小公式

 

奇奇怪怪

$\sum _{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (i,j) =(\quad \sum_{d=1}^{n} \varphi (d) \quad ) - 1$

可以考虑 分情况讨论，一种情况是$i=1,j=1$，另一种是$i>j$或$j>i$，当$i>j$时$j$对答案的贡献就是$\varphi(i)$，其余同理，所以减去重复计算的$\varphi(1)$即可

 

 

拉格朗日差值公式

$$f(x)=\sum _{i=0} ^{N} f(x_{i})\frac{\prod_{j \neq i}(x-x_{j})}{\prod_{j\neq i}(x_{i}-x_{j})}$$

 

Catalan数

长度为$n$的$\pm 1$序列，前缀和总满足$\geq 0$的数列个数。

包含$n$个顶点的凸多边形的三角剖分方案数。

通项公式 $$C_{n}=\frac {1}{n+1} \binom{2n}{n}$$

递推式 $$C_{n}=\frac{4n-2}{n+1}C_{n-1},C_{0}=1$$

 

第二类Stirling数

把$p$个元素集合划分到$k$个不可区分的盒子，且没有空盒子的划分方案数。

$$S(p,k)=S(p-1,k-1)+k*S(p-1,k)$$

并且我们有$$S(p,p)=1$$

$$S(p,0)=\left\{\begin{matrix}1 (p=0)\\0 (p\geq 1)\end{matrix}\right.$$

 

第一类Stirling数

把$p$个对象排成$k$个非空循环排列的方法数。

$$s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1)$$

并且我们有$$s(p,p)=1 (p \geq 0)$$  $$s(p,0)=0 (p \geq 1)$$