\mapsto n+1\) 给出了 \(\mathbb N\) 到 \(\mathbb N\setminus\{0\}\) 的一一对应。

在 ZFC 中，无穷集与戴德金无穷集等价。

在选择公理下，若 \(X\) 是无穷集，则可在 \(X\) 中取出一列互不相同的元素，记 \(X^*=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}\)，并定义映射 \(T:X\to X\setminus\{x_1\}\) 为

\[T(x)= \begin{cases} x_{k+1},&x=x_k\in X^*\\ x,&x\notin X^* \end{cases} \]

该映射把 \(X\) 与其真子集建立一一对应，说明 \(X\) 是戴德金无穷集。这就是 Hilbert 旅馆思想中的“依次后移”。

5. 朴素的集合运算

设 \(\{A_\alpha\}_{\alpha\in\Gamma}\) 是集合族，其中 \(\Gamma\) 非空，则

\[\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha =\{x\mid \exists\alpha\in\Gamma,\ x\in A_\alpha\} \]

\[\bigcap_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha =\{x\mid \forall\alpha\in\Gamma,\ x\in A_\alpha\} \]

集合 \(A\) 与 \(B\) 的差集为 \(A\setminus B=\{x\mid x\in A,\ x\notin B\}\)。若全集为 \(X\)，则 \(A\) 的补集记作 \(A^c=X\setminus A\)。

集合 \(A\) 与 \(B\) 的对称差为 \(A\mathbin{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\)。

De Morgan 定律为：

\[X\setminus\left(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha\right) =\bigcap_{\alpha\in\Gamma}(X\setminus A_\alpha) \]

\[X\setminus\left(\bigcap_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha\right) =\bigcup_{\alpha\in\Gamma}(X\setminus A_\alpha) \]

6. 集合的势

集合 \(A\) 的势又称基数，记作 \(\operatorname{card}(A)\) 或 \(|A|\)。

6.1 等势

若集合 \(E\) 与 \(F\) 之间存在一一对应，即存在双射 \(f:E\to F\)，则称 \(E\) 与 \(F\) 等势，记作 \(|E|=|F|\)。

6.2 有限集

空集的势为 \(|\varnothing|=0\)。若集合 \(A\) 与 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 之间存在双射，则称 \(A\) 有 \(n\) 个元素，记作 \(|A|=n\)。

6.3 可数集与连续统

若 \(|E|=|\mathbb N|\)，则称 \(E\) 为可数集或可列集，并记 \(|E|=\aleph_0\)。

若 \(|E|=|\mathbb R|\)，则称 \(E\) 具有连续统或连续势，记 \(|E|=\mathfrak c\) 或 \(|E|=\aleph\)。

6.4 势的比较

若存在从 \(E\) 到 \(F\) 的单射，则记 \(|E|\le |F|\)。若 \(|E|\le |F|\) 且 \(|E|\ne |F|\)，则记 \(|E|<|F|\)。

若 \(|E|\le\aleph_0\)，则称 \(E\) 为至多可数集。

6.5 等势是等价关系

集合之间的等势关系满足：

• 自反性：\(|E|=|E|\)。
• 对称性：若 \(|E|=|F|\)，则 \(|F|=|E|\)。
• 传递性：若 \(|E|=|F|\) 且 \(|F|=|G|\)，则由双射的复合可知 \(|E|=|G|\)。

6.6 不存在最大基数

对于所有集合 \(E\)，均有 \(|2^E|>|E|\)。

证明：

映射 \(x\mapsto\{x\}\) 是 \(E\) 到 \(2^E\) 的单射，故 \(|E|\leq|2^E|\)。

对任意映射 \(T:E\to 2^E\)，定义集合

\[X=\{x\in E\mid x\notin T(x)\} \]

若 \(T\) 是满射，则存在 \(y\in E\) 使 \(T(y)=X\)，于是 \(y\in X\iff y\notin T(y)\iff y\notin X\)，矛盾。因此不存在从 \(E\) 到 \(2^E\) 的满射，更不存在双射，故 \(|E|<|2^E|\)，证毕。

6.7 可数个可数集的并是可数集

定理：设每个 \(E_k\)（\(k\in\mathbb Z^+\)）都是至多可数集，则 \(\bigcup_{k\in\mathbb Z^+}E_k\) 至多可数。若其中至少一个 \(E_k\) 是无穷集，则该并集可数。

证明：

对每个非空的 \(E_k\)，由选择公理选定一个列出其全部元素的序列 \(a_{k1},a_{k2},a_{k3},\ldots\)。有限集可重复列出元素，空集则跳过。

可用如下方式列出 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\) 的所有元素（期间去除重复元素）：

\[\begin{array}{c|ccccc} E_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & \cdots\\ E_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & \cdots\\ E_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} & \cdots\\ E_4 & a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} \]

按对角线从左上向右下逐条把元素列出即可。

所得列表或为有限，或为无穷，所以并集至多可数。若其中至少一个 \(E_k\) 是无穷集，则该并集不可能有限，因而可数，证毕。

同样的指标排列说明 \(\aleph_0^2=\aleph_0\)，反复应用可得 \(\aleph_0^n=\aleph_0\)（\(n\in\mathbb Z^+\)）。

又由 \(\mathbb Q=\bigcup_{n\in\mathbb Z^+}\{m/n\mid m\in\mathbb Z\}\) 可知 \(\mathbb Q\) 至多可数。因为 \(\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\)，所以 \(|\mathbb Q|=\aleph_0\)。

6.8 连续势大于可数势

定理：\(\mathfrak c>\aleph_0\)。

证明：

取 \(f(x)=\tan\!\left[\pi\left(x-\dfrac12\right)\right]\)，其为 \((0,1)\to\mathbb R\) 的双射。

因此 \(\mathfrak c=|\mathbb R|=|(0,1)|\)。

由于 \(\left\{\dfrac1n\mid n\in\mathbb N,\ n\geq2\right\}\subseteq(0,1)\)，故 \(|(0,1)|\geq\aleph_0\)，只需证明 \(|(0,1)|\neq\aleph_0\)。

若有 \((0,1)\to\mathbb Z^+\) 的双射，将每个实数统一写成不以无限多个 \(9\) 结尾的十进制小数，则 \((0,1)\) 中所有实数可列为 \(x_1,x_2,x_3,\ldots\)：

\[\begin{aligned} x_1&=0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}\ldots\\ x_2&=0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}a_{25}\ldots\\ x_3&=0.a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}a_{35}\ldots\\ &\ \vdots \end{aligned} \]

构造 \(y=0.b_1b_2b_3b_4\ldots\)，其中

\[b_i= \begin{cases} 1,&a_{ii}\neq1\\ 2,&a_{ii}=1 \end{cases} \]

则 \(\forall k\)，\(y\neq x_k\)，矛盾。故 \((0,1)=\{x_k\}_{k=1}^{\infty}\) 不成立，证毕。

6.9 Bernstein 定理

定理：若 \(|A|\leq|B|\) 且 \(|B|\leq|A|\)，则 \(|A|=|B|\)。

证明：
由于 \(|A|\le |B|\)，因此存在 \(A\to B\) 的单射 \(f\)。

由于 \(|B|\le |A|\)，因此存在 \(B\to A\) 的单射 \(g\)。

定义集合序列 \(\{S_k\}_{k=1}^{\infty}\) 满足：

\[S_k=\begin{cases} A&k=1\\ g(B)&k=2\\ g(f(S_{k-2}))&k\ge 3 \end{cases} \]

首先通过数学归纳法证明对于任意 \(k\ge 2\)，均有 \(S_k\subseteq S_{k-1}\)。

当 \(k=2\) 时，显然 \(S_2=g(B)\subseteq A=S_1\) 成立。

当 \(k=3\) 时 \(f(A)\subseteq B\) 推出 \(S_3=g(f(A))\subseteq g(B)=S_2\)。

当 \(k\ge 4\) 时，根据归纳假设，\(S_{k-2}\subseteq S_{k-3}\) 成立，则 \(S_k=g(f(S_{k-2}))\subseteq g(f(S_{k-3}))=S_{k-1}\)，因此原命题成立。

记 \(C_k=S_k\setminus S_{k+1},D=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} S_k\)，则 \(D,C_1,C_2,\dots\) 两两无交，且并集为 \(A\)。

由于 \(f,g\) 均为单射，因此对于任意 \(k\in\mathbb Z^+\) 都有：\(g(f(C_k))=g(f(S_k))\setminus g(f(S_{k+1}))=S_{k+2}\setminus S_{k+3}=C_{k+2}\)。

构造如下 \(A\to B\) 映射 \(T\)：

\[T(x)= \begin{cases} f(x)&\exists k\in\mathbb Z^+,x\in C_{2k-1}\\ g^{-1}(x)&\exists k\in\mathbb Z^+,x\in C_{2k}\\ g^{-1}(x)&x\in D \end{cases} \]

