交错磁体的自旋霍尔电导磁性与晶体对称性控制

交错磁体的自旋霍尔电导磁性与晶体对称性控制

 

ADVANCED SCIENCE 2026

交错磁体的自旋霍尔电导磁性与晶体对称性控制

Magnetic and Crystal Symmetry Control on Spin Hall Conductivity in Altermagnets

导读 导读：本文系统研究了 RuO₂、CrSb 和 MnTe 三种典型交错磁体中自旋霍尔电导（SHC）的对称性控制机制。通过将 SHC 分解为时间反演偶（T-even）和奇（T-odd）两部分，揭示了 T-odd SHC 作为交错磁序独特标志的物理图像，并建立了基于磁空间群对称性选择定则的普适预测框架。

一、前言背景

交错磁体：磁性材料的新范式

磁性材料传统上分为铁磁体（FM）和反铁磁体（AFM）：铁磁体具有自旋劈裂的能带和大的净磁矩，反铁磁体通过亚晶格抵消实现零净磁化。

交错磁体（Altermagnet）作为一种新磁性相，兼具反铁磁体的零净磁矩和铁磁体的自旋劈裂：通过旋转对称性强制的自旋劈裂在单胞内实现，但无净磁矩。

这一概念由 Šmejkal 等人提出并系统分类，将交错磁体分为平面型（P-2，如 RuO₂）和体型（B-4，如 CrSb 和 MnTe）两类，在自旋电子学中展现出独特优势。

零净磁矩意味着无杂散场，而强自旋劈裂意味着高效的自旋-电荷互转换——交错磁体因此成为低功耗、高相干性自旋电子器件的理想候选平台。

自旋霍尔电导（SHC）：自旋电子学的核心参数

自旋霍尔效应（SHE）将电荷流转化为横向自旋流，自旋霍尔电导（SHC）量化这一转化效率，是自旋-轨道矩（SOT）器件的核心性能指标。

常规 SHC（CSHC）：自旋流、自旋极化、电荷流三者相互正交——这是非磁体系和铁磁体中 SHC 的标准形式。

非常规 SHC（USHC）：当三者不再正交时出现，是交错磁体中独特的自旋输运特征，可实现传统材料无法实现的非常规自旋-电荷互转换几何。

USHC 分为平凡（trivial）和本征（intrinsic）两类：平凡 USHC 仅由坐标倾斜产生，本征 USHC 由磁对称性破缺驱动——区分二者是本文的核心目标。

T-even 与 T-odd 分解：对称性分析框架

SHC 可分解为时间反演偶（T-even，Fermi 海）和奇（T-odd，Fermi 面）两部分：T-even 反映晶体对称性约束，T-odd 反映磁对称性的额外贡献。

T-even 项（σ^even）：主要来自 Fermi 海深处的占据态，在磁化反转下保持偶对称，与非磁晶体的 SHC 行为一致。

T-odd 项（σ^odd）：来自 Fermi 面附近的态，在磁化反转下改变符号，是由交错磁序驱动的非常规 Berry 曲率类贡献，是交错磁体中纯自旋流产生的独特标志。

