FeGe：晶格畸变调控Kagome磁体的能带结构与磁性
导读：本文通过光学光谱测量和第一性原理计算，揭示了退火 Kagome 磁体 FeGe 中 Ge1 原子沿 c 轴位移驱动的晶格畸变 -> 能带重构 -> Hund 耦合增强 -> 磁性增强的完整物理链路。S1（320 C 退火）在 CDW 转变处低能谱权重被急剧抑制并转移至高频，S2（560 C 退火）虽无 CDW 但 Ge1 位移预置即可产生相同的能带重构和磁性增强，确证 Ge1 位移是驱动 FeGe 奇特物理性质的决定性因素。
PHYSICAL REVIEW B
Effect of lattice distortion on the band structure and magnetism in the annealed kagome magnet FeGe
一、前言背景
Kagome 磁体 FeGe：B35 相结构与电荷-自旋-晶格三重耦合
FeGe 具有 B35 相 CoSn 型六方结构（P6/mmm），Fe 原子构成完美 Kagome 平面，Ge1 位于 Kagome 层内，Ge2 形成插层蜂窝层，晶格常数 a~5.3 A, c~4.2 A。
Neel 温度 TN ~ 410 K，Fe 原子之间建立 A 型反铁磁序（面内铁磁、面间反铁磁）；110 K 以下发生 2x2x2 电荷调制伴随 CDW 相变，Fe 原子磁矩显著增强。
CDW 涉及 1/4 Ge1 原子沿 c 轴二聚化位移（约 1.25 A），X 射线散射 [Chen et al., Nat. Commun. 15, 6262 (2024)] 已揭示其长程电荷有序结构。
退火温度可调控 Ge1 位点：320 C 退火（S1）出现 CDW 相变（TCDW=110 K），560 C 退火（S2）人工引入高温 Ge1 位移从而抑制 CDW 但提升 TN。
Kagome 晶格电子结构的特殊性
Kagome 晶格天然支持 Dirac 锥（沿 Gamma-M 方向）、van Hove 奇点（M 点，dxz/dyz 简并产生态密度对数发散）和几何诱导平带（~0.5 eV above EF）。
FeGe 中 Fe 3d 轨道与 Ge1 4p 轨道在费米面附近显著杂化，Ge1 位移直接改变杂化强度，进而调控有效电子关联和 Hund 耦合效应。
与传统 CDW 材料（如 1T-TaS2, NbSe2）不同，FeGe 中 CDW 伴随着磁性增强，提供了电荷-自旋-晶格三重耦合的独特研究窗口。
近期研究 [Teng et al., PRL 133, 046502 (2024)] 揭示 FeGe 中晶格、电荷和自旋三个自由度能量尺度非常接近，电荷有序和晶格畸变旨在保护磁性。
研究动机与核心问题
Ge1 原子沿 c 轴的晶格畸变如何通过调控 Ge1 pz-Fe 3d 轨道杂化来重构电子能带结构？光学光谱能否定量追踪这一过程？
CDW 转变前后光学电导率中谱权重（SW）从低能（<0.4 eV）向高能（0.8~1.5 eV）的转移揭示了什么样的能带重构微观机制？
晶格畸变 -> 晶体场效应 -> 轨道能量差缩小 -> Hund 耦合增强 -> 高自旋态 -> 磁矩增大，这条微观关联链路能否被 DFT 定量验证？
有无 CDW 的两个样品（S1 vs S2）是否共享相同的 Ge1 位移驱动的能带重构物理本质，从而确证 Ge1 位移是决定性因素？
研究方法概述
光学光谱测量：傅里叶变换红外光谱（Bruker Vertex 80v），50~25000 cm-1（0.006~3.1 eV），温度 5~300 K，ab 面内偏振光，原位蒸发技术。
Kramers-Kronig (KK) 变换从反射率 R(omega) 推导光学电导率 sigma1(omega)，Drude-Lorentz 模型分解带内和带间响应分量。
第一性原理 DFT：VASP 代码，PBE 泛函 + SOC，PAW 赝势，截断能 520 eV，Gamma 中心 16x16x10 k 网格，系统改变 Ge1 高度 h（0~0.5 A）。