根据 \(T\) 定义：

\[\begin{aligned} T(A) &=g^{-1}(D)\cup f(C_1)\cup g^{-1}(C_2)\cup f(C_3)\cup g^{-1}(C_4)\cup\cdots\\ &=g^{-1}(D)\cup g^{-1}(g(f(C_1)))\cup g^{-1}(C_2)\cup g^{-1}(g(f(C_3)))\cup g^{-1}(C_4)\cup\cdots\\ &=g^{-1}(D)\cup g^{-1}(C_3)\cup g^{-1}(C_2)\cup g^{-1}(C_5)\cup g^{-1}(C_4)\cup\cdots\\ &=g^{-1}(D\cup C_2\cup C_3\cup C_4\cup C_5\cup\cdots)\\ &=g^{-1}(S_2)\\ &=B \end{aligned} \]

因此 \(T\) 是满射。

其次，若 \(x_1\ne x_2\)，且 \(x_1,x_2\in D\)，或存在 \(k\in\mathbb Z^+\) 使得 \(x_1,x_2\in C_k\)，则由 \(T\) 的定义必有 \(T(x_1)\ne T(x_2)\)。

因此，只需说明 \(g^{-1}(D),f(C_1),g^{-1}(C_2),f(C_3),g^{-1}(C_4),\dots\) 两两无交，即可证明 \(T\) 是单射。

同理，只需说明 \(g^{-1}(D),g^{-1}(C_3),g^{-1}(C_2),g^{-1}(C_5),g^{-1}(C_4),\dots\) 两两无交，而这是显然的。

因此 \(T\) 既是单射又是满射，从而构造出了 \(A\to B\) 的一一对应 \(T\)，故 \(|A|=|B|\)，证毕。

因此，证明两个集合等势，只需分别构造两个方向的单射。

6.10 连续统势

定理：\(2^{\aleph_0}=\mathfrak c\)。

证明：

取 \([0,1)\) 中所有实数，把 \(x\) 表示成二进制小数 \(0.x_1x_2x_3x_4\cdots\)，要求其不以无限个 \(1\) 结尾。

定义映射 \(F(x)=\{k\in\mathbb Z^+\mid x_k=1\}\) 为单射。

同样地，对于 \(S\subseteq\mathbb Z^+\)，定义

\[G(S)=\sum\limits_{n\in S}2^{-2n} \]

该映射也为单射。

应用 Bernstein 定理，得到 \(2^{\aleph_0}=|2^{\mathbb Z^+}|=|[0,1)|=\mathfrak c\)，证毕。

6.11 三歧性

定理：对于集合 \(E,F\)，必有 \(|E|=|F|\)、\(|E|<|F|\)、\(|F|<|E|\) 三者之一成立。

Hartogs 说明该命题与选择公理等价。

6.12 连续统假设

是否存在严格介于 \(\aleph_0\) 与 \(\mathfrak c\) 之间的基数？

这被称为连续统假设（\(\mathrm{CH}\)）。

• Gödel 证明：若 ZFC 一致，则 \(\mathrm{ZFC}+\mathrm{CH}\) 一致，因此 ZFC 不能证明 \(\neg\mathrm{CH}\)。
• Cohen 证明：若 ZFC 一致，则 \(\mathrm{ZFC}+\neg\mathrm{CH}\) 一致，因此 ZFC 不能证明 \(\mathrm{CH}\)。
• 合起来，若 ZFC 一致，则 CH 独立于 ZFC。

实数系理论

1. 有序集、上确界与下确界

1.1 全序与有序集

设 \(S\) 是一个集合，\(S\) 上的关系 \(<\) 称为一个全序，若其满足：

1. \(\forall x,y\in S\)，\(x<y\)、\(x=y\)、\(y<x\) 三者中恰有一个成立。
2. \(\forall x,y,z\in S\)，若 \(x<y\)、\(y<z\)，则 \(x<z\)。

带有全序的集合称为有序集，也称全序集。

记 \(x\le y\) 表示 \(x<y\) 或 \(x=y\)。

1.2 上界、上确界与最大值

设 \(E\subseteq S\)，\(S\) 为有序集。

• 若 \(\beta\in S\) 使 \(\forall x\in E\)，\(x\leq\beta\)，则称 \(\beta\) 为 \(E\) 的一个上界，称 \(E\) 有上界（上有界）。
• 若 \(\alpha\in S\) 是 \(E\) 的一个上界，且 \(\forall\gamma<\alpha\)，\(\gamma\) 不是 \(E\) 的上界，则称 \(\alpha\) 为 \(E\) 的上确界（最小上界），记作 \(\alpha=\sup E\)。
• 若 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界且 \(\alpha\in E\)，则称 \(\alpha\) 是 \(E\) 的最大值，记作 \(\alpha=\max E\)。

同样可定义 \(E\) 的下界、下确界（\(\inf E\)）与最小值（\(\min E\)）。

注意讨论上下确界时要明确是在哪个集合中取的，不同的全序集 \(S\) 可能得到不同的结果。

注意一个集合的上确界可能不属于 \(E\)，例如 \(\sup [0,1)=1\) 而 \([0,1)\) 不存在最大值。

1.3 上确界性质

若 \(S\) 是有序集，且 \(S\) 内任一非空、有上界的子集均有属于 \(S\) 的上确界，则称 \(S\) 有上确界性质。

例如 \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb R\) 都有上确界性质，但 \(\mathbb Q\) 没有上确界性质。

1.4 由上确界得到下确界

定理：若有序集 \(S\) 具有上确界性质，且 \(E\subseteq S\) 非空并有下界，则 \(\inf E\) 在 \(S\) 中存在。

证明：

令 \(L\) 为 \(E\) 的所有下界组成的集合。因为 \(E\) 有下界，所以 \(L\) 非空。因为 \(E\) 非空，取 \(b\in E\)，则 \(b\) 是 \(L\) 的一个上界。因此 \(\alpha=\sup L\) 存在。

每个 \(x\in E\) 都是 \(L\) 的上界，故 \(\alpha\leq x\)。所以 \(\alpha\) 本身是 \(E\) 的下界，即 \(\alpha\in L\)。

又因为 \(\alpha\) 是 \(L\) 的上界，它不小于 \(E\) 的任何下界，所以 \(\alpha=\inf E\)，证毕。

2. 有理数系

2.1 有理数系的封闭性

\(\mathbb Q\) 对加、减、乘以及除以非零有理数封闭，但对取“极限”不封闭。

令 \(a_n\) 为将 \(\pi\) 截断到小数点后第 \(n\) 位所得的有理数，则 \(0<\pi-a_n<10^{-n}\)。因此 \(a_n\to\pi\)，但 \(\pi\notin\mathbb Q\)，所以该有理数列在 \(\mathbb Q\) 中没有极限。

2.2 有理数系中的空隙

记 \(A=\{x\in\mathbb Q^+\mid x^2<2\},B=\{x\in\mathbb Q^+\mid x^2>2\}\)。

在有序集 \(\mathbb Q\) 中，\(A\) 有上界，\(B\) 有下界，但 \(A\) 无上确界，\(B\) 无下确界。

证明：

\(\forall p\in\mathbb Q^+\)，取 \(q=\dfrac{2p+2}{p+2}\)，则

\[q-p=\frac{2-p^2}{p+2}\qquad q^2-2=\frac{2(p^2-2)}{(p+2)^2} \]

即 \(p\in A\) 时，\(q\in A\) 且 \(q>p\)，而 \(p\in B\) 时，\(0<q<p\) 且 \(q\in B\)，因此 \(A\) 没有最大元素，而 \(B\) 没有最小元素。

\(A\) 的所有有理上界恰为 \(B\)，而 \(B\) 没有最小元素，故 \(A\) 在 \(\mathbb Q\) 中没有上确界。同理，\(B\) 在 \(\mathbb Q\) 中没有下确界，证毕。

所以有序集 \((\mathbb Q,<)\) 不具有上确界性质。

因此，期望扩张 \(\mathbb Q\)，得到 \(\mathbb R\supseteq\mathbb Q\)，且 \(\mathbb R\) 具有上确界性质。

3. 域与有序域

3.1 域的定义

设 \(K\) 是带有加法 \((+)\) 和乘法 \((\cdot)\) 的集合。这两个运算均将 \(K\times K\) 中的有序对映射到 \(K\)。若以下九条公理成立，则称 \(K\) 为域：

1. 存在加法单位元 \(0\in K\)，使得对任意 \(x\in K\)，有 \(x+0=x\)。
2. 存在加法逆元：对任意 \(x\in K\)，存在加法逆元 \(-x\)，使得 \(x+(-x)=0\)。
3. 加法交换律：对任意 \(x,y\in K\)，有 \(x+y=y+x\)。
4. 加法结合律：对任意 \(x,y,z\in K\)，有 \((x+y)+z=x+(y+z)\)。
5. 存在乘法单位元 \(1\in K\)，且 \(1\neq0\)，使得对任意 \(x\in K\)，有 \(1\cdot x=x\)。
6. 存在乘法逆元：对任意 \(x\in K\)，若 \(x\neq0\)，则存在乘法逆元 \(x^{-1}\)，使得 \(x\cdot x^{-1}=1\)。
7. 乘法交换律：对任意 \(x,y\in K\)，有 \(x\cdot y=y\cdot x\)。
8. 乘法结合律：对任意 \(x,y,z\in K\)，有 \((x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\)。
9. 分配律：对任意 \(x,y,z\in K\)，有 \(x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z\)。

例如，\(\mathbb Q\) 和 \(\mathbb R\) 都是域。

3.2 减法与除法

由域公理可以定义：

1. 减法：\(x-y=x+(-y)\)。
2. 除法：当 \(y\neq0\) 时，\(\dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1}\)。