T-even 与 T-odd 的分离为区分平凡 USHC（两者相等）和本征 USHC（两者不等）提供了明确的判据，无需依赖电子结构计算。

三种代表性交错磁体：RuO₂、CrSb、MnTe

RuO₂：金红石结构，平面型交错磁体（P-2），磁矩沿 [001] 方向，其交错磁性本质存在争议，但 (0̄11) 倾斜几何下可产生 USHC。

CrSb：NiAs 型六方结构，体型交错磁体（B-4），易轴沿 [0001] 方向，具有明确的交错磁序，是研究本征 USHC 的理想体系。

MnTe：与 CrSb 同属 NiAs 型六方结构（B-4），但易轴沿 [01̄10] 方向——相同的晶体对称性、不同的磁对称性，为对比研究提供了独特机会。

三种材料覆盖了从平凡到本征 USHC 的完整谱系，使本文成为交错磁体 SHC 对称性控制的系统研究范本。

二、研究方法

第一性原理 DFT 计算设置

基于 Quantum ESPRESSO 的 DFT 计算，采用 PAW 赝势和 PBE-GGA 交换关联泛函，平面波截断能 60 Ry。

k 点网格：RuO₂ 16×16×16，CrSb 15×15×9，MnTe 15×15×7，自洽包含 SOC。

Hubbard U 修正：Ru 4d 轨道 U=2 eV，Mn 3d 轨道 U=4 eV，以捕捉在位库仑关联效应，U 值 ±1 eV 变化不影响 SHC 趋势。

采用自旋分辨的最大局域化 Wannier 函数（MLWF）构建紧束缚哈密顿量，初始投影选取 s、p、d 轨道，冻结窗口上界 ~3 eV above E_F。

SHC 计算：Kubo 公式与 T-even/T-odd 分解

SHC 在 WannierBerri 中计算，使用 100×100×100 致密 k 网格，Fermi 能级展宽 Γ≈50 meV。

T-odd 项（Fermi 面贡献）：反映磁对称性，在磁化反转下改变符号——是交错磁体中纯自旋流产生的独特标志。

T-even 项（Fermi 海贡献）：来自深处占据态，在磁化反转下保持偶对称，与非磁晶体的 SHC 行为一致。

SHC 张量 σ^k_ij 的三个指标：i=自旋流方向，j=电场方向，k=自旋极化方向。正值表示沿 +j 的电场在垂直于 +j 的一侧产生沿 +k 的自旋极化积累。

T-odd（Fermi 面）SHC 的 Kubo 公式：依赖于 Fermi 能级展宽 Γ，σ^odd 在磁化反转下改变符号

T-even（Fermi 海）SHC 的 Kubo 公式：由占据态差驱动，在磁化反转下保持偶对称

对称性选择定则：约化算子 S^k_ij

定义约化算子 S^k_ij = v_i σ^k v_j，其中 v_i = (1/ħ)∂H/∂k_i 为速度算子，σ^k 为 Pauli 自旋矩阵。

对称性操作 R 作用于 S^k_ij：若 R S^k_ij = S^k_ij，则对应 SHC 张量元允许；若 R S^k_ij = -S^k_ij，则禁止。

该规则原本针对非磁晶体的 T-even SHC，本文将其扩展到磁体系，纳入时间反演相关操作以处理 T-odd SHC。

CSHC 要求 i、j、k 三者互相正交；USHC 在其他配置下出现——对称性选择定则可直接预测哪些 USHC 张量元被允许，无需显式电子结构计算。

约化算子 S^k_ij 的定义：v_i 为速度算子，σ^k 为 Pauli 自旋矩阵，保留 SHC 的完整张量结构

对称性选择定则：R S^k_ij = S^k_ij（允许）或 -S^k_ij（禁止），直接从磁空间群判断 SHC 张量元

理论框架的三层结构

第一层 DFT+U+SOC：获取准确的基态电子结构和磁矩取向，为后续 Wannier 插值提供基础。

第二层 Wannier 紧束缚：将 DFT 能带精确插值到致密 k 网格，高效计算 SHC 的 T-even 和 T-odd 贡献。

第三层对称性分析：通过约化算子 S^k_ij 的对称性选择定则，从磁空间群直接预言允许/禁止的 SHC 张量元，独立于数值计算。

三层方法互为验证：对称性分析给出定性约束，DFT+Wannier 计算给出定量数值，两者一致时结论可靠。

三、实验结果

图 1：RuO₂、CrSb 和 MnTe 的晶体结构与电子结构。(a-c) 晶体结构，展示晶格矢量 a₁、a₂、a₃ 及磁矩取向；(d,e) P-2 和 B-4 对称性的 Brillouin 区与自旋-动量锁定示意图，红/蓝表示相反的自旋-动量锁定方向；(f-h) 含 SOC 的能带结构，红色/蓝色线表示沿 z（RuO₂、CrSb）或 y（MnTe）方向的正/负自旋投影。

晶体结构与磁矩取向

RuO₂ 为金红石结构（空间群 P4₂/mnm），CrSb 和 MnTe 为 NiAs 型六方结构（空间群 P6₃/mmc），三者均属于已确认的交错磁体候选材料。

根据 Šmejkal 分类：RuO₂ 为平面型交错磁体（P-2），CrSb 和 MnTe 为体型交错磁体（B-4），两类具有不同的 Brillouin 区自旋-动量锁定模式。

能带计算显示三种材料均展现明显的自旋劈裂：RuO₂ 和 CrSb 的自旋沿 ẑ 方向极化，MnTe 的自旋沿 ŷ（[01̄10]）方向极化。

SOC 引入微扰但不破坏自旋劈裂的基本特征——交错磁序驱动的自旋劈裂是强健的，SOC 仅做定量修正。

P-2 vs B-4：自旋-动量锁定模式

P-2（平面型）：自旋-动量锁定发生在 k_x-k_y 平面内，如 RuO₂ 中 Γ-M 方向的自旋劈裂和 X-Γ、M-X 节线上的自旋简并。

B-4（体型）：自旋-动量锁定在三维 Brillouin 区中实现，CrSb 和 MnTe 在 k_x-k_y-k_z=0 平面上均展现自旋劈裂。

两种对称性类型导致不同的 SHC 张量结构——P-2 的镜像对称性更丰富，约束更强；B-4 的旋转对称性更高，提供更多对称性等价的 SHC 分量。

图 2：RuO₂ 沿 (001) 和 (0̄11) 取向的 Fermi 海（T-even）与 Fermi 面（T-odd）SHC 贡献。(a) (001) 取向侧视图；(b,c) (001) 取向的 T-even 和 T-odd SHC——仅允许 CSHC；(d) (0̄11) 倾斜取向侧视图；(e,f) 倾斜取向的 T-even 和 T-odd SHC——两者相等，产生平凡 USHC。

(001) 取向 RuO₂：纯 CSHC

在 (001) 取向的 RuO₂ 中，4/mmm Laue 对称性约束 SHC 张量仅有 CSHC 分量——自旋流、自旋极化、电荷流三者互相正交。

非简单空间群对称性（滑移反射 ĝ_{x,y} 结合半平移 τ_{y+1/2}, τ_{x+1/2+τ_{z+1/2}}）严格禁止 USHC 分量。

Fermi 海（T-even）和 Fermi 面（T-odd）贡献均仅产生 CSHC——旋转对称性将六个 CSHC 分量简并为三个独立分量。

这一结果表明：在无倾斜的 RuO₂ 中，即使存在交错磁序，SHC 行为与非磁体系无异——USHC 需要额外的对称性破缺。

(0̄11) 倾斜 RuO₂：平凡 USHC

将 RuO₂ 倾斜至 (0̄11) 取向引入结构倾斜，破坏了原有的镜像对称性，允许 USHC 分量出现。

关键发现：倾斜后的 T-even 和 T-odd 贡献完全相同——USHC 来自坐标变换而非磁对称性破缺，因此是"平凡"的。

所有倾斜结构下的 SHC 张量元可通过倾斜角解析确定，无需直接 DFT 计算——这是平凡 USHC 的数学特征。

倾斜 RuO₂ 的平凡 USHC 与 CrSb/MnTe 的本征 USHC 形成鲜明对比，界定了"真"与"假"交错磁体 SHC 的边界。

图 3：磁对称性驱动的非常规 SHC。(a,d) CrSb 和 MnTe 的侧视图，展示不同易轴取向；(b,e) 两者 Fermi 海贡献仅允许 CSHC；(c,f) Fermi 面贡献——CrSb 允许 4 个 USHC 分量，MnTe 允许 7 个 USHC 分量，且各分量独立不等价。

CrSb：易轴 [0001] → 4 个本征 USHC 分量

CrSb 的磁矩沿 [0001]（c 轴），单轴磁化破缺了某些镜像面，这些镜像面原本维持自旋-电荷-电流的正交性。

SOC 在节面 k_z=0 上解除自旋简并，产生强面内自旋纹理，驱动 USHC 分量 σ^{odd,y}_{xx}、σ^{odd,x}_{yx}、σ^{odd,x}_{xy}。

由于 C_{3z} 旋转对称性的约束，这三个分量等价——T-odd 贡献有 4 个非零分量，但仅 1 个独立。

T-even 贡献为零——CSHC 被磁对称性禁止，USHC 完全由 T-odd 项驱动，这是本征 USHC 的明确标志。

MnTe：易轴 [01̄10] → 7 个独立本征 USHC 分量

MnTe 与 CrSb 晶体结构相同，但磁矩沿 [01̄10]（面内方向），磁对称性进一步降低。

T-even 贡献同样为零（CSHC 被禁止），T-odd 贡献产生 7 个非零 USHC 分量：σ^{odd,z}_{xx}、σ^{odd,x}_{xz}、σ^{odd,z}_{yy}、σ^{odd,x}_{zx}、σ^{odd,y}_{zy}、σ^{odd,z}_{zz}。

MnTe 缺乏 C_{3z} 旋转对称性的等价约束，所有 7 个 USHC 分量彼此独立，各具不同大小——这是"最丰富"的本征 USHC 图谱。

CrSb 与 MnTe 的对比揭示：相同的晶体结构但不同的磁易轴取向，可产生截然不同的 USHC——磁对称性是控制 SHC 的核心参数。

表 1：RuO₂、CrSb 和 MnTe 中 USHC 贡献的分类。对比平凡 USHC（倾斜 RuO₂）与本征 USHC（CrSb、MnTe），区分物理起源和对称性允许的张量元。

图 4：(k_x, k_y, k_z=0) 面上的能带结构与 Brillouin 区自旋纹理。(a) RuO₂ 能带——X-Γ 和 M-X 节线自旋简并，Γ-M 方向自旋劈裂；(b,c) RuO₂ 自旋纹理；(d) CrSb 能带——SOC 下全路径自旋劈裂；(e,f) CrSb 面内自旋纹理；(g) MnTe 能带；(h,i) MnTe 自旋纹理——SOC 引入面外自旋分量。

SOC 驱动的自旋纹理与节线解除

RuO₂：无 SOC 时节面（nodal planes）严格自旋简并，无自旋纹理；SOC 解除简并，自旋纹理出现——但对称性约束仍禁止 USHC。

CrSb：非磁态下与 RuO₂ 共享镜像对称面，但磁序破缺了 (k_x=0, k_y, k_z) 和 (k_x, k_y, k_z=0) 镜像面——SOC 在 k_z=0 面产生自旋劈裂。

MnTe：自旋沿 [01̄10] 方向，对称性最低——SOC 在 k_z=0 面产生面外自旋分量（沿 k_z），自旋纹理更加复杂。

MnTe 保留了 ĝ_z 镜像对称性但失去了滑移反射 ĝ_y(τ_{x+1/2}+τ_{z+1/2})——这是 MnTe 比 CrSb 拥有更多 USHC 分量的对称性根源。

滑移反射与镜像对称的关键作用

RuO₂ 和 CrSb 的非磁相均具有滑移反射对称性 ĝ_y(τ_x+τ_z)，保护 (k_x, k_y=0, k_z) 面——该对称性在磁态下被 CrSb 的 [0001] 磁序部分破缺。

MnTe 的 [01̄10] 磁序完全破缺了滑移反射对称性，但保留了镜像对称 ĝ_z——这一对称性组合导致 MnTe 的 SHC 张量结构最为丰富。

对称性操作 C_{2x}（180° 绕 x 轴旋转 + 时间反演）禁止所有 CSHC 分量，但允许多种 USHC 分量——这是 MnTe 中 CSHC 为零、USHC 丰富的直接原因。

图 5：E_F-0.5 eV 处 k 分辨的 T-odd Berry 曲率类非常规项 Ω^{odd}。(a,b) CrSb 无 SOC 时自旋上和自旋下通道的 Ω^{odd,y}_{yy}，内部符号相反导致抵消；(c) CrSb 含 SOC 后产生净 Ω^{odd}；(d,e) MnTe 无 SOC 时自旋上和自旋下整体符号相反，总贡献抵消；(f) MnTe 含 SOC 后产生非零净 USHC。

SOC 解除抵消机制：微观可视化

Berry 曲率类项 Ω^{odd,k}_{ij}(k) 直接显示 k 空间中 SHC 的分布，是理解微观抵消机制的关键。

CrSb 无 SOC：每个自旋通道内部存在正负抵消区域，导致自旋通道内 SHC 贡献自抵消——总 SHC 为零。

MnTe 无 SOC：自旋上和自旋下通道整体符号相反，两通道间的贡献相互抵消——总 SHC 为零。

SOC 引入后：节面简并被解除，自旋混合发生，产生非补偿的 Ω^{odd} 图案——有限 USHC 出现。CrSb 和 MnTe 的抵消机制不同（通道内 vs 通道间），但 SOC 都是解除抵消的关键。

Berry 曲率类项 Ω^{odd} 的 k 空间分布函数：显示 Fermi 能级附近各 k 点对 SHC 的贡献，用于可视化抵消机制

四、对比分析

平凡 USHC vs 本征 USHC：区分判据

平凡 USHC（倾斜 RuO₂）：T-even 和 T-odd 贡献完全相等，SHC 张量可通过坐标旋转解析导出——USHC 来自几何投影，非来自磁对称性破缺。

本征 USHC（CrSb、MnTe）：T-even ≠ T-odd，T-even 贡献为零（CSHC 被磁对称性禁止），T-odd 贡献驱动所有 USHC——USHC 与磁序内禀关联。

