空间坐标系
范数
范数的表示
在数学中，双竖线 "‖" 通常用来表示向量的范数（norm），它是一个向量空间中的长度或大小度量。
曲率
定义
\[曲率：K=\|{\frac{dT}{ds}}||
\]
\[T(t) = \frac{r’(t)}{|r’(t)|}
\]
说明
T(t)是曲线的导数除以其范数，即曲线在t时刻的切线方向上的单位向量。
特殊说明
特殊的，因为我们需要描述曲率是作为曲线的内在性质，所以不对时间t进行微分而是基于曲线长度s进行微分。（而不是仅仅描述点在曲线上的运动变化）
公式推导
\[\|\frac{dT}{ds}\|=\|\frac{dT}{dt}·\frac{dt}{ds}\| = |\frac{dt}{ds}|·\|\frac{dT}{dt}\|=\|\frac{T'(t)}{v(t)}\|=\|\frac{T'(t)}{r'(t)}\|
\]
\[\|v(t)\|=\frac{ds}{dt} => \frac{dt}{ds} = \frac{1}{\|v(t)\|}
\]
曲率半径
定义
对于平面上一个曲率不为0的线段，作一个与切点P相切的圆，且圆心位于曲线的凹面上，其称为曲率圆。它的半径等于曲率的倒数，其圆心即为曲率中心。
在三维空间中仍然成立，平面则为观测平面。
更多的2D曲率公式
让Φ等于从i到T（切线方向的单位向量）的逆时针观测值，那么就有
\[T=\cos{\phi i}+\sin{\phi j}
\]
\[\frac{dT}{d\phi} = -\sin{\phi i}+\cos{\phi j }
\]
可知，dT/dφ也为单位向量，且dT/dφ * T = 0
\[K = \|\frac{dT}{ds}\| = \|\frac{dT}{d\phi}\||\frac{d\phi}{ds}|=|\frac{d\phi}{ds}|
\]
\[|\frac{ds}{d\phi}|=r
\]
也就是 K = 1/r ，曲率半径与曲率互为倒数。
更近一步，可以推到出2D平面中的曲率公式
\[已知x=f(t),y=g(t),r(t)=f(t)i+g(t)j
\]
\[K = \frac{|y''x' - x''y'|}{(x')^2+(y')^2}
\]
更特殊的，如果y能用x表示为y=g(x)，那么有
\[K= \frac{y''}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}
\]
单位法向量
上文我们得知，T(t)为单位切向量，且对于任意t满足：T(t) ·T(t) = 1。
对两边求微分可得，2T’(t)T(t) = 0，则T(t) ⊥ T’(t)
一般来说，T’(t)不是单位向量，所以我们定义主单位法向量 (principal unit normal vector)
\[\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|}
\]
加速度a(t)=r’’(t)，加速度可以分解为切向加速度分量与法向加速度分量。（N(t)与T(t)的方向)，即：
\[a = a_TT +a_NN
\]
\[a_T = \frac{d^2s}{dt^2},a_N=(\frac{ds}{dt})^2K
\]
其中K为曲率
\[\because a = a_TT + a_NN
,aT = a_T
\]
\[a_T = \frac{r'·r''}{\|r'\|}
\]
\[T \times a = a_TT \times T + a_NT \times N = a_NT \times N = a_N
\]
\[a_N = \|T \times a\|=\|\frac{r'}{\|r'\|} \times r'\|= \frac{\|r' \times r''\|}{\|r'\|}
\]
如果r(t)在R2中，我们将r(t)嵌入R3,(r(t),0)，我们结合上述公式便得到了曲率的公式。
\[K=\frac{a_N}{(\frac{ds}{dt})^2}=\frac{\|r' \times r''\|}{(\|r'\|)^3}
\]
副法线
给定一个曲线C与单位切向量T,有无数个与点T垂直的法线N
\[N=\frac{T'}{\|T'\|}
\]
\[B = T \times N
\]
B被称副法线(Binormal)
叉乘
交换律
\[u \times v = - v \times u
\]
拉格朗日恒等式
\[\|u \times v\|^2 = \|u\|^2\|v\|^2-(u \cdot v)^2
\]
这个公式连接了点乘与叉乘的值，具有重要意义。
这个公式还具有普遍形式：
\[a = (a_1,...,a_n)^T,b = (b_1,...,b_n)^T
\]
\[<a,a><b,b>=<a,b>^2+\sum_{1<=i<j<=n}\left | \begin{matrix}a_i& a_j \\
b_i& b_j \\
\end{matrix} \right|
\]
其中,<a, b>定义为
\[<a,b> :=\sum_{i=1}^{n}{a_ib_i}
\]
n=3时，就得到了特殊形式
\[\|a\|^2\|b\|^2=<a,b>^2+\|a\times b\|^2
\]
也就是上式拉格朗日恒等式的等价形式。
且我们可以证明：
\[(a \times b) \cdot (u \times v)= (a \cdot u)(b \cdot v) - (a \cdot v)(b\cdot u)
\]
旋转矩阵
如果R是三维旋转矩阵，那么可以有分配律。
\[Ra \times Rb = R(a \times b)
