数论2

题目描述：给出a,b求出\(C_a^b\)模1e9+7的结果

思路1. 运用组合递推式

\[C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1} \]

思路2. 运用快速幂求逆元的思路

由费马小定理

\[x\equiv 1(\mathrm{mod}\;p)\Rightarrow x^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}\;p) \]

故可以得到x逆元mod p的结果，将求阶乘中的除法转换为乘法

思路3. 卢卡斯定理

\[\displaystyle{C_{n}^{m}\mathrm{mod}\;p=C_{[n/p]}^{[m/p]}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}} \]

证明见:卢卡斯定理证明

思路4. 筛质数+质因数分解+逆元+高精度

5. 卡特兰数

\[C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \]