manacher马拉车算法学习笔记

马拉车是用于线性求回文子串的算法，适用于很多关于回文有个的题目，包括但不限于：最长回文子串，回文串计数，等等

马拉车其实可以看做中心拓展法的优化，也就是以某个字符为中心，同时向左右找相同的字符。但是由于这种判断不了偶数的回文，我们就要在中间加一些字符：
比如字符串“abcba”，我们就可以变成“#a#b#c#b#a#”，这里开头和结尾都加入的特殊字符，方便计算。另外这里其实'#'可以换成任意的字符比如说'a'

然后我们这里有两个关键的变量，r和c，分别表示目前最长的回文串最右边的下一个字符，和这个回文串的中心（如果有多个就默认是最前面的那个），为什么要有这两个变量呢？因为我们可以根据回文串的性质，来快速计算当前的最长回文子串半径，我们用p数组表示

然后分类讨论：
1.如果i>=r，那前面的回文串不就没用了吗，直接中心拓展
如果i<r，那么我们可以找i关于c的对称点，记作i`，可以计算得到i`=2*c-i，这里还需要继续分类讨论，这里我给个图理解吧，()表示以c为中心的大回文串，[]表示以i`为中心的回文串

2.(...[.i`.]...c...i...)，[]被()完全包住了，因为对称，所以直接p[i] = p[i`]，也就是p[i] = p[2*c-i]，不可能更多了，i如果还能拓展的话这说明i`也要能拓展，但p[i`]已经是最大的了，无法拓展，矛盾。

3.[.(.i`..]...c...i...)，[]超出了()，那么p[i] = r-i，说白了就是r边界内的的串一定是合法的，这个可以看情况2理解，但为什么不可能更多呢，因为如果更多，那么这就说明c还能再扩展，但p[c]已经是最大的了，矛盾

4.如果他刚好卡在线上：就是'['和'('重合了，还是根据2，他在r以内的一定是合法的，但是他可以更多！因为他没有回文的限制了，i继续扩展跟i`和c没有半毛钱的约束关系了。

前面的你看不懂，觉得很晕，正常，不过其实会写马拉车根本用不到这么复杂的东西。

我们根据前面的推导，有一个点是一种反复在说的，就是r边界内的一定合法，对于i<r，那么它是不是至少有min(p[2*c-i],r-i)的长度，对于i>=r，他自身是不是就是个回文串，最少长度直接就是1。

这时，我们有了最小长度，直接不需要分类讨论，无脑开始中心拓展。因为如果不能继续扩的情况，他一次都不需要跑，时间复杂度不变

最后更新一下c和r就行了，注意我们所有的操作都是基于变化后的字符串的，原始字符串的回文串长度=变化后回文串半径-1

code：

int p[N];
string ss;

void manacher() {
	for (int i = 0, c = 0, r = 0;i < ss.size();i++) {
		int len = i < r ? min(p[2 * c - i], r - i) : 1;
		while (i - len >= 0 && i + len < ss.size() && ss[i - len] == ss[i + len])len++;
		if (i + len > r) {
			c = i;
			r = i + len;
		}
		p[i] = len;
        //maxx = max(maxx,len-1)
	}
}