3.3 域的基本性质

在域 \(K\) 中有：

• 性质 1：若 \(x+z=y+z\)，则 \(x=y\)。

  证明：\(x=x+z+(-z)=y+z+(-z)=y\)，证毕。

• 性质 2：若 \(xz=yz\) 且 \(z\neq0\)，则 \(x=y\)。

  证明：\(x=xz\times z^{-1}=yz\times z^{-1}=y\)，证毕。

• 性质 3：\(0\cdot x=0\)。

  证明：\(0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\)，消去一个 \(0\cdot x\) 即得，证毕。

• 性质 4：\((-x)y=-(xy)\)。

  证明：\(xy+(-x)y=0=xy+(-(xy))\)，证毕。

• 性质 5：若 \(xy=0\)，则 \(x=0\) 或 \(y=0\)。

  证明：当 \(x\neq0\) 时，两边同乘 \(x^{-1}\) 即得 \(y=0\)，证毕。

• 性质 6：加法单位元、乘法单位元均唯一。

  证明：若另有加法单位元 \(\widetilde 0\) 和乘法单位元 \(\widetilde 1\)，则 \(0=0+\widetilde 0=\widetilde 0\)，\(1=1\cdot\widetilde 1=\widetilde 1\)，证毕。

3.4 有序域的定义

若域 \(K\) 上有全序 \(<\)，并且对任意 \(x,y,z\in K\) 有：

1. 若 \(x<y\)，则 \(x+z<y+z\)。
2. 若 \(x>0\) 且 \(y>0\)，则 \(xy>0\)。

则称 \(K\) 为有序域，例如 \((\mathbb Q,+,\cdot,<)\)。

3.5 有序域的基本性质

对任意 \(x,y,z\in K\)，若 \(y<z\) 且 \(x\neq0\)，则：

• 性质 1：若 \(x>0\)，则 \(xy<xz\)。

  证明：因为 \(z-y>0\)，所以 \(x(z-y)>0\)，证毕。

• 性质 2：\(x<0\)，则 \(xy>xz\)，因为 \(-x>0\) 且 \(z-y>0\)。

  证明：因为 \(z-y>0\)，所以 \((-x)(z-y)>0\)，证毕。

• 性质 3：\(x\ne 0\) 时 \(x^2>0\)，特别地，\(1=1^2>0\)。

  证明：由性质 1、性质 2 即得，证毕。

• 性质 4：若 \(0<x<y\)，则 \(0<y^{-1}<x^{-1}\)。

  证明：由 \(x<y\) 可得 \(x^{-1}y^{-1}x<x^{-1}y^{-1}y\)，故 \(y^{-1}<x^{-1}\)，证毕。

4. 实数系的构造

4.1 实数系存在性定理

实数系存在性定理：存在有序域 \(\mathbb R\)，使 \(\mathbb Q\) 是 \(\mathbb R\) 的子域，\(\mathbb R\) 上的加法、乘法和序关系限制在 \(\mathbb Q\) 上时与 \(\mathbb Q\) 原有的运算和序关系一致，并且 \(\mathbb R\) 具有上确界性质。

称 \(\mathbb R\) 中的元素为实数。

4.2 戴德金分割

一种构造方式是戴德金分割。

对 \(r\in\mathbb Q\)，记 \(r^* = \{p\in\mathbb Q\mid p<r\}\)。

对于无理数，可类似地用 \(A=\{p\in\mathbb Q\mid p<0\text{ 或 }p^2<2\}\) 定义 \(\sqrt 2\)。

而其他的无理数也可以类似地定义成 \(\alpha=\{p\in\mathbb Q\mid p<\alpha \}\)。

为了不产生循环定义，可以使用无理数的无穷级数或连分数展开形式来给出定义。

例如，\(\pi\) 可由有理数列 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) 的极限表示，其中

\[a_n=4\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{4i-3}-\dfrac{1}{4i-1}\right) \]

于是可以用集合 \(P=\{p\in\mathbb Q\mid \exists N\in\mathbb Z^+,\ \forall n>N,\ p<a_n\}\) 定义 \(\pi\)。

此时每个 \(\mathbb R\) 中的元素可以用满足如下条件的一个 \(\mathbb Q\) 的非空真子集 \(A\) 来描述：

• \(A\) 没有最大元素。
• 若 \(p\in A\) 且 \(q<p\)，则 \(q\in A\)。

在这种构造下，若 \(S\subseteq\mathbb R\) 且非空有上界，则可以定义

\[\sup S:=\bigcup_{x\in S}x \]

可以验证 \(\sup S\) 也是一个满足戴德金分割性质的集合。

这一构造方法指出了有上确界性质的有序域如何存在。

可以在这种构造下定义加法和乘法运算，并且逐条验证其满足有序域上的公理。

4.3 实数的完备性

实数完备性可以表述为下面的原理（公理）：\(\mathbb R\) 中任意非空、有上界的集合均有实数上确界。

任意满足实数系公理的有序域 \(\mathbb R^*\) 必定与 \(\mathbb R\) 保序域同构。

因此，无须关注戴德金分割的具体结构和性质，只需使用实数域公理（有序域公理和实数完备性）展开推导。

于是，可给出 \(\mathbb R\) 上非空有上界子集 \(E\) 的上确界的另一种更形式化的等价描述：

设 \(E\subseteq\mathbb R\) 且 \(E\) 非空有上界，则 \(\alpha=\sup E\) 当且仅当如下两个条件成立：

1. 对任意 \(x\in E\)，有 \(x\leq\alpha\)。
2. 对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(x\in E\)，使得 \(\alpha-\varepsilon<x\)。

同样可以对称地定义 \(\beta=\inf E\)。

4.4 阿基米德性质

阿基米德性质：对任意 \(x>0\) 和 \(y\in\mathbb R\)，存在 \(n\in\mathbb Z^+\)，使得 \(nx>y\)。即集合 \(\{nx\mid n\in\mathbb Z^+\}\) 无上界。

证明：

反设 \(\alpha=\sup\{nx\mid n\in\mathbb Z^+\}\)，由于 \(x>0\) 且 \(\alpha\) 是上确界，则存在 \(m\in\mathbb Z^+\)，使得 \(\alpha-x<mx\)。

于是 \(\alpha<(m+1)x\)，这与 \(\alpha\) 是 \(\{nx\mid n\in\mathbb Z^+\}\) 的上界矛盾，证毕。

可以得到下面的推论：

对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(n\in\mathbb Z^+\)，使得 \(\dfrac1n<\varepsilon\)。

在实数上，\(x^2,2^x,3^x,\lg x\) 均无上界，前面三个函数增长率均超过 \(f(x)=x\)，下面给出 \(\lg x\) 无上界的证明：

证明：

反设 \(\alpha =\sup \{\lg n\mid n\in\mathbb Z^+\}\)。

由阿基米德性质，可以找到 \(k\in\mathbb Z^+\) 使得 \(k>10^{\alpha}\)，这与 \(\alpha\ge \lg k\) 矛盾，证毕。

4.5 有理数的稠密性

定理：有理数在实数中稠密。即对任意 \(x,y\in\mathbb R\)，若 \(x<y\)，则存在 \(q\in\mathbb Q\)，使得 \(x<q<y\)。

证明：

由阿基米德性质，取 \(n\in\mathbb Z^+\)，使得 \(n(y-x)>1\)。令 \(m=\lfloor nx\rfloor+1\)，则

\[m-1\leq nx<m \]

因而 \(nx<m\leq nx+1<ny\)，所以

\[x<\frac mn<y \]

又 \(\dfrac mn\in\mathbb Q\)，即为所求，证毕。

4.6 正数的开方

定理：对任意 \(x>0\) 及 \(n\in\mathbb Z^+\)，存在唯一的 \(y>0\)，使得 \(y^n=x\)，记作 \(y=\sqrt[n]{x}\)。

证明：

当 \(n=1\) 时结论显然成立。下设 \(n\geq2\)。若 \(0<a<b\)，则

\[0<b^n-a^n=(b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+a^{n-1})\leq n(b-a)b^{n-1} \]

因此 \(f(t)=t^n\) 在非负实数集上严格单调，这说明所求的正数 \(n\) 次方根若存在，则必定唯一。

令

\[E=\{t\in\mathbb R\mid t>0,\ t^n<x\} \]

取 \(t_0=\dfrac{x}{1+x}\in(0,1)\)，则 \(t_0^n\leq t_0<x\)，所以 \(E\neq\varnothing\)。又因为 \(1+x\) 是 \(E\) 的上界，所以 \(E\) 有上确界。下设 \(y=\sup E\)。

若 \(y^n<x\)，取

\[0<h<\min\left\{1,\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}\right\} \]

则

\[(y+h)^n-y^n\leq nh(y+h)^{n-1}<nh(y+1)^{n-1}<x-y^n \]

因此 \((y+h)^n<x\)，从而 \(y+h\in E\)，与 \(y=\sup E\) 矛盾。

若 \(y^n>x\)，取

\[0<h<\min\left\{y,\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}\right\} \]

则

\[y^n-(y-h)^n\leq nhy^{n-1}<y^n-x \]