区分判据：T-even 与 T-odd 是否相等——这是判断 USHC 是否"真正"由交错磁序驱动的普适准则，无需依赖具体的材料选择。

实验验证：通过变温测量（穿越 Néel 温度）观测 USHC 分量的消失/出现，可直接区分平凡与本征 USHC。

RuO₂ vs CrSb vs MnTe：三体系统对比

RuO₂（P-2，平面型）：晶体对称性最高，无倾斜时仅 CSHC，倾斜时仅平凡 USHC——若 RuO₂ 确为交错磁体，其 USHC 特征最弱。

CrSb（B-4，体型，易轴 [0001]）：晶体对称性中等，T-odd 驱动 4 个等价 USHC 分量——C_{3z} 旋转对称性简化了张量结构。

MnTe（B-4，体型，易轴 [01̄10]）：晶体对称性最低，T-odd 驱动 7 个独立 USHC 分量——"最丰富"的本征 USHC 图谱。

趋势：晶体对称性越低、磁对称性越复杂 → USHC 张量越丰富。CrSb→MnTe 的易轴旋转是实现 USHC 调控的可行路径。

与已有研究的对比

Roy et al. (2020)：分析了非磁体系中对称性允许的 USHC 张量元，但未涉及磁对称性——本文将其扩展到磁体系，纳入 T-odd 贡献。

Mook et al. (2020)：建立了磁自旋霍尔效应的对称性规则和微观起源——本文进一步将 T-even 和 T-odd 分离作为区分平凡/本征 USHC 的判据。

González-Hernández et al. (2021)：提出了非相对论共线反铁磁体中电控自旋劈裂的通用原理——本文在此基础上纳入 SOC 效应，揭示 SOC 解除抵消的微观机制。

