辗转相除法原理分析

1、辗转相除法求最大公约数

    int a, b, c;

    printf("请输入两个整数（逗号隔开）:");

    scanf("%d,%d", &a, &b);

    c = a%b;

    while (c != 0)

    {

        a = b;

        b = c;

        c = a%b;

    }

 

 

互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数（非负）。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数（即指非负整数。）后者是前者的特殊情形。

 

【公约数和公倍数都是针对整数而言的!!】

辗转相除法证明叙述：

a和b两个正整数，如果a>b

a/b     .… …. 余数为R1

b/R1    .… …. 余数为R2

R1/R2   .… …. 余数为R3

R2/R3   ..… ….余数为R4

…. ….

R(n-2)/R(n-1)……余数为Rn

当Rn为零的时候，R(n-1)一定是最大公约数。

 

辗转相除法证明需要证明满足两个条件：

已知条件：a和b两个正整数，如果a>b,且a/b=0,则a和b的最大公约数一定为b。

第一个条件证明：

为什么Rn最后一定会等于0？

原因1：

任意两个数，可以是同奇同偶/以奇一偶，辗转相除法，主要是除数和余数的计算

同偶，在辗转相除过程中，余数必为偶数。最终余数会变为2，从而任意一个数都/可以被2整除

同奇，则辗转相除过程中，余数必为偶数。最终余数会变为1，从而任意一个数都可以被1整除

一奇一偶，辗转过程中，余数必为奇数，最终会变为1 ，从而任意一个数都可以被1整除

原因2：

因为余数都要小于除数，

随着辗转相除的进行，除数和余数越来越小，

为何辗转相除法到最后余数一定为0

而每一次的除数又分别等于上一次的余数，所以，总有那么一个时刻，余数会等于0。

第二个条件证明：

为什么a/b和b/R1和R2/R3和R(n-2)/R(n-1)的最大公约数相等？

 

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc  //设c为最大公约数，则m和n一定互质

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c   //r也有公约数c，如果r=(m-kn)c和b=nc两个表达式中，m-kn和n是互质，就可以证明c也是r和b的最大公约数

第三步：假设m-kn与n非互质，而有一个公约数d，则有m-kn=xd，n=yd (d>1)，则有m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，从而有a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，此时就会出现a与b的一个公约数cd>c，之前我们的定义中c是a与b的最大公约数，此时与前面的假设矛盾，所以m-kn与n一定互质!因此c也是b与r的最大公约数。

 

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。