因此 \((y-h)^n>x\)，从而 \(y-h\) 是 \(E\) 的一个上界，与 \(y=\sup E\) 矛盾。

故 \(y^n=x\)，证毕。

4.7 实数的十进制近似

设 \(x>0\)，令

\[b_n=10^{-n}\lfloor10^n x\rfloor \qquad d_n=\lfloor10^n x\rfloor-10\lfloor10^{n-1}x\rfloor \]

其中 \(d_n\) 是 \(x\) 的第 \(n\) 位小数。令 \(E=\{b_n\mid n\in\mathbb Z^+\}\)，则 \(\sup E=x\)。

证明：

由定义可知 \(b_n\leq x<b_n+10^{-n}\)，因而 \(x\) 是 \(E\) 的上界。设 \(s=\sup E\)。

若 \(s<x\)，则由阿基米德性质，存在 \(n\in\mathbb Z^+\)，使 \(10^{-n}<x-s\)。于是 $ s<x-10^{-n}<b_n$，与 \(s\) 是 \(E\) 的上界矛盾，因此 \(s=x\)，证毕。

注意：实数的十进制表示可能不唯一，例如 \(0.999\ldots=1.000\ldots\)。

4.8 扩充实数

为了表示方便，引入扩充实数集 \(\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}\)。

数列极限

1. 极限的概念

1.1 数列

数列是定义在正整数集上的函数。设 \(f:\mathbb Z^+\to\mathbb R\)，记 \(a_n=f(n)\)，通常将数列表示为 \(a_1,a_2,a_3,\ldots\)，或简写为 \(\{a_n\}\)。

1.2 极限的定义

设 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为实数列，\(A\in\mathbb R\)。

若对任意 \(\varepsilon>0\)，均存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得对任意 \(n>N\)，都有 \(|a_n-A|<\varepsilon\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(A\)。

也可称 \(A\) 为数列 \(\{a_n\}\) 的极限，记作 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\) 或 \(a_n\to A\)（\(n\to\infty\)）。

等价地，\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\) 当且仅当对任意 \(\varepsilon>0\)，数列 \(\{a_n\}\) 中只有有限项落在区间 \((A-\varepsilon,A+\varepsilon)\) 之外。

这称为数列极限的 \(\varepsilon\)-\(N\) 语言。

1.3 发散与子列

设 \(\{a_n\}\) 为数列，\(n_k\in\mathbb Z^+\)。若 \(1\leq n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<\cdots\)，则称 \(\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\) 为 \(\{a_n\}\) 的子列。

若数列 \(\{a_n\}\) 不以任何实数为极限，则称 \(\{a_n\}\) 发散。

等价地，\(\{a_n\}\) 发散当且仅当对任意 \(x\in\mathbb R\)，存在 \(\varepsilon>0\) 及 \(\{a_n\}\) 的一个子列 \(\{a_{n_k}\}\)，使得所有 \(k\in\mathbb Z^+\) 均满足 \(|a_{n_k}-x|\geq\varepsilon\)。

1.4 无穷极限

若对任意 \(M>0\)，均存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N\) 时 \(a_n>M\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 趋于正无穷，记作 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty\)。

类似地，可以定义 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-\infty\)。注意，这两种情形下的数列仍称为发散数列。

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=+\infty\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 发散到无穷，记作 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\infty\)。

这里不带符号的 \(\infty\) 只表示绝对值趋于正无穷，不指定数列的符号。

例如，数列 \(a_n=(-1)^n\) 发散。

2. 基本性质

2.1 极限的唯一性

若数列 \(\{a_n\}\) 收敛，则其极限唯一。

证明：

设 \(a_n\to A_1\) 且 \(a_n\to A_2\)，其中 \(A_1<A_2\)。对任意 \(\varepsilon>0\)，分别存在 \(N_1,N_2\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N_1\) 时 \(|A_1-a_n|<\varepsilon\)，当 \(n>N_2\) 时 \(|A_2-a_n|<\varepsilon\)。

取 \(N=\max\{N_1,N_2\}\)，则当 \(n>N\) 时，

\[|A_1-A_2|\leq|A_1-a_n|+|A_2-a_n|<2\varepsilon \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(A_1=A_2\)，矛盾。因此极限唯一，证毕。

2.2 夹逼定理

设 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)、\(\{c_n\}\) 为数列，且存在 \(N_0\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N_0\) 时，

\[a_n\leq b_n\leq c_n \]

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=A\in\mathbb R\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=A\)。

证明：

对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N_1,N_2\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N_1\) 时 \(|a_n-A|<\varepsilon\)，当 \(n>N_2\) 时 \(|c_n-A|<\varepsilon\)。

取 \(N=\max\{N_0,N_1,N_2\}\)，则当 \(n>N\) 时，

\[A-\varepsilon<a_n\leq b_n\leq c_n<A+\varepsilon \]

即 \(|b_n-A|<\varepsilon\)，证毕。

2.3 四则运算

设数列 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\) 分别收敛到 \(A,B\in\mathbb R\)，则有如下性质成立：

2.3.1 线性运算

对任意 \(\lambda,\mu\in\mathbb R\)，有 \(\lim\limits_{n\to\infty}(\lambda a_n+\mu b_n)=\lambda A+\mu B\)。

证明：

由 \(|\lambda a_n+\mu b_n-(\lambda A+\mu B)|\leq |\lambda||a_n-A|+|\mu||b_n-B|\)，对任意 \(\varepsilon>0\)，可取 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N\) 时，\(|a_n-A|<\dfrac{\varepsilon}{2(|\lambda|+1)}\)，\(|b_n-B|<\dfrac{\varepsilon}{2(|\mu|+1)}\)。

因而当 \(n>N\) 时，\(|\lambda a_n+\mu b_n-(\lambda A+\mu B)|<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)，所以由极限定义可得 \(\lim\limits_{n\to\infty}(\lambda a_n+\mu b_n)=\lambda A+\mu B\)，证毕。

2.3.2 乘法运算

有 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=AB\)。

证明：

\(|a_nb_n-AB|=|a_nb_n-Ab_n+Ab_n-AB|=|(a_n-A)b_n+A(b_n-B)|\leq|a_n-A||b_n|+|A||b_n-B|\)。

由 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\)，数列 \(\{b_n\}\) 有界，故存在 \(M>0\)，使得对任意 \(n\in\mathbb Z^+\)，都有 \(|b_n|<M\)。于是 \(|a_nb_n-AB|\leq M|a_n-A|+|A||b_n-B|\)。

对任意 \(\varepsilon>0\)，可取 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N\) 时，\(|a_n-A|<\dfrac{\varepsilon}{2(M+1)}\)，\(|b_n-B|<\dfrac{\varepsilon}{2(|A|+1)}\)。因而当 \(n>N\) 时，\(|a_nb_n-AB|<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)，证毕。

2.3.3 除法运算

当 \(B\neq0\) 时，有 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac AB\)。

证明：

由于 \(B\neq0\)，存在 \(N_0\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N_0\) 时，\(\dfrac{|B|}{2}<|b_n|<\dfrac{3|B|}{2}\)。

当 \(n>N_0\) 时，\(\left|\dfrac1{b_n}-\dfrac1B\right|=\dfrac{|b_n-B|}{|b_n||B|}<\dfrac2{|B|^2}|b_n-B|\to0\)。

故 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1{b_n}=\dfrac1B\)，再由乘法运算即得结论，证毕。

2.4 保序性

设 \(a_n\to A\)，\(b_n\to B\)，则有：

1. 若存在 \(N_0\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N_0\) 时 \(a_n\geq b_n\)，则 \(A\geq B\)。
2. 若 \(A>B\)，则存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N\) 时 \(a_n>b_n\)。

证明：

先证明第二条。取 \(\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0\)。充分大的 \(n\) 同时满足 \(a_n>A-\varepsilon=\dfrac{A+B}{2}=B+\varepsilon>b_n\)，故 \(a_n>b_n\)。

对于第一条，若 \(A<B\)，将第二条用于 \(b_n\) 与 \(a_n\)，则充分大的 \(n\) 满足 \(b_n>a_n\)，与假设矛盾，证毕。

2.5 保号性与远离零

若 \(a_n\to A\neq0\)，则充分大的 \(n\) 满足 \(a_n\) 与 \(A\) 同号，并且 \(\dfrac{|A|}{2}<|a_n|<\dfrac{3|A|}{2}\)。

证明：

取 \(\varepsilon=\dfrac{|A|}{2}\)，则充分大的 \(n\) 满足 \(|a_n-A|<\dfrac{|A|}{2}\)，从而 \(a_n\) 落在与 \(A\) 同号的区间内。再由 \(\bigl||a_n|-|A|\bigr|\leq|a_n-A|\)，即得两侧估计，证毕。

2.6 有界性

若存在 \(M>0\)，使得对所有 \(n\in\mathbb Z^+\) 均有 \(|a_n|<M\)，则称数列 \(\{a_n\}\) 有界。

命题：若数列 \(\{a_n\}\) 收敛，则 \(\{a_n\}\) 有界。

证明：

设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\in\mathbb R\)。由定义，取 \(\varepsilon=1\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(n>N\) 时，\(a_n\in(A-1,A+1)\)。

取 \(M=|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_N|+|A|+1\)，则对任意 \(n\in\mathbb Z^+\)，均有 \(|a_n|\leq M\)，证毕。