2x2x2 超胞建模（仅 1/4 Ge1 原子二聚化）模拟 CDW 部分畸变，VASPKIT 后处理提取能带、态密度和光学电导率。
二、研究方法
光学光谱测量与 Kramers-Kronig 分析
傅里叶变换红外光谱（Bruker Vertex 80v）：50~25000 cm-1（0.006~3.1 eV），5~300 K，ab 面内偏振光，采用原位蒸发技术保证参考面一致性。
Kramers-Kronig 变换：从反射率 R(omega) 推导光学电导率实部 sigma1(omega)，反映材料的联合态密度和带间跃迁强度。
低频外推（omega->0）：金属 Hagen-Rubens 关系 R(omega)=1-A*sqrt(omega)；高频外推：R(omega) 恒定至 7 eV 后采用自由电子响应正比于 omega^{-4}。
三个能量范围（远红外、中红外、近红外）分别测量，多次升降温循环验证一致性，两个样品 S1（320 C 退火）和 S2（560 C 退火）对比。
Kramers-Kronig 关系与高低频外推：从反射率推导光学电导率，金属 Hagen-Rubens 低频行为与自由电子高频行为
Drude-Lorentz 拟合与谱权重分析
多带体系采用双 Drude 分量（D1 窄 + D2 宽）描述带内自由载流子响应，系列 Lorentz 分量（L1-L5）描述带间跃迁，非线性最小二乘法拟合。
Drude 分量等离子体频率 omega_pD 正比于载流子浓度与有效质量之比，散射率 1/tau_D 反映载流子弛豫时间。
Lorentz 分量参数 omega_j（中心频率）、gamma_j（宽度）、Omega_j（振子强度）对应特定带间跃迁通道，能量位置匹配 DFT 能带计算。
谱权重 SW(omega_c,T) = (Z0/pi^2)*integral_{0}^{omega_c} sigma1(omega',T) domega'，Z0=377 Ohm 为真空阻抗，截止频率 omega_c=3000 cm-1 用于低能分析。
谱权重积分定义：量化低能到高能的电子激发再分布
Drude-Lorentz 介电函数：Drude 项描述带内响应，Lorentz 项描述带间跃迁，omega_pD 为等离子体频率，tau_D 为弛豫时间
第一性原理 DFT 计算设置
VASP 5.4.4 代码，PBE 泛函 + 自旋轨道耦合（SOC），PAW 赝势处理 Fe 3p63d74s1、Ge 4s24p2 价电子，截断能 520 eV。
Gamma 中心 Monkhorst-Pack 16x16x10 k 网格，能量收敛标准 10^{-6} eV，力收敛 0.01 eV/A，VASPKIT 后处理提取能带、DOS 和光学电导率。
系统改变 Ge1 原子高度 h（0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 A），计算能带结构、态密度和磁矩的依赖关系，追踪轨道杂化演化。
2x2x2 超胞（8 个 FeGe 原胞）：仅 2 个 Ge1 原子沿 c 轴位移 0.5 A 形成二聚化（模拟 1/4 Ge1 畸变），其余 6 个 Ge1 保持在铁平面内。
能带分析中的轨道投影与晶体场表征
采用局域坐标系进行 Fe 3d 轨道投影：dz2, dxz/dyz, dxy/dx2-y2 三组，每组对应不同晶体场能级。
晶体场分裂 Delta_CF = E(dxz/dyz) - E(dxy/dx2-y2)，在未畸变 FeGe 中 Delta_CF 略大于 Hund 耦合 JH（~0.8 eV）。
Ge1 位移使 pz-Fe 3d 杂化减弱，dxz/dyz 能量下降，Delta_CF 缩小至 JH 以下，触发低自旋 -> 高自旋转变。
自旋极化能带分析：红色/蓝色分别标记自旋向上/向下主导的能带，追踪晶格畸变引起的自旋依赖能带移动。
三、实验结果
图 1：FeGe 不同退火温度样品的光学光谱。(a) S1（320 C）和 (b) S2（560 C）的温度依赖光学电导率 sigma1(omega) 实部，红色箭头指示谱权重从低能向高能转移的趋势。(c,d) 积分谱权重比 SW(T)/SW(300 K) 随截止频率 omega_c 的变化。(e) 低能 SW（<3000 cm-1）温度依赖。(f) 高频 SW（灰色区域积分）与中子散射磁矩对比。
S1 光学电导率：CDW 驱动的谱权重再分布
S1 在 CDW 转变（110 K）以下：低频 sigma1(omega)（<0.4 eV）被显著抑制，高频（0.8~1.5 eV）逐渐增强，红色箭头指示 SW 转移方向。
谱权重比 SW(T)/SW(300 K) 分析：截止频率 omega_c=3000 cm-1 以下，S1 在 110 K 以上无显著温度依赖，110 K 以下低能 SW 被急剧抑制并随降温持续下降。
高频 SW（灰色区域积分）与中子散射 [Teng et al., Nature 609, 490 (2022)] 测得的 Fe 原子磁矩高度一致：CDW 后高频 SW 增加，40 K 自旋倾斜后微降。
这表明高频光学激发（0.8~1.5 eV）与 Fe 原子局域 dxz/dyz 轨道占据和磁性直接关联，低能激发主要来自巡游载流子的带内 Drude 响应。
S2 光学电导率：无 CDW 的预置能带重构
S2 虽无 CDW 相变，但从 300 K 到 5 K 低频和高频 sigma1(omega) 也分别呈现连续抑制和增强，与铁基超导体中的高能赝能隙行为类似。
关键发现：S2 在 300 K 时 sigma1(omega) 已显著低于 S1 的低频电导率，表明 560 C 退火在高温已预置 Ge1 位移，能带重构在室温即已发生。
S2 的高频 SW 随降温逐渐增加，与 Fe 磁矩持续增强一致，40 K 自旋倾斜后高频 SW 同样突然下降，表明自旋轨道耦合导致 Fe 3d 轨道电子重新分布。
两种样品 110 K 以下低能 SW 抑制程度相似，强烈暗示 Ge1 位移（而非 CDW 电荷有序本身）是驱动能带重构和磁性增强的决定性因素。
图 2：Drude-Lorentz 拟合。(a,b) S1 和 S2 的 5 K 光学电导率 Drude-Lorentz 分解，双 Drude 分量 D1（窄）、D2（宽）和系列 Lorentz 分量 L1-L5。(c,d) 各分量谱权重归一化温度演化，D1 在 S1 的 CDW 转变处骤降，S2 则连续变化。
Drude-Lorentz 分解：定量追踪各分量演化
S1 在 CDW 以下：D1、D2 及 L1-L3 被显著抑制，L4+L5 逐渐增强，SW 从低能（带内+低能带间）向高能带间跃迁再分布。
S1 在 40 K 自旋倾斜后：L4+L5 的 SW 回落至 L1-L3，与中子散射 Fe 磁矩演化一致，表明自旋轨道耦合效应导致 Fe 3d 轨道间电子重新分布。
S2 从 300 K 开始低能分量 SW 向高频连续转移，虽无 CDW 相变，但其 SW 再分布模式与 S1 在 CDW 期间极为相似。
两种样品中 SW 的低能->高能转移均来源于 Ge1 原子位移引起的能带重构，而非 CDW 电荷有序本身，定量验证了 Ge1 位移的核心地位。
图 3：第一性原理计算。(a) Ge1 原子沿 c 轴二聚化示意。(b) 轨道投影能带结构，Fe 3d 轨道在费米面附近主导。(c) 不同 Ge1 高度 h 下的能带演化。(d) 对应光学电导率变化。(e) 2x2x2 超胞（仅 1/4 Ge1 畸变）光学电导率与实验对比。(f) 晶体场分裂与 Hund 耦合驱动的低自旋->高自旋转变示意。
DFT 能带结构：Ge1 位移驱动的系统性变化
未畸变 FeGe 能带：费米面附近由 Fe 3d 轨道主导，Kagome 晶格产生平带（~0.5 eV above EF）、沿 Gamma-M 的 Dirac 锥和 M 点 vHS（0.3 eV below EF）。
随 Ge1 高度 h 增加（0 -> 0.5 A）：(i) 平带逐渐上移；(ii) Gamma 点 dxz/dyz 轨道下移，占据增加；(iii) K/H 点 dxy/dx2-y2 轨道上移，占据减少；(iv) M 点 vHS 趋近费米面。
光学电导率计算：随 Ge1 偏离铁平面，带内和低能激发被逐渐抑制，SW 从低能向高能再分布，红色箭头指示转移方向，与实验趋势一致。
2x2x2 超胞（1/4 Ge1 畸变）计算更接近实验观测：SW 再分布趋势相同但幅度更温和，确认能带重构程度与结构畸变程度正相关。
自旋态转变：晶体场效应与 Hund 耦合的协同作用
Ge1 在铁平面内时：Ge1 pz 与 Fe dxz/dyz 轨道显著杂化 -> dxz/dyz 能量高于 dx2-y2/dxy -> Delta_CF 略大于 JH（~0.8 eV）-> 低自旋态（Fe2+, S=1）。
Ge1 沿 c 轴位移后：Ge1 pz-Fe 3d 杂化减弱 -> Fe dyz 轨道能量下降，dx2-y2/dxy 轨道上升 -> Delta_CF 缩小至 JH 以下 -> Hund 耦合使更多电子被束缚并极化到 dxz/dyz 轨道 -> 高自旋态。
DFT 定量验证：Ge1 高度从 0 增至 0.5 A，Fe 磁矩从 ~1.50 muB 单调增至 ~1.70 muB（+13%），证实晶格畸变通过 Hund 耦合增强机制驱动磁性增强。
高频光学激发（L4+L5）与增强的 dxz/dyz 轨道占据相关，其 SW 演化与 Fe 磁矩一致，为光学探针-磁性关联提供了直接证据。
四、对比分析
S1（320 C 退火，有 CDW）vs S2（560 C 退火，无 CDW）
S1：反射率在中红外区域 110 K 以下出现突变性凹陷，低能 SW（<3000 cm-1）在 CDW 处急剧下降，D1 分量在 TCDW 处骤降，CDW 和 Ge1 二聚化同时发生。
S2：反射率随温度连续变化，低能 SW 从 300 K 开始持续下降，D1 分量平滑演化，560 C 退火已在高温引入 Ge1 位移（约 8%），无需 CDW 相变即可触发能带重构。
关键对比：两种样品在 110 K 以下低能 SW 抑制程度相似，确证 Ge1 位移（而非 CDW 电荷有序本身）是驱动能带重构和磁性增强的决定性因素。
S2 在 300 K 时 sigma1(omega) 已显著低于 S1，说明高温退火预置的 Ge1 位移使能带重构在室温即已发生，类似于铁基超导体中的高能赝能隙行为。
晶格畸变 -> 能带 -> 磁性关联链路的定量验证
Ge1 在铁平面内：Ge1 pz 与 Fe dxz/dyz 轨道显著杂化 -> dxz/dyz 能量高于 dx2-y2/dxy -> Delta_CF 略大于 JH（~0.8 eV）-> 低自旋态（Fe2+）。
Ge1 沿 c 轴位移：Ge1 pz-Fe 3d 杂化减弱 -> Fe dyz 轨道能量下降，dx2-y2/dxy 轨道上升 -> Delta_CF 缩小至 JH 以下 -> Hund 耦合使更多电子被束缚并极化到 dxz/dyz 轨道 -> 高自旋态。
DFT 定量验证：Ge1 高度从 0 增至 0.5 A，Fe 磁矩从 ~1.50 muB 单调增至 ~1.70 muB，证实晶格畸变增强 Hund 耦合和磁性。
高频光学激发（L4+L5）与增强的 dxz/dyz 轨道占据相关，其 SW 演化与 Fe 磁矩一致，为光学探针-磁性关联提供了直接证据。
与其他 Kagome CDW 体系的对比
AV3Sb5（A=K,Rb,Cs）：CDW 与超导电性共存竞争，单层 Kagome 层，CDW 涉及 2x2 电荷有序，手性电荷序已被实验证实，但 CDW 伴随超导抑制而非磁性增强。
FeGe（本文）：CDW 伴随磁性增强而非超导，双层 Kagome 结构（Ge1/Ge2 两种不等价格位）更复杂，Ge1 原子位移是主动力而非 Fermi 面嵌套。
ScV6Sn6：CDW 在 92 K 发生，Sn 三聚体面外位移驱动，单轴应变可选择性稳定 CDW，与