最短Hamilton路径

题目描述

给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

 

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10^7的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

 

输出

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

 

样例输入

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

 

样例输出

4

 

提示

从0到3的Hamilton路径有两条，0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5，后者的长度为1+2+1=4

 

思路：用dp[i][j]表示，从起点s到点j，且经过i的二进制表示中值为1的位所对应的点的最短路径；则状态转移方程为：dp[i][j]=min{dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]}(k=1~n); 其含义就是枚举到达点j之前的前一个点k，取其最短；

 

用二进制上的数代表一个点的状态，取（1）或不取（0）。题目让求从点1到n的最短汉密顿路径，即经过每个点一次，这时的状态用二进制表示就是 (1<<n)-1 （n个1）。用dp[i][j]表示在状态 i 下，从1到 j 的最短汉密顿路径。

dp[i][j]可由上一个状态（上一状态就是把 j从当前状态中去掉）dp[i^(1<<(j-1))][k]得到，其中保证k是中存在的点，即 (i>>k)&1。

表示 i 的第 k 位是1，即经过点 k。  注意是 i>>k 不是 i<<k

则状态转移方程为：dp[i][j]=min{dp[i^(1<<j)][k]+Map[k][j]}(k=1~n); 其含义就是枚举到达点j之前的前一个点k，取其最短；

 

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int f[1 << 20][20];
int wight[200][200];

int main(void){
int n;
cin >> n;
for(int i = 0 ; i < n; i++){
    for(int j = 0 ; j < n ; j++){
        cin >> wight[i][j];
    }
}
//状态压缩，用二进制的1来表示此位置是否被用过
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[1][0] = 0;
//二进制位数 
for(int i = 0 ; i <( 1 << n) ; i++)
for(int j = 0; j < n ; j++) 
    if(i >> j & 1)
        for(int k = 0;k < n; k++)
            if((i ^ 1 << j) >> k & 1)
                f[i][j] = min(f[i][j],f[i^1 << j][k] + wight[k][j]);

            cout << f[(1 << n ) - 1][n -1] << endl;; 
    return 0;

}