注意：有界数列未必收敛，例如 \(a_n=(-1)^n\) 或 \(a_n=\sin n\)。因此逆命题不成立。无界数列必定发散。

3. 常见数列极限

3.1 常数的 \(n\) 次方根

若 \(p>0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{p}=1\)。

证明：

若 \(p>1\)，令 \(x_n=\sqrt[n]{p}-1>0\)。

由二项式定理，\(1+nx_n\leq(1+x_n)^n=p\)，所以 \(0<x_n\leq\dfrac{p-1}{n}\to 0\)。

若 \(p=1\)，则结论显然成立。

若 \(0<p<1\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{p}=\dfrac1{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{p^{-1}}}=1\)，证毕。

3.2 \(n\) 的 \(n\) 次方根

\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)。

证明：

令 \(x_n=\sqrt[n]{n}-1>0\)。

当 \(n\geq2\) 时，由二项式定理，\(n=(1+x_n)^n\geq\binom n2x_n^2\)。

故 \(0<x_n\leq\sqrt{\dfrac2{n-1}}\to0\)，证毕。

推论：对任意 \(k\in\mathbb Z^+\)，由乘法法则可得 \(\lim\limits_{n\to\infty}n^{k/n}=1\)。

3.3 指数增长与幂增长

若 \(p>0\)，\(d\in\mathbb R\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^d}{(1+p)^n}=0\)。这说明指数函数的增长远快于幂函数。

证明：

取正整数 \(k>d\)。当 \(n>2k\) 时，

\[\frac{n^d}{(1+p)^n}<\frac{n^d}{\binom nkp^k}=\frac{k!}{p^k}\cdot\frac{n^d}{n(n-1)\cdots(n-k+1)}<\frac{k!2^k}{p^k n^{k-d}}\to0 \]

由夹逼定理可知 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^d}{(1+p)^n}=0\)，证毕。

3.4 趋于零的等比数列

若 \(|x|<1\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0\)。

证明：

当 \(x=0\) 时结论显然成立。

当 \(0<|x|<1\) 时，在 3.3 节的结论中取 \(d=0\)，\(p=\dfrac1{|x|}-1\)。

则 \(\lim\limits_{n\to\infty}|x|^n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1{(1+p)^n}=0\)，从而 \(x^n\to0\)，证毕。

3.5 无界的对数函数

若 \(a>1\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\log_a n=+\infty\)。

证明：

对任意 \(M>0\)，取 \(N>a^M\)。

当 \(n>N\) 时，\(\log_a n>\log_a a^M=M\)。

故 \(\lim\limits_{n\to\infty}\log_a n=+\infty\)，证毕。

3.6 幂函数

若 \(a>0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}n^a=+\infty\)。若 \(a<0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}n^a=0\)。

3.7 绝对值大于 \(1\) 的等比数列

若 \(|x|>1\)，则数列 \(\{x^n\}\) 发散，并且 \(\lim\limits_{n\to\infty}|x|^n=+\infty\)。

3.8 阶乘增长与指数增长

若 \(a>0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0\)。

证明：

取正整数 \(N_0>a\)。当 \(n>N_0\) 时，

\[\frac{a^n}{n!}=\frac{a^{N_0}}{N_0!}\cdot\frac a{N_0+1}\cdot\frac a{N_0+2}\cdots\frac a{n-1}\cdot\frac an\leq\frac{a^{N_0}}{N_0!}\cdot\frac an\to0 \]

由夹逼定理可知 \(\dfrac{a^n}{n!}\to0\)，证毕。

Stirling 公式给出阶乘函数的渐近关系：\(n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac ne\right)^n\)。

3.9 正弦数列

数列 \(\{\sin n\}\) 发散。

证明：

反设 \(\{\sin n\}\) 收敛，记 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sin n=A\in[-1,1]\)。由 \(\sin(n+1)-\sin(n-1)=2\sin1\cos n\)，左端趋于 \(A-A=0\)。又 \(\sin1\neq0\)，故 \(\lim\limits_{n\to\infty}\cos n=0\)。

于是 \(\sin2n=2\sin n\cos n\to2A\cdot0=0\)。因为 \(\{\sin2n\}\) 是 \(\{\sin n\}\) 的子列，所以 \(A=0\)。

但 \(\lim\limits_{n\to\infty}(\sin^2n+\cos^2n)=0^2+0^2=0\neq1\)，矛盾。因此 \(\{\sin n\}\) 发散，证毕。

4. 单调数列

4.1 定义

若数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1\leq a_2\leq a_3\leq\cdots\)，则称 \(\{a_n\}\) 为单调递增数列。

若 \(a_1<a_2<a_3<\cdots\)，则称 \(\{a_n\}\) 为严格单调递增数列。

类似地，可以定义单调递减数列与严格单调递减数列。

4.2 极限

若 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_k\mid k\in\mathbb Z^+\}\)。

若 \(\{a_n\}\) 单调递减且有下界，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\inf\{a_k\mid k\in\mathbb Z^+\}\)。

证明：

记 \(M=\sup\{a_k\mid k\in\mathbb Z^+\}\)。

若 \(M\in\mathbb R\)，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得 \(a_N>M-\varepsilon\)。由单调性，当 \(n>N\) 时，\(M\geq a_n\geq a_N>M-\varepsilon\)，故 \(a_n\to M\)。

若 \(M=+\infty\)，对任意 \(m\in\mathbb R\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得 \(a_N>m\)。由单调性，当 \(n>N\) 时，\(a_n\geq a_N>m\)，故 \(a_n\to+\infty\)。

单调递减的情形可同样证明，也可对数列 \(\{-a_n\}\) 应用上述结论，证毕。

所以我们证明了：单调有界数列必收敛。

例：设 \(a_1=\sqrt{2}\)，\(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\)，求 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n\)。

解：

由于当 \(n\geq2\) 时有 \(a_{n-1}<a_n<2\)，由单调有界性知，存在 \(A\in\mathbb R^+\)，使得 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)。

根据 \(a_{n+1}^2=2+a_n\)，两边取极限，得 \(A^2=2+A\)，故 \(A=2\)。

5. 自然常数

5.1 定义

记 \(a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n\)，首先证明 \(\{a_n\}\) 严格单调递增且有界。

证：

由二项式定理，

\[\begin{aligned} a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk n^{-k} =2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}\dfrac{n^{\underline k}}{n^k} \end{aligned} \]

又因为

\[\dfrac{n^{\underline k}}{n^k}=\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\dfrac{j}n\right)<\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\dfrac{j}{n+1}\right)=\dfrac{(n+1)^{\underline k}}{(n+1)^k} \]

所以 \(a_n<a_{n+1}\)，故 \(\{a_n\}\) 严格单调递增。

又因为 \(n\ge 2\) 时

\[a_n<2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}\leq2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k(k-1)}=3-\frac1n<3 \]

故 \(\{a_n\}\) 有界。

因此 \(\{a_n\}\) 收敛，记 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=e\)，真实值大约是 \(2.718281828\)。

5.2 范围近似

定义 \(b_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}\)，那么 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\left(1+\dfrac1n\right)=e\)。

当 \(n\geq2\) 时，由于

\[\frac{b_{n-1}}{a_n}=\left(1+\frac1{n^2-1}\right)^n>1+\frac n{n^2-1}>1+\frac1n \]

所以 \(b_{n-1}>b_n\)，即 \(\{b_n\}\) 严格单调递减。

那么对于 \(n\in\mathbb Z^+\)，有如下估计：

\[\left(1+\frac1n\right)^n <\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1} <e<\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+2} <\left(1+\frac1n\right)^{n+1} \]

5.3 级数表示

自然常数也可以通过级数 \(e=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac1{k!}\) 来定义。

若记 \(e_n=1+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1{k!}\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}e_n=e\)，下面给出证明。

证：

首先有 \(n\ge 2\) 时

\[a_n=2+\sum_{k=2}^{n}\frac{n^{\underline{k}}}{k!n^k}<2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{k!}=e_n \]

若 \(n>m\)，则

\[a_n=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{n^{\underline{k}}}{k!n^k} \gt 1+\sum_{k=1}^{m}\frac{n^{\underline{k}}}{k!n^k} \]

左右同时取极限得到

\[e\geq1+\sum_{k=1}^{m}\frac1{k!}=e_m \]

故 \(a_m\le e_m\leq e\)，由夹逼定理可知 \(\lim\limits_{n\to\infty}e_n=e\)。

5.4 自然对数与调和数列

记 \(\log_e x\) 为 \(\ln x\)，也可以记作 \(\log x\)。

由

\[\left(1+\frac1n\right)^n<e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1} \]

可得

\[n\ln\left(1+\frac1n\right)<1<(n+1)\ln\left(1+\frac1n\right) \]

因此

\[\frac1{n+1}<\ln(n+1)-\ln n<\frac1n \]

记 \(H_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac1k\) 为调和级数的部分和，于是有 \(H_{n+1}-1<\ln(n+1)<H_n\)。

