再谈线性基
可参考神犇博客：
https://oi.men.ci/linear-basis-notes/
https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis
一、线性基介绍
1、线性基：
若干数的线性基是一组数a1,a2,...an，其中ax的最高位的1在第x位。
通过线性基中元素xor出的数的值域与原来的数xor出数的值域相同。
2、线性基的构造法：
对每一个数p从高位到低位扫，扫到第x位为1时，若ax不存在，则ax=p并结束此数的扫描，否则令p = p xor ax。（此处若此位存在，则必然存在有更高位的二进制数的1在此位置，异或则会使本身变优）
3、查询：
用线性基求这组数xor出的最大值：从高往低扫ax，若异或上ax使答案变大，则异或。
4、判断：
用线性基求一个数能否被xorxor出：从高到低，对该数每个是1的位置x，将这个数异或上ax（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为0，则可被异或出。当然需要特判0（在构造过程中看是否有p变为0即可）。例子：(11111,10001)的线性基是a5=11111，a4=01110，要判断11111能否被xor出，11111 xor a5=0，则这个数后来就没有是1的位置了，最终得到结果为0，说明11111能被xor出。
个人谈一谈对线性基的理解:
很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xor，能够构出原来的数可以相互xor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xor和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：BZOJ2460。
构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：
1 for(int i=1;i<=n;i++) { 2 3 for(int j=62;j>=0;j--) { 4 5 if(!(a[i]>>j)) continue;//对线性基的这一位没有贡献 6 7 if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//选入线性基中 8 9 a[i]^=p[j]; 10 11 } 12 13 }
可以把n个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。
查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得ans更大，就把这一位的基xor进ans。
1 for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值
这就是线性基的基本用法和个人的一些理解。
二、线性基模板
更新下线性基的模板
1 #include<stdio.h> 2 #include<bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 typedef long long int ll; 5 const int maxn = 1e5 + 7; 6 const int mod = 1e9 + 7; 7 struct Linear_Basis { 8 ll b[63], nb[63], tot; //b为线性基 nb用来求第K小异或值 tot为nb元素个数 9 bool flag = false; 10 void init() { //初始化 11 tot = 0; 12 flag = false; 13 memset(b, 0, sizeof(b)); 14 memset(nb, 0, sizeof(nb)); 15 } 16 void ins(ll x) { //插入 17 for(int i = 62; i >= 0; i--) { 18 if(x & (1ll << i)) { 19 if(!b[i]) { 20 b[i] = x; 21 return; 22 } 23 x ^= b[i]; 24 } 25 } 26 flag = true; 27 return; 28 } 29 bool fin(ll x) { //验证存在性 30 if(x == 0 && b[0]) 31 return 1; 32 for(int i = 62; i >= 1; i--) { 33 int j = i - 1; 34 if(x & (1 << j)) { 35 x ^= b[i]; 36 if(!x) 37 return 1; 38 } 39 } 40 return 0; 41 } 42 ll Max(ll x) { //求最大值 43 ll res = x; 44 for(int i = 62; i >= 0; i--) { 45 res = max(res, res ^ b[i]); 46 } 47 return res; 48 } 49 ll Min(ll x) { //求最小值 50 ll res = x; 51 for(int i = 0; i <= 62; i++) { 52 if(b[i]) 53 res ^= b[i]; 54 } 55 return res; 56 } 57 ll Rebuild() { //第K大 58 for(int i = 62; i >= 0; i--) { 59 if(b[i] == 0) 60 continue; 61 for(int j = i - 1; j >= 0; j--) { 62 if(b[j] == 0) 63 continue; 64 if(b[i] & (1ll << j)) 65 b[i] ^= b[j]; 66 } 67 } 68 for(int i = 0; i <= 62; i++) { 69 if(b[i]) 70 nb[tot++] = b[i]; 71 } 72 } 73 ll Kth_Max(ll k) { 74 if(flag) 75 k--; //??? 76 ll res = 0; 77 if(k == 0) 78 return 0; 79 if(k >= (1ll << tot)) 80 return -1; 81 for(int i = 62; i >= 0; i--) { 82 if(k & (1ll << i)) 83 res ^= nb[i]; 84 } 85 return res; 86 } 87 } LB; 88 void merge(Linear_Basis &a, Linear_Basis &b) { //a和b都变成a+b 89 for(int i = 31; i >= 1; i--) { 90 if(b.b[i] == 0) 91 continue; 92 a.Ins(b.b[i]); 93 } 94 b = a; 95 } 96 int main() { 97 int n; 98 scanf("%d", &n); 99 return 0; 100 }
三、线性基好题
题目：
