题解：CF1776M Parmigiana With Seafood

致谢：
本文主要思路参考了这篇题解，并补充了最优结构中必含 \(n\) 的证明，在此表示感谢。

人生首黑！写篇题解祭一下。
超绝无敌螺旋升天找规律博弈题

显然答案具有单调性，考虑二分答案 \(mid\)，对于 \(\ge mid\) 的点我们把它染成白色，\(\lt mid\) 的点我们把它染成黑色。

于是问题变成能不能保证先手可以取到一个白点。

考虑先后手的获胜条件是什么。

如果 \(n \equiv 0 \pmod 2\)，那么先手必胜，因为一直取点后一定会留下一个白色节点，答案即为 \(n\)。

接下来考虑 \(n \equiv 1 \pmod 2\) 的情况。先手操作时只要出现白色叶子节点就直接胜利，所以后手必须严防死守，不能让任何一个白点变成叶子。

考虑由一些白点构成的虚树。如果虚树里某个叶子是白的，我们就随便加一条以它为端点的边，这样一旦拆掉虚树上任意一个点，就会有一个白点变成叶子，先手就能赢。进一步，如果这个虚树的大小 \(sz_{tr}\) 为偶数，那么后手操作之后，先手必定能选到一个白色叶子，直接获胜。所以先手能不能赢，就看存不存在这样的虚树。

充分动用人类智慧，我们发现只有下面两种情况会搞出这种虚树：

• 存在两个点 \((u,v)\)，它们之间的距离是奇数（即 \(dis(u,v) \bmod2 = 1\)）。此时答案就是 \(\min(u,v)\)。
• 存在三个点 \((u,v,w)\)，它们的中心是 \(x\)，并且 \(u,v,w\) 到 \(x\) 的距离都是偶数。此时答案就是 \(\min(u,v,w)\)。

所有情况就这么两种，然后我们惊奇地发现根本不用二分答案，直接判断上面两种情况就能得到最优答案。

再充分动用人类智慧就又会发现这两种情况里 \((u,v)\) 或 \((u,v,w)\) 中必有一个为 \(n\)，否则可以证明一定不是最优（证明见下文）。于是以 \(n\) 为根跑一遍 dfs 就行了，复杂度 \(O(n)\)。

证明：
证明写的很烂请见谅
考虑反证法。
假设存在不含 \(n\) 的距离为奇数的点对 \((x,y)\) 且 \(\min(x,y)\) 更大。则 \((n,x),(n,y)\) 距离均为偶（否则含 \(n\) 的更优），但 \(dis(x,y)\) 为奇，与奇偶性矛盾。
假设存在不含 \(n\) 的三点组 \((x,y,z)\) 到某中心 \(c\) 距离均为偶且 \(\min(x,y,z)\) 更大。则所有两两点对距离均为偶（否则含 \(n\) 的奇数点对出现）。若 \(dis(n,c)\) 为偶，则 \(n\) 到 \(x,y,z\) 均为偶，\((n,x,y)\) 即为含 \(n\) 的三点组；若为奇，则 \(n\) 到各点均为奇，\((n,x)\) 为奇数点对。均矛盾。
故最优结构必含 \(n\)，得证。