设 \(C_n=H_n-\ln n\)，则 \(C_n>\ln(n+1)-\ln n>0\)。

并且 \(C_{n+1}-C_n=\dfrac1{n+1}-\ln\left(1+\dfrac1n\right)<0\)。

故 \(\{C_n\}\) 单调递减且有下界，存在极限，记为 \(\lim\limits_{n\to\infty}C_n=\gamma\)，即欧拉常数。

\(\gamma\) 的真实值大约是 \(0.5772156649\)，目前无法判断 \(\gamma\) 是否是有理数。

例：求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k\)。

解：

首先 \(\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k=C_{2n}-C_n+\ln(2n)-\ln n\)。

左右同时取极限，得到 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k=\ln2\)。

6. 上极限与下极限

6.1 定义

给定数列 \(\{a_n\}\)，定义下尾列 \(\{\underline a_n\}\) 和上尾列 \(\{\overline a_n\}\)，其中

\[\underline a_n=\inf\{a_k\mid k\geq n\}\qquad \overline a_n=\sup\{a_k\mid k\geq n\} \]

不论 \(\{a_n\}\) 是否有界，都有如下性质：

1. \(\{\underline a_n\}\) 单调递增，\(\{\overline a_n\}\) 单调递减。

2. \(\underline a_n\leq a_n\leq\overline a_n\)。

\(\{a_n\}\) 有界时，上下尾列都是有界的，由单调有界原理可知上下尾列都是收敛的。

记 \(\{\underline a_n\}\) 和 \(\{\overline a_n\}\) 的极限分别为 \(\{a_n\}\) 的下极限和上极限，即

\[\liminf\limits_{n\to\infty}a_n =\lim\limits_{n\to\infty}\underline a_n \qquad \limsup\limits_{n\to\infty}a_n =\lim\limits_{n\to\infty}\overline a_n \]

例：设 \(a_n=(-1)^n\)，则 \(\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=-1\)，\(\limsup\limits_{n\to\infty}a_n=1\)。

6.2 上下极限与收敛

定理：对有界数列 \(\{a_n\}\)，如下命题等价：

1. \(\{a_n\}\) 收敛。

2. \(\liminf\limits_{n\to\infty}a_n=\limsup\limits_{n\to\infty}a_n\)。

3. \(\lim\limits_{n\to\infty}(\overline a_n-\underline a_n)=0\)。

注意：上下极限不一定可以与四则运算交换次序。

例如 \(a_n=(-1)^n\)，\(b_n=(-1)^{n+1}\)。

6.3 基本性质

对于有界数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\)，其上下极限具有如下性质。

保序性：若存在正整数 \(N_0\)，使得当 \(n>N_0\) 时 \(a_n\geq b_n\)，则

\[\liminf\limits_{n\to\infty}a_n \geq\liminf\limits_{n\to\infty}b_n \qquad \limsup\limits_{n\to\infty}a_n \geq\limsup\limits_{n\to\infty}b_n \]

由于 \(a_n+b_n\leq\overline a_n+\overline b_n\)，故有如下推论

\[\limsup\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n) \leq \limsup\limits_{n\to\infty}a_n +\limsup\limits_{n\to\infty}b_n \]

7. 柯西准则

7.1 柯西列

如何在不知道极限的情况下判断数列收敛？

设 \(\{a_n\}\) 为实数列。

若对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得

\[m,n>N\implies |a_m-a_n|<\varepsilon \]

则称 \(\{a_n\}\) 为柯西列。

等价地，\(\{a_n\}\) 为柯西列当且仅当

\[\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sup\limits_{p\geq1}|a_n-a_{n+p}|\right)=0 \]

下面给出验证两类数列是否为柯西列的例子：

调和数列 \(\{H_n\}\) 不是柯西列。

证明：

对任意 \(n\in\mathbb Z^+\)，都有

\[H_{2n}-H_n\geq\dfrac{n}{2n}=\dfrac12 \]

因此调和数列 \(\{H_n\}\) 不是柯西列。

设 \(\{a_n\}\) 为数列，存在 \(C>0\)、\(q\in(0,1)\) 和 \(N_0\in\mathbb Z^+\)。

若对所有 \(n>N_0\)，均有 \(|a_{n+1}-a_n|<Cq^n\)，则 \(\{a_n\}\) 为柯西列。

证明：

当 \(m>n>N_0\) 时，由三角不等式，

\[|a_m-a_n|\leq |a_m-a_{m-1}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n| < Cq^{m-1}+\cdots+Cq^n =C\dfrac{q^m-q^n}{q-1}<\dfrac{Cq^n}{1-q} \]

故

\[\lim\limits_{n\to\infty} \left(\sup\limits_{p\geq1}|a_{n+p}-a_n|\right)=0 \]

7.2 柯西准则

柯西准则：一个数列 \(\{a_n\}\) 是收敛的当且仅当其为柯西列。

首先说明任意收敛数列都是柯西列：

证明：

设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\in\mathbb R\)。

对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)。

当 \(m,n>N\) 时，

\[a_m,a_n\in\left(A-\dfrac\varepsilon2,A+\dfrac\varepsilon2\right) \]

由三角不等式，\(|a_m-a_n|<\varepsilon\)。

再说明柯西列必为有界数列：

证明：

取 \(\varepsilon=1\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(m,n>N\) 时，\(|a_m-a_n|<1\)。

令 \(m=N+1\)，则当 \(n>N+1\) 时，\(a_n\in(a_{N+1}-1,a_{N+1}+1)\)。

取 \(M=|a_1|+\cdots+|a_N|+|a_{N+1}|+1\)，则 \(\{a_n\}\) 有界。

最后说明柯西列必定收敛：

证明：

由上可知柯西列 \(\{a_n\}\) 有界，因而上下极限存在。

对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\in\mathbb Z^+\)，使得当 \(m,n>N\) 时，

\[-\varepsilon<a_m-a_n<\varepsilon \]

固定 \(n>N\)，对 \(m\) 取上极限，得到

\[\limsup\limits_{m\to\infty}a_m\leq a_n+\varepsilon \]

再对 \(n\) 取下极限，得到

\[\limsup\limits_{m\to\infty}a_m \leq\liminf\limits_{n\to\infty}a_n+\varepsilon \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性，以及

\[\limsup\limits_{n\to\infty}a_n\geq\liminf\limits_{n\to\infty}a_n \]

可知二者相等。

故 \(\{a_n\}\) 收敛。

综上所述，实数列收敛当且仅当它是柯西列。

7.3 闭区间套原理

设 \(\{I_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为一列闭区间，其中 \(I_n=[a_n,b_n]\)，\(a_n\leq b_n\)。

若 \(I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots\)，则称 \(\{I_n\}\) 为闭区间套。

闭区间套原理：若闭区间套 \(\{[a_n,b_n]\}\) 满足

\[\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0 \]

则 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\) 恰有一个元素。

证明：

若 \(\{a_n\}\) 单调递增且有上界 \(b_1\)，\(\{b_n\}\) 单调递减且有下界 \(a_1\)，则两列收敛。

若 \(\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\)，则

\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\alpha \]

由 \(a_n\leq\alpha\leq b_n\)，可知 \(\alpha\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\)。

若另有 \(\gamma\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\)，则对任意 \(n\)，有

\[0\leq|\alpha-\gamma|\leq b_n-a_n \]

由 \(b_n-a_n\to0\)，得 \(\alpha=\gamma\)，所以这样的元素存在且唯一。

虽然有理数是稠密的，闭区间套原理在有理数域中并不成立。

反例考虑构造

\[a_n=4\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{4i-3}-\dfrac{1}{4i-1}\right)\qquad b_n=a_n+\dfrac{4}{4n+1} \]

则 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\pi\) 且 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\) 构成闭区间套，但 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\) 不含有理数。

注意，若将闭区间换成开区间，结论一般不成立。

例如

\[I_n=\left(0,\dfrac1n\right) \]

由闭区间套原理可说明 \(\mathbb R\) 不可数。

证明：

假设 \([0,1]\) 可数，列为 \(\{x_1,x_2,\ldots\}\)。

将 \([0,1]\) 三等分，选取一个不含 \(x_1\) 的闭区间，记作 \([a_1,b_1]\)。

再将 \([a_1,b_1]\) 三等分，选取一个不含 \(x_2\) 的闭区间，记作 \([a_2,b_2]\)。

如此重复，得到闭区间套 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\)，其区间长度趋于 \(0\)。

由闭区间套原理，存在

\[\xi\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] \]

但对任意 \(n\in\mathbb Z^+\)，都有 \(\xi\neq x_n\)，矛盾。

实数集的拓扑

1. 开集与闭集

1.1 开集

设 \(U\subseteq\mathbb R\)。

若对任意 \(x_0\in U\)，都存在 \(\delta=\delta(x_0)>0\)，使

\[(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq U \]

则称 \(U\) 为开集。

\((x_0-\delta,x_0+\delta)\) 称为 \(x_0\) 的 \(\delta\)-开邻域，在更高维的空间，如 \(\mathbb R^2,\mathbb R^3\) 中，相应的开邻域形如圆盘或者球。

例如，当 \(a<b\) 时，\((a,b)\) 为开集，集合 \(\mathbb R\)、\((a,+\infty)\)、\((-\infty,a)\) 也为开集，并且任意个开集的并仍为开集。

1.2 闭集

若一个实数集在 \(\mathbb R\) 中的补集为开集，则称该集合为闭集。

例如，当 \(a\leq b\) 时，\([a,b]\) 为闭集，任何有限集 \(\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) 都是闭集。