本文贡献：建立了统一的对称性框架，将晶体对称性和磁对称性同时纳入 SHC 分析，为预测和设计交错磁体的自旋输运提供了普适性工具。

SHC 张量结构的对称性工程

晶体对称性（滑移反射、镜面）通过选择定则严格限制非零 SHC 张量分量——不同的交错磁体因其晶体结构差异展现出截然不同的 SHC 张量结构。

磁矩取向可在保持晶体结构不变的情况下连续调控 SHC 的大小和方向——CrSb 和 MnTe 的对比是这一原理的最佳例证。

外延应变和衬底工程可改变易轴取向，从而在不同的 USHC 区间之间切换——为电场控制的自旋流产生提供了新机制。

SHC 的符号反转和各向异性图案可作为实验探测的指纹特征——通过 ST-FMR 和二次谐波 Hall 测量直接验证。

五、讨论

SOC 的双重角色：解除抵消 vs 微扰修正

SOC 在交错磁体 SHC 中扮演双重角色：(1) 解除节面自旋简并，使被对称性抵消的 SHC 贡献得以显现——这是产生 USHC 的必要条件。

CrSb 中 SOC 解除自旋通道内的正负抵消，MnTe 中 SOC 解除自旋通道间的符号抵消——两种抵消机制被 SOC 通过不同的自旋混合方式解除。

(2) SOC 同时作为微扰修正自旋纹理和能带结构——但修正量小，SHC 的定性特征（允许/禁止）由对称性决定，不依赖 SOC 强度。

SOC 的角色在无 SOC 极限下尤为清晰：T-odd SHC 在无 SOC 时完全由交错磁序驱动——这是交错磁体与铁磁体 SHC 机制的根本区别。

实验验证途径

外延应变控制：RuO₂ 在 TiO₂ 衬底上外延生长，CrSb 和 MnTe 在 GaAs 和蓝宝石上生长——衬底应变可调控易轴取向，从而切换 USHC 区间。

ST-FMR（自旋-矩铁磁共振）：在重金属/交错磁体双层中，通过锁定放大检测自旋-轨道矩，直接量化 SHC 的符号和大小，区分平凡与本征 USHC。

谐波 Hall 分析：分离阻尼类（damping-like）和场类（field-like）自旋-轨道矩，确定其符号——直接反映自旋霍尔电流的极性。

角依赖纵向和平面 Hall 测量：在外延薄膜中探测 SHC 各向异性，间接验证对称性编码的 USHC 张量结构——此方法已在 MnTe 等反铁磁体中验证。

器件应用前景

零净磁矩 + 强自旋劈裂 → 无杂散场的 SOT 器件：交错磁体可替代重金属/铁磁体双层中的铁磁层，实现全反铁磁 SOT 器件。

非常规自旋-电荷互转换几何：USHC 允许自旋流沿非正交方向注入，丰富了 SOT 器件的几何设计空间，可实现传统铁磁体/非磁半导体无法实现的互转换。

应变/掺杂可调性：通过外加应变或化学掺杂调控易轴取向，从而连续调控 USHC 的大小和方向——为可重构自旋电子器件提供物理基础。

与 IrO₂ 等低对称性体系的类比：最近的 ST-FMR 实验已证实低对称性体系中非常规自旋电流的高效产生和探测——交错磁体 USHC 的实验验证指日可待。

理论框架的普适性与局限性

对称性选择定则（S^k_ij 算子）是普适的——适用于任何磁空间群，可预测任意交错磁体（乃至任意磁体系）的 SHC 张量结构。

T-even/T-odd 分离判据同样普适——在任何磁体系中，T-even=T-odd 意味着平凡 SHC，T-even≠T-odd 意味着本征磁 SHC。

局限性：DFT+U 计算依赖 U 参数的选择，但 U 值 ±1 eV 变化不改变 SHC 的定性趋势——结论稳健。

Wannier 插值精度依赖 k 网格和展宽参数——本文通过收敛性测试（SI 图 S1-S2）确认了结果的可靠性。

六、总结

核心结论

T-odd SHC 是交错磁体中纯自旋流产生的独特标志——在无 SOC 极限下仅由交错磁序驱动，与普通铁磁体的自旋霍尔效应机制根本不同。

T-even 与 T-odd 的分离提供了区分平凡 USHC（倾斜 RuO₂，两者相等）和本征 USHC（CrSb、MnTe，两者不等）的明确判据。

晶体对称性（滑移反射和镜面）通过选择定则严格限制非零 SHC 张量分量——CrSb 和 MnTe 虽共享晶体结构，但因易轴取向不同而展现出截然不同的 USHC 图谱。

SOC 通过解除节面自旋简并和自旋混合，使得被对称性抵消的 SHC 贡献得以显现，CrSb 和 MnTe 的抵消机制不同（通道内 vs 通道间），但 SOC 都是解除抵消的关键。

磁矩取向可在保持晶体结构不变的情况下连续调控 SHC 的大小和方向，为应变/掺杂/电场控制的自旋流产生提供了新机制。

展望

实验验证：外延薄膜中的 ST-FMR 和谐波 Hall 测量是验证本文理论预测的最直接途径，CrSb 和 MnTe 薄膜已在 GaAs/蓝宝石上成功生长。

材料扩展：将对称性分析框架应用于更多交错磁体候选材料（如 Mn₅Si₃、V₂Se₂O、KRu₄O₈），预测其 USHC 张量结构。

应变工程：系统研究外延应变对易轴取向和 SHC 张量的调控——从 CrSb 型 USHC 区间切换到 MnTe 型 USHC 区间。

超越 SHC：将 T-even/T-odd 分离和对称性选择定则扩展到其他自旋输运系数（如自旋霍尔角、自旋扩散长度），建立交错磁体自旋电子学的完整理论框架。

支撑信息 (Supporting Information)

S1 · 收敛性测试

k 点网格、展宽与 Wannier 化收敛性

系统测试了 RuO₂、CrSb 和 MnTe 中 T-odd SHC 对 k 点网格密度（从 8×8×8 到 16×16×16）、准粒子展宽 Γ（10-100 meV）和 Wannier 化参数（冻结窗口、投影轨道）的收敛性。

RuO₂：16×16×16 k 点网格给出收敛的 SHC 值，Γ=50 meV 为最佳展宽参数——平衡了数值噪声和物理展宽。

CrSb 和 MnTe：15×15×9 和 15×15×7 分别收敛，展宽依赖性相似——Γ=50 meV 对三种材料均为合理选择。

Wannier 化质量由总展宽（total spread）量化：RuO₂ ~110 Ų，CrSb ~131 Ų，MnTe ~139 Ų——均在 Wannier 插值的可接受范围内。

图 S1：收敛性和展宽依赖性 — RuO₂、CrSb 和 MnTe 中 T-odd SHC 对 k 点网格密度 (a)、准粒子展宽 Γ (b) 和 Wannier 化参数 (c) 的收敛性测试。

S2 · 能量依赖的 T-odd SHC

不同展宽下的全谱 SHC

展示不同展宽参数 Γ=10, 25, 50, 100 meV 下四种体系的 T-odd SHC 随能量 E-E_F 变化的全谱：(a-d) RuO₂, (e-h) 倾斜 RuO₂, (i-l) CrSb, (m-p) MnTe。

展宽 Γ 的增大使 SHC 峰变宽、峰值降低，但峰的符号和位置（能量）保持稳定——定性结论不受展宽影响。

CrSb 和 MnTe 的 T-odd SHC 在 E_F 附近有显著峰值，而 RuO₂ 和倾斜 RuO₂ 的 T-odd SHC 始终接近零——确认了平凡 vs 本征 USHC 的定性区分。

全谱分析为 k 分辨的 Berry 曲率分析（图 5）提供了能量积分的背景，验证了 E_F 处 SHC 的主导贡献来自 Fermi 面附近态。

图 S2：能量依赖的 T-odd SHC — 不同展宽参数 Γ=10, 25, 50, 100 meV 下 (a-d) RuO₂, (e-h) 倾斜 RuO₂, (i-l) CrSb, (m-p) MnTe 的 T-odd SHC 随能量变化的全谱。

S3 · 非磁 RuO₂ 的能带结构与 SHC

RuO₂ 非磁极限验证

验证 U=0 至 1 eV 范围内 RuO₂ 的 T-odd SHC 保持为零，与 RuO₂ 是否为交错磁体的争议无关。

非磁态 RuO₂ 的能带结构显示无自旋劈裂——与交错磁态（U=2 eV）的自旋劈裂能带形成鲜明对比。

即使 RuO₂ 被证明非交错磁体，本文关于 CrSb 和 MnTe 的本征 USHC 结论仍然成立——RuO₂ 仅作为平凡 USHC 的对照案例。

这一对照分析强化了本文的核心论点：本征 USHC 需要磁对称性破缺，而非仅在几何投影下出现。

图 S3：非磁相 RuO₂ 的能带结构和 SHC — 验证 U=0 至 1 eV 范围内 T-odd SHC 保持为零，确认 RuO₂ 的非磁极限。

S4 · SOC 对能带结构的影响

无 SOC 与有 SOC 能带对比

RuO₂、CrSb 和 MnTe 在无 SOC（a-c）和有 SOC（d-f）条件下的能带结构对比，展示 SOC 对自旋劈裂和节线简并的影响。

RuO₂：无 SOC 时 X-Γ 和 M-X 路径上自旋简并（节线），SOC 仅解除简并但不改变对称性约束。

CrSb：无 SOC 时 k_z=0 面上自旋简并，SOC 在该面上产生自旋劈裂——这是 USHC 产生的必要条件。

MnTe：SOC 效应最强——引入面外自旋分量（沿 k_z），导致自旋纹理的复杂化，与其 7 个独立 USHC 分量一致。

图 S4：RuO₂、CrSb 和 MnTe 无 SOC (a-c) 与有 SOC (d-f) 的能带结构对比 — 展示 SOC 对自旋劈裂和节线简并的影响。

S5 · 滑移反射对称性分析

滑移反射对称性的约束机制

RuO₂ 和 CrSb 的滑移反射对称性分析：虚线表示镜面，红/蓝双头箭头表示自旋取向，展示滑移反射如何约束 SHC 张量。

RuO₂ 的滑移反射 ĝ_{x,y} 结合半平移 τ_{y+1/2}, τ_{x+1/2+τ_{z+1/2}} 严格禁止 USHC——这是 (001) 取向仅有 CSHC 的对称性根源。

CrSb 的磁序部分破缺了滑移反射对称性，但保留了部分镜像对称——解释了为何仅 4 个 USHC 分量被允许。

MnTe 的 [01̄10] 磁序进一步破缺了残留的滑移反射对称性——解释了为何 MnTe 的 USHC 分量最多（7 个独立分量）。

图 S5：RuO₂ 和 CrSb 的滑移反射对称性分析 — 虚线表示镜面，红/蓝双头箭头表示自旋取向，展示滑移反射如何约束 SHC 张量。

S6 · T-even Berry 曲率类项 Ω^{even}

Fermi 海贡献的 k 空间分布

E_F-0.5 eV 处 k 分辨的 T-even Berry 曲率类项 Ω^{even}：(a-c) RuO₂, (d-f) CrSb, (g-i) MnTe 的 Ω^{even} 分布。

T-even 项来自 Fermi 海深处占据态，反映非磁晶体的对称性特征——三种材料中 Ω^{even} 的分布由各自的晶格对称性决定。

RuO₂ 的 Ω^{even} 分布受 4/mmm Laue 对称性约束，CrSb 和 MnTe 受 6/mmm 约束——与图 2-3 的 T-even SHC 一致。

T-even 与 T-odd 的对比（图 S7）揭示了磁对称性破缺如何在 k 空间中产生不对称的 Berry 曲率分布。

图 S6：E_F-0.5 eV 处 k 分辨的 T-even Berry 曲率类项 Ω^{even} — (a-c) RuO₂, (d-f) CrSb, (g-i) MnTe 的 Ω^{even} 分布。

S7 · T-odd Berry 曲率类项 Ω^{odd}

Fermi 面贡献的 k 空间分布与 SOC 效应

E_F-0.5 eV 处 k 分辨的 T-odd Berry 曲率类项 Ω^{odd}：(a-c) RuO₂, (d-f) CrSb, (g-i) MnTe 的 Ω^{odd} 分布。

RuO₂ 的 Ω^{odd} 分布对称，总面积分为零→无 USHC；CrSb 和 MnTe 的 Ω^{odd} 分布不对称→有限 USHC。

含 SOC 后（图 S8），Ω^{odd} 的不对称性进一步增强——SOC 解除自旋简并后，各 k 点的 Berry 曲率贡献不再相互抵消。

CrSb 和 MnTe 的 Ω^{odd} 分布模式不同：CrSb 为通道内补偿破坏，MnTe 为通道间补偿破坏——与正文图 5 的分析一致。

图 S7：E_F-0.5 eV 处 k 分辨的 T-odd Berry 曲率类项 Ω^{odd} — (a-c) RuO₂, (d-f) CrSb, (g-i) MnTe 的 Ω^{odd} 分布。

S8 · kz 切片 T-odd 非常规项

不同 kz 平面的 Ω^{odd} 分布

E_F-0.5 eV 处 kz = −0.25, 0, 0.25 三个平面的 k 分辨 T-odd 非常规项：(a-c) CrSb 的 Ω^{odd,y}_{yy}，(d-f) MnTe 的 Ω^{odd,z}_{zz}。

CrSb：USHC 主要在节面（kz=0）上产生——镜面和旋转对称性在该平面允许有限 T-odd 分量，离面后贡献迅速衰减。

MnTe：水平镜面 Mz 保护 z 自旋分量——即使偏离节面（kz=±0.25），仍存在有限但较弱的贡献，幅度归一化至 kz=0 平面。

kz 切片分析直接验证了磁空间群对称性对 USHC 空间分布的控制——非仅节面存在，而是对称性决定的全局分布。

图 S8：E_F-0.5 eV 处 kz = −0.25, 0, 0.25 平面的 k 分辨 T-odd 非常规项 Ω^{odd} — (a-c) CrSb Ω^{odd,y}_{yy}, (d-f) MnTe Ω^{odd,z}_{zz}，kz=±0.25 色标归一化至 kz=0。

S9 · RuO₂ Wannier 函数

RuO₂ (001) 取向的 Wannier 化

RuO₂ 的 Wannier 函数中心和展宽：总展宽 110.13 Ų，投影轨道为 Ru 4d 和 O 2p。

展宽值远小于 200 Ų 的阈值——Wannier 函数高度局域，紧束缚插值精度极高。

Wannier 能带与 DFT 能带的吻合度 > 99%（冻结窗口内）——确保 SHC 计算的可靠性。

RuO₂ 的 Wannier 展宽是三种材料中最小的——与其简单的金红石结构和高对称性一致。

图 S9：RuO₂ (001) 取向的 Wannier 函数中心和展宽 — Wannier 化收敛性验证。

S10 · 倾斜 RuO₂ Wannier 函数

倾斜 RuO₂ 的 Wannier 化

倾斜 RuO₂ 的 Wannier 函数中心和展宽：总展宽 129.25 Ų，略大于 (001) 取向。

倾斜引入的晶格畸变使 Wannier 函数局域性稍差——展宽增大 17%，但仍在可接受范围内。

倾斜 RuO₂ 的 Wannier 化验证了 SHC 计算在倾斜几何下同样可靠——展宽增大不影响定性结论。

倾斜 RuO₂ 中 USHC 的出现（虽然仅 1 个分量）是倾斜几何投影的结果，不是 Wannier 化误差。

图 S10：倾斜 RuO₂ 的 Wannier 函数中心和展宽 — Wannier 化收敛性验证。

S11 · CrSb Wannier 函数

CrSb 的 Wannier 化

CrSb 的 Wannier 函数中心和展宽：总展宽 131.36 Ų，投影轨道为 Cr 3d 和 Sb 5p。

Cr 3d 轨道的局域性较强，Sb 5p 轨道相对弥散——展宽主要来自 Sb 5p 的贡献。

CrSb 的 Wannier 展宽与 RuO₂ 接近——两种材料均具有高对称性，Wannier 化质量相似。

Wannier 带与 DFT 带在 ±3 eV 范围内完美吻合，确认了 SHC 计算的定量精度。

图 S11：CrSb 的 Wannier 函数中心和展宽 — Wannier 化收敛性验证。

S12 · MnTe Wannier 函数

MnTe 的 Wannier 化

MnTe 的 Wannier 函数中心和展宽：总展宽 139.41 Ų，是三种材料中最大的。

展宽增大主要来自 Te 5p 轨道的弥散性——Te 比 O 和 Sb 更重，5p 轨道更扩展。

139.41 Ų 仍在可接受范围内（< 200 Ų）——MnTe 的 SHC 计算结果可靠。

MnTe 较大的展宽可能引入微小的插值误差，但 SHC 的定性特征（如 T-odd 与 T-even 的符号差异）不受影响。

图 S12：MnTe 的 Wannier 函数中心和展宽 — Wannier 化收敛性验证。

主要参考文献

核心引用

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D. Jeong, S.-H. Kang, Y.-K. Kwon, Adv. Sci. 13, e15002 (2026) | 交错磁体 · 自旋霍尔效应 · 对称性分析 · Berry 曲率