【BZOJ-4547】小奇的集合 矩阵乘法 + 递推

4547: Hdu5171 小奇的集合

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Description

 有一个大小为n的可重集S，小奇每次操作可以加入一个数a+b(a,b均属于S)，求k次操作后它可获得的S的和的最大

值。（数据保证这个值为非负数）

Input

第一行有两个整数n,k表示初始元素数量和操作数，第二行包含n个整数表示初始时可重集的元素。

对于100%的数据，有 n<=10^5，k<=10^9，|ai|<=10^5

Output

输出一个整数，表示和的最大值。答案对10000007取模。

Sample Input

2 2
3 6

Sample Output

33

HINT

Source

By Hzwer

Solution

很显然，每次操作都是取最大和次大相加，然后如此下去

如此这样发现，显然是一个fib前缀和的问题，那么显然可以递推

优化这个递推，显然可以矩阵乘法

$\begin{bmatrix}S[max]&  S[cmax]& Sum \end{bmatrix}*(\begin{bmatrix} 1& &1& &0\\ 1& &0& &0\\ 1& &1& &1 \end{bmatrix})^{K}$

其中S[max]表示最大，S[cmax]表示次大

如果初始的次大<0先不断累加最大，到>=0为止，然后进行上述处理

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int  read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXN 100010 
#define L 4
#define sz 3
#define p 10000007
int N,K;
int S[MAXN];
int sum;
struct MatNode{int a[L][L]; MatNode() {memset(a,0,sizeof(a));}}A,D;
MatNode MatMul(MatNode X,MatNode Y)
{
    MatNode C;
    for (int k=1; k<=sz; k++)
        for (int i=1; i<=sz; i++)
            for (int j=1; j<=sz; j++)        
                if (X.a[i][k] && Y.a[k][j])
                    (C.a[i][j]+=(long long)X.a[i][k]*Y.a[k][j]%p)%=p;
    return C;
}
MatNode MatPow(MatNode x,int y)
{
    MatNode re;
    for (int i=1; i<=sz; i++) re.a[i][i]=1;
    for (int i=y; i; i>>=1,x=MatMul(x,x))
        if (i&1) re=MatMul(re,x);
    return re;
}
void BuildMat()
{
    A.a[1][1]=1; A.a[1][2]=1; A.a[1][3]=0;
    A.a[2][1]=1; A.a[2][2]=0; A.a[2][3]=0;
    A.a[3][1]=1; A.a[3][2]=1; A.a[3][3]=1;
    D.a[1][1]=S[1]; D.a[2][1]=S[2]; D.a[3][1]=sum;
}
bool cmp(int a,int b) {return a>b;}
int main()
{
    N=read(),K=read();
    for (int i=1; i<=N; i++) S[i]=read(),sum+=S[i],sum=(sum+p)%p;
    sort(S+1,S+N+1,cmp); 
    while (S[2]<0 && K>0)
        {
            S[2]=(S[2]+S[1])%p; K--;
            sum+=S[2]; sum=(sum+p)%p;
        }
    BuildMat();
    D=MatMul(MatPow(A,K),D);
    int ans=(D.a[3][1]+p)%p;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}