1.3 聚点与导集

设 \(E\subseteq\mathbb R\) 且 \(E\neq\varnothing\)。

对 \(x_0\in\mathbb R\)，若任意 \(\delta>0\) 都满足

\[((x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\})\cap E\neq\varnothing \]

则称 \(x_0\) 为 \(E\) 的一个聚点，或可称为极限点。

定义 \(E\) 的所有聚点构成的集合为 \(E\) 的导集，记为 \(E'\)。

我们可以给出闭集的一个等价定义：\(E\) 为闭集当且仅当 \(E'\subseteq E\)。

证明：

若 \(E\) 为闭集，则对任意 \(x_0\notin E\)，存在 \(\delta>0\)，使得 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E=\varnothing\)。

若 \(x\in E'\) 且 \(x\notin E\)，则取 \(x_0=x,\varepsilon=\delta\)，上述邻域与 \(E\) 不相交，这与 \(x\in E'\) 矛盾。

若 \(E'\subseteq E\)，那么对于任意 \(x\notin E\)，存在 \(\delta>0\) 使得 \((x-\delta,x+\delta)\cap E=\varnothing\)。

因此 \(\mathbb R\setminus E\) 是开集，这等价于 \(E\) 是闭集。

因此 \(E\) 是闭集等价于 \(E'\subseteq E\)。

另一个性质是 \(E'\) 的导集满足 \((E')'\subseteq E'\)。

证明：

反设存在 \(x\in (E')'\) 且 \(x\not\in E'\)。

那么存在 \(\varepsilon>0\) 使得 \(((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\setminus\{x\})\cap E=\varnothing\)。

由定义可知存在 \(y\in E'\) 使得 \(0<|x-y|<\dfrac \varepsilon 2\)。

并且存在 \(z\in E\) 使得 \(0<|y-z|<\dfrac \varepsilon 2\)。

若 \(x\not\in E\)，则 \(x\ne z\) 推出 \(0<|x-z|<|x-y|+|y-z|<\varepsilon\)，矛盾。

因此必定有 \(x\in E\) 且 \(E\cap ((y-\dfrac \varepsilon 2,y+\dfrac \varepsilon 2)\setminus \{y\})=\{x\}\)，否则依然能找到 \(z\ne x\) 使得 \(0<|y-z|<\dfrac\varepsilon 2\)。

此时取 \(\delta=\dfrac{|x-y|}2\) 即可使得 \(E\cap ((y-\delta,y+\delta)\setminus \{y\})=\varnothing\)，与 \(y\in E'\) 矛盾。

综上所述，必定有 \((E')'\subseteq E'\)。

1.4 内部、外部与边界

设 \(E\subseteq\mathbb R\) 且 \(E\neq\varnothing\)。

对 \(x_0\in E\)，若存在 \(\delta>0\)，使 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq E\)，则称 \(x_0\) 为 \(E\) 的一个内点。

记 \(E\) 的所有内点构成的集合为 \(E\) 的内部，记为 \(E^0\)。

\(\mathbb R\setminus E\) 的内点称为 \(E\) 的外点。

定义 \(E\) 的边界为既不是 \(E\) 的内点也不是 \(E\) 的外点的点构成的集合，记

\[\partial E=\{x\in\mathbb R\mid \forall\delta>0,\ (x-\delta,x+\delta)\cap E\neq\varnothing, \ (x-\delta,x+\delta)\cap(\mathbb R\setminus E)\neq\varnothing\} \]

1.5 闭包

设 \(E\subseteq\mathbb R\) 且 \(E\neq\varnothing\)。

记 \(\overline E=E\cup E'\)，称为 \(E\) 的闭包。

闭包有如下性质：\(\overline E\) 是包含 \(E\) 的最小闭集。

证明：

先验证 \(\overline E\) 是闭集。

反设 \(\mathbb R\setminus \overline E\) 不是开集，则存在 \(x\not\in\overline E\) 使得任意 \(\delta>0\) 都有 \((x-\delta,x+\delta)\cap \overline E\ne \varnothing\)。

由于 \(x\not\in E'\)，因此存在 \(\delta>0\) 使得 \((x-\delta,x+\delta)\cap E=\varnothing\)。

所以对于任意 \(\varepsilon\in(0,\delta)\) 都应该有 \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap E'\ne \varnothing\)，所以 \(x\in (E')'\)。

又因为 \((E')'\subseteq E'\)，与 \(x\not\in E'\) 矛盾。

验证 \(\overline E\) 的最小性即说明对于任意开集 \(C\subseteq \mathbb R\setminus E\)，一定有 \(C\cap \overline E=C\cap E'=\varnothing\)。

反设 \(x\in E'\cap C\)，由 \(C\) 为开集，必定存在 \(\delta>0\) 使 \((x-\delta,x+\delta)\subseteq C\subseteq \mathbb R\setminus E\)。

从而 \((x-\delta,x+\delta)\cap E=\varnothing\)，这与 \(x\in E'\) 矛盾。

所以任意包含 \(E\) 的闭集必定包含 \(\overline E\)。

定义：若 \(E\subseteq F\subseteqq\overline E\)，则称 \(E\) 在 \(F\) 中稠密。

例如：\(\mathbb Q\) 在 \(\mathbb R\) 中稠密。

2. Heine–Borel 定理

2.1 有限子覆盖

设 \(\{U_\alpha\}_{\alpha\in \Gamma}\) 为 \(\mathbb R\) 中的一族开集。

若闭区间 \([a,b]\) 满足

\[[a,b]\subseteq\bigcup\limits_{\alpha\in \Gamma}U_\alpha \]

则 \([a,b]\) 可被其中有限个开集覆盖。

即存在 \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \Gamma\)，使得

\[[a,b]\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^{n}U_{\alpha_i} \]

证明：

反设 \([a,b]\) 不能被这族开集有限覆盖。
将 \([a,b]\) 二等分，至少有一个子区间无法被有限个 \(U_\alpha\) 覆盖，记为 \([a_1,b_1]\)。

同样二等分 \([a_1,b_1]\)，得到不能被有限个 \(U_\alpha\) 覆盖的 \([a_2,b_2]\)。
以此类推，可得闭区间套 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\)，每个区间都不能被有限个 \(U_\alpha\) 覆盖，且 \(b_n-a_n\to0\)。

由闭区间套原理，存在唯一的 \(\xi\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\)。
由于 \(\xi\in[a,b]\)，存在 \(\alpha_0\in\Gamma\) 使 \(\xi\in U_{\alpha_0}\)。

\(U_{\alpha_0}\) 是开集，所以存在 \(\delta>0\)，使 \((\xi-\delta,\xi+\delta)\subseteq U_{\alpha_0}\)。
由于 \(a_n,b_n\to\xi\)，存在 \(N\)，使得 \(n>N\) 时 \([a_n,b_n]\subseteq(\xi-\delta,\xi+\delta)\subseteq U_{\alpha_0}\)，矛盾。

进一步，我们可以把 \([a,b]\) 换成任意的有界闭集。

我们称可以被任意满足条件的开集族有限覆盖的集合为紧集，在任意的空间 \(\mathbb R^d\) 中，紧集与有界闭集是等价的。

注意，\((a,b)\) 不是紧集。开覆盖 \(\{(a,b-\dfrac1n)\}_{n=1}^{\infty}\) 没有有限子覆盖。

2.2 局部有界性

定义：设 \(f\) 是定义在 \(I\) 上的函数。若 \(f(I)\) 是 \(\mathbb R\) 中的有界集，则称 \(f\) 在 \(I\) 上有界。

若对任意 \(x_0\in I\)，存在 \(\delta>0\)，使 \(f\) 在 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\cap I\) 中有界，则称 \(f\) 在 \(I\) 上局部有界。

例如，\(f(x)=x^2\) 在 \([0,1]\) 上有界，\(f(x)=\dfrac1x\) 在 \((0,1]\) 上局部有界。

定理：若 \(f:[a,b]\to\mathbb R\) 局部有界，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界。

证明：

对任意 \(x\in[a,b]\)，存在 \(\delta_x>0\)，使 \(f\) 在 \((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap[a,b]\) 上有界，记

\[M_x=\sup\{|f(t)|\mid t\in(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap[a,b]\} \]

由有限子覆盖定理，存在 \(x_1,\ldots,x_n\in[a,b]\)，使

\[[a,b]\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^{n}(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}) \]

因此

\[\sup\{|f(x)| \mid x\in[a,b]\}\leq\max\{M_{x_1},\ldots,M_{x_n}\} \]

紧集上一些局部的性质可由有限覆盖定理推广到全局上。

3. 聚点原理

3.1 聚点的等价刻画

\(x_0\) 是 \(E\) 的聚点有如下两种等价的判定：

1. 对任意 \(\delta>0\)，\((x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E\) 为无穷集。
2. 存在 \(E\) 中两两不同的点构成的序列 \(\{x_n\}\)，使 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\)。

证明：

由聚点定义，对于任意 \(\delta >0\)，可在 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\) 中取 \(x_1\in E\)。

令 \(\delta_2=\dfrac{|x_0-x_1|}{2}\)，取 \(x_2\in((x_0-\delta_2,x_0+\delta_2)\setminus\{x_0\})\cap E\)。