\]
运算法则
\[u × v = −v × u (反交换律)
\]
\[u × (v + w) = u × v + u × w (左分配律)
\]
\[k(u × v) = (ku) × v = u × (kv) (标量乘法)
\]
\[u × 0 = 0 × u = 0, u × u = 0 (零向量和自身叉乘)
\]
\[(u × v) · w = u · (v × w) (标量三重积)
\]
\[u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w (向量三重积)
\]
\[u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0 (雅可比恒等式)
\]
球面
定义
我们所说的球体是指三维空间中所有点的集合。
半径）与一个固定点（圆心）的距离恒定的所有点的集合。
点（圆心）的所有点的集合。
\[x^2+y^2+z^2+Gx+Hy+Iz+J=0
\]
线性方程
定义
\[Ax+By+Cz=0,(A^2+B^2+C^2\neq0)
\]
性质
线性方程在三维空间表示一个平面，方程则表示一个曲面
曲线
定义
\[x=f(t),y=g(t),z=h(t),(t\in [a,b])
\]
这说明曲线在三维空间中是光滑的，当且仅当f’(t),g’(t),h’(t)存在，且不同时为0。
曲线长度
\[L=\int _{a}^{b}{\sqrt{[f'(t)]^2+[g'(t)]^2+[h'(t)]^2}dt}
\]
\[ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2
\]
线方程
(Symmetric equations)
\[\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
\]
描述一个过点(x_0,y_0,z_0)且平行于向量(a,b,c)的直线。
平面坐标系
极坐标
定义
任何一点 P（极点除外）都是以 O 为圆心的唯一圆与从 O 出发的唯一射线的交点。
是以 O 为圆心的唯一圆与从 O 出发的唯一射线的交点。
是圆的半径，θ 是射线与极轴的夹角之一。
则 (r,θ) 是 P 的一对极坐标。
每个点都有无限多组极坐标、
角 θ +2πn，其中
n =0,±1,±2,...，具有相同的端边。
由于我们允许 r 为负值，因此会出现额外的表示。
为负数。从这个意义上说，极坐标为
(r,θ) 的点，其中 r < 0，与极坐标为
(|r|,θ +π)
例子
假设极轴与直角坐标系的正 x 轴重合。
轴重合。则点 P 的极坐标
点 P 的极坐标 (r,θ) 与直角坐标 (x,y)
的关系式为
\[
\begin{cases}
x=r\cos{\theta}\\
y=r\sin{\theta}
\end{cases}\ \ \ or\ \ \
\begin{cases}
r^2=x^2+y^2\\
\tan{\theta}=\frac{y}{x}
\end{cases}
\]
线
定义
\[r=\frac{d}{\cos{(\theta-\theta_0)}}
\]
圆
定义
\[r=2a\cos{\theta-\theta_0}
\]
圆锥曲线
定义
\[r=\frac{de}{1+e\cos{\theta-\theta_0}}
\]
蜗线
定义
\[r=a \pm b\cos{\theta}
\]
特殊地，当a=b时，则是心形线。
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双扭线
定义
\[r^2 = \pm acos{2\theta}
\]
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玫瑰线
定义
\[r = acosn\theta
\]
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螺旋线
阿基米德螺旋线
\[r=a\theta
\]
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对数螺线
\[r=ae^{b\theta}
\]
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曲线面积
定义
\[A(R)=\int _\alpha^\beta{[f(\theta)]^2d\theta}
\]
等弦点
定义
通过这点的弦长相等，与圆的圆心一样，但是无法根据这个确定面积。
特殊
一个平面区域能否有两个等弦点？是未解决问题。
无穷级数
收敛点
定义
\[x= \lambda时,\sum_0^\infin {a_n\lambda^n}收敛（或发散），则\lambda称为\sum_0^\infin {a_n\lambda^n}的收敛点（或发散点）
\]
收敛域
定义
\[所有使幂级数\sum_{n=0}^{\infin}{a_nx^n}收敛的点被称为收敛域
\]
特殊
特殊地，x=0永远是其收敛点。所以这种形式的幂级数收敛域永远非空。
收敛区间
定义
如果存在正数R使当|x|<R时，幂级数收敛，|x|>R时幂级数发散，则x被称为其收敛半径，区间(-R,R)被称为其收敛区间。
阿贝尔定理
如果幂级数除了0还有其他收敛点，则必有一个收敛区间。
特殊
幂级数的收敛域必定是以下情况之一
- x=0
- 区间(-R,R)，加上一个或两个可能的终点。
- 整个实数轴
公式