同样令 \(\delta_n=\dfrac 12\min\{|x_0-x_{m}|\mid m\in\mathbb Z^+,m<n\}\)，并取 \(x_n\in ((x_0-\delta_n,x_0+\delta_n)\setminus\{x_0\})\cap E\)。

以此类推，得到 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\cap E\) 中两两不同的 \(x_1,x_2,\ldots\)，且 \(x_n\to x_0\)。

所以 \(x_0\) 是 \(E\) 的聚点可以推出如下两种判定。

由这两种判定推出 \(x_0\) 是 \(E\) 的聚点是平凡的，只需要根据定义即可证明。

3.2 聚点原理

聚点原理：\(\mathbb R\) 中任意有界无穷子集都有聚点。

由有限子覆盖定理可证明聚点原理。

设 \(E\subseteq[a,b]\) 为有界无穷集。

证明：

若 \(E\) 无聚点，则对任意 \(x\in[a,b]\)，存在 \(\delta_x>0\)，使 \((x-\delta_x,x+\delta_x)\cap E\subseteq\{x\}\)。
由于 \(\{(x-\delta_x,x+\delta_x)\}_{x\in[a,b]}\) 覆盖 \([a,b]\)，由有限子覆盖定理，存在 \(x_1,\ldots,x_m\in[a,b]\)，使

\[[a,b]\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^{m}(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}) \]

于是

\[E=E\cap[a,b]\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^{m}(E\cap(x_i-\delta_{x_i},x_i+\delta_{x_i}))\subseteq\{x_1,\ldots,x_m\} \]

这与 \(E\) 为无穷集矛盾。

由闭区间套原理也可证明聚点原理。

证明：

设 \(E\subseteq[a,b]\) 为有界无穷集，将 \([a,b]\) 三等分，取一个与 \(E\) 的交集为无穷集的子区间。

重复这一过程，得到闭区间套 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\)，使 \(E\cap[a_n,b_n]\) 为无穷集。

由闭区间套原理，存在唯一的 \(\xi\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\)。

由于 \(a_n,b_n\to\xi\)，对任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\)，使 \(n>N\) 时

\[[a_n,b_n]\subseteq(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon) \]

故 \(E\cap(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)\) 为无穷集。由等价刻画可知，\(\xi\in E'\)。

3.3 Bolzano–Weierstrass 定理

Bolzano–Weierstrass 定理：任意有界数列必有收敛子列。

聚点原理与 Bolzano–Weierstrass 定理等价。

证明：

先说明可由聚点原理推出 Bolzano–Weierstrass 定理：对于有界数列 \(\{a_n\}\)，若其中存在某个值出现无穷多次，则可取该值构成的子列。

否则，去除重复元素的有限次出现后，剩余元素仍构成无穷集，记为 \(E\)，由聚点原理即可知其存在一个聚点 \(x\)。

对于任意正整数 \(k\) 都有 \((x-2^{-k},x+2^{-k})\cap E\) 为无穷集，所以一定能取出子列 \(\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\) 满足 \(|a_{n_k}-x|<2^{-k}\)，所以该子列收敛到 \(x\)。

反过来，任取 \(x_1\in E\)，则 \(E\cap(-\infty,x_1)\) 与 \(E\cap(x_1,+\infty)\) 至少有一个为无穷集。

设 \(E_1\) 为两者中的一个无穷集，再取 \(x_2\in E_1\)，\(E_2\) 为 \(E_1\cap(-\infty,x_2),E_1\cap(x_2,+\infty)\) 两者中的一个无穷集。

依次重复，得到两两不同的有界数列 \(x_1,x_2,\ldots\)，其收敛子列的极限即为 \(E\) 中的聚点。

4. 实数完备性的等价刻画

实数系中以下命题等价：

1. 上确界原理。
2. 单调有界数列必收敛。
3. Cantor 闭区间套原理。
4. Heine–Borel 有限子覆盖定理。
5. 聚点原理。
6. Bolzano–Weierstrass 定理。
7. Cauchy 准则，即实数中柯西列必收敛。

首先可以推导 \((1)\implies(2)\implies(3)\implies(4)\implies(5)\iff(6)\)。

并且由 \((1)\implies (2)\) 可以得到上下极限的存在性及其性质，从而推出 \((7)\)。

因此只要说明 \((7)\iff(6)\implies (1)\) 即可说明上述七个命题等价。

先说明 \((6)\implies (7)\)：

证明：

显然任意 Cauchy 列 \(\{a_n\}\) 是有界的，因此由 Bolzano–Weierstrass 定理可以找到其中一个收敛子列 \(\{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\)，设其极限为 \(A\)。

那么对于任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(N_1\) 使得 \(n,m>N_1\) 时 \(|a_n-a_m|<\dfrac \varepsilon 2\)。

同时存在 \(N_2\) 使得 \(k>N_2\) 时 \(|a_{n_k}-A|<\dfrac \varepsilon 2\)。

由于该子列是无穷子列，所以必定存在正整数 \(k\) 使得 \(n_k>N_1\) 且 \(k>N_2\)，取 \(N=n_k+1\)，则任意 \(n>N\) 都有

\[|a_n-A|\le|a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-A|<\varepsilon \]

所以 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=A\)。

再说明 \((7)\implies (6)\)：

证明：

设数列 \(\{c_n\}\) 被包含在闭区间 \([a,b]\) 中，那么把 \([a,b]\) 二等分，至少有一个区间中包含无穷个 \(\{c_n\}_{n=1}^{\infty}\) 中的项，取这样的一个区间为 \([a_1,b_1]\)，而 \(n_1\) 为任意一个 \(c_{n_1}\in[a_1,b_1]\) 的下标。

然后将 \([a_1,b_1]\) 二等分，至少有一个区间中包含无穷个 \(\{c_n\}_{n=n_1+1}^{\infty}\) 中的项，取这样的一个区间为 \([a_2,b_2]\)，而 \(n_2\) 为任意一个 \(c_{n_2}\in[a_2,b_2],n_2>n_1\) 的下标。

不断重复这个过程，可以得到一个闭区间套 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\) 和子列 \(\{c_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}\) 满足 \(c_{n_k}\in[a_k,b_k]\)。

那么 \(\sup\{|c_{n_i}-c_{n_j}|\mid i,j>m\}\le |a_m-b_m|=2^{-m}(b-a)\to 0\)。

因此由夹逼定理可知 \(\{c_{n_k}\}\) 是 Cauchy 列，由 \((7)\) 即可知该子列即为所求的收敛子列。

然后说明 \((6)\implies(2)\)：

证明：

对于单调递增且有上界的数列 \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)，由 \((6)\) 可取出一个收敛子列 \(\{a_{m_k}\}_{k=1}^{\infty}\)，设其收敛到 \(A\)。

那么对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(p\) 使得 \(k\ge p\) 时 \(A-\varepsilon<a_{m_k}<A+\varepsilon\)。

取 \(N=m_p\)，对于任意 \(n>N\)，一定有 \(m_{n+1}>n>m_p\)，由于 \(\{a_n\}\) 单调递增，所以 \(A-\varepsilon<a_{m_p}\le a_n\le a_{m_{n+1}}<A+\varepsilon\)。

所以此时 \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=A\)。

递减数列的情形是完全对称的。

从而得到 \((6)\implies (2)\implies(3)\)，只需说明 \((3)\implies (1)\) 即可完成证明：

证明：

对于任意非空有上界集合 \(E\)，取 \(a\in E\)，设其上界为 \(b\)。

记 \(c_1=\dfrac {a+b}2\) 若 \(E\cap [c_1,b]\) 非空则取 \([a_1,b_1]=[c_1,b]\)，否则取 \([a_1,b_1]=[a,c_1]\)。

然后取 \(c_2=\dfrac{a_1+b_1}2\)，若 \(E\cap [c_2,b_1]\) 非空则取 \([a_2,b_2]=[c_2,b_1]\)，否则取 \([a_2,b_2]=[a_1,c_2]\)。

以此类推可以得到一列区间套 \(\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}\)，由归纳法易知任意的 \([a_n,b_n]\cap E\) 非空且 \((b_n,+\infty)\cap E\) 为空。

由于 \((b_n-a_n)=2^{-n}(b-a)\to 0\)，所以由 \((3)\) 可知存在唯一的 \(\xi \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} [a_n,b_n]\)，则 \(\xi=\sup E\)。

先验证 \(\xi\) 确实是 \(E\) 的上界。

反设存在 \(x\in E\) 满足 \(x>\xi\)，那么对于任意 \(n\)，一定有 \(b_n\ge x\)，否则 \(x\in (b_n,+\infty)\cap E\)，矛盾。

那么 \(\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)\ge x-\xi>0\)，矛盾。

再验证 \(\xi\) 是 \(E\) 的最小上界。

若存在 \(\alpha <\xi\) 且 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界，那么对于任意 \(n\) 一定有 \(a_n\le \alpha\)，否则任意 \(x\in E\) 都有 \(x\le \alpha<a_n\)，与 \([a_n,b_n]\cap E\ne\varnothing\) 矛盾。

那么 \(\lim\limits_{n\to\infty}(b_n-a_n)\ge \xi-\alpha>0\)，矛盾。

综上，必定有 \(\xi=\sup E\)。