\[对于\sum_{n=0}^{\infin}{a_nx^n}，如果\lim_{n\rightarrow\infin}{\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}=p,那么收敛半径R为\\
R=
\begin{cases}
\frac{1}{p},\ \ \ if\ p \neq 0,\\
+\infin,\ \ \ if\ p=0,\\
0,\ \ \ if\ p=+\infin
\end{cases}
\]
收敛和函数S(x)
定义
\[S(x)=\sum_{n=0}^{\infin}{a_nx^n}
\]
性质1
如果幂函数有收敛半径R,R>0,则S(x)在(-R,R)上连续
- 如果幂函数收敛于R,，那么S(x)在(-R,R]上连续。
- 如果幂函数收敛于-R,，那么S(x)在(-R,R]上连续。
- 如果如果幂函数收敛于-R,R,那么S(x)在(-R,R)上连续。
\[S(\pm x)=\sum_{n=0}^{\infin}{(\pm R)^n}
\]
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性质2
如果幂函数有收敛半径R,R>0,则S(x)在(-R,R)上可导，且
\[S'(x)=(\sum_{n=0}^\infin{a_nx^n})'=\sum_{n=0}^{\infin}{(a_nx^n)'}=\sum_{n=1}^{\infin}{na_nx^{n-1}}
\]
利用此结论，可以使幂级数的和函数在(-R,R)上有任意阶导数，并且他们的收敛半径也仍为R。
性质3
如果幂函数有收敛半径R,R>0,则S(x)在(-R,R)上可积
\[\int_0^x{S(t)dt}=\int_0^x(\sum_{n=0}^\infin{a_nt^n})dt=\sum_{n=0}^\infin{a_nt^ndt}=\sum_{n=0}^\infin{\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}}
\]
利用此结论，可以使幂级数的和函数在(-R,R)上积分任意次，并且他们的收敛半径也仍为R。
利用性质2，3 可以逐项求导或者逐项积分来求幂级数的和函数或者一些数项级数的和。
运算法则
如果幂级数f(x),g(x)都至少在|x|<r时收敛，则对他们进行四则运算的值也收敛，并且表现为用其收敛 值进行运算那样。（除法成立的条件是g(x)当x=0时不等于0,且|x|足够小）
泰勒-麦克劳林展开
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唯一性定理
\[\sum_{n=0}^{\infin}{c_n(x-x_0)^n}
\]
对于在x0附近某区间的所有x，都有
\[c_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}
\]
因此，一个函数不能用多个幂级数来表示。幂级数与原函数是一一对应的。
特殊地，当x0=0，这个展开也被称为麦克劳林展开。
泰勒展开
\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)}
\]
R_n指的是泰勒展开的余项（误差） 且R(x)有公式如下：
\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\]
存在性：
我们只需要令R_n为原函数与展开式的差，证明其正无穷时极限趋近于0。
非正项级数
莱布尼茨检验法
交错级数的敛散性，只需要让负数项变为正数，判断新正项级数a_n是否递减，且是否收敛于0即可。
绝对值检验法
\[if\ \sum|u_n|\ converges,then\ \sum u_n\ converges.
\]
重排定理
构造出的绝对收敛级数的项可以重新排布而不影响收敛值。
条件收敛
如果构造的绝对值级数发散，而原级数收敛，则这个级数称为 条件收敛
多元函数
极限
定义
多元函数的在某点的极限是路径无关的，即如果当路径不同时，极限值不同，则该点的极限不存在。
运算法则
如果函数是多项式函数(polynomial)，那么成立：
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}f(x,y)=f(a,b)
\]
如果函数是有理函数，那么成立
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}=\frac{p(a,b)}{q(a,b)}
\]
特殊地，如果p(a,b)不为0，且q(a,b)为0，那么极限不存在。
连续性
定义
要说明 f(x,y) 在点 (a,b) 上是连续的，我们需要
以下条件：
1 f 在（a,b）处有值，即 f(a,b) 存在或 f 定义在
(a,b）处；
2 f 在（a,b）处有极限，即，lim(x,y)→（a,b）f(x,y) 存在；
3 f 在（a,b）处的值等于该处的极限，即
lim(x,y)→(a,b) f(x,y) = f(a,b)。
总之，我们要求
\[\lim_{(x,y)\rightarrow(a,b)}f(x,y)=f(a,b)
\]
复合函数
如果g(x,y)在(a,b)上连续，且f(x)在g(a,b)上连续，那么f(g(x,y))在(a,b)上连续。
偏微分函数
如果 fxy 和 fyx 在开集 S 上连续，那么在 S 的每一点上 fxy = fyx。
方向导数
定义
函数在某点 沿某方向的变化率
u为方向的单位向量！
\[f_u= u \cdot f'(a,b,c)
\]
浙公网安备 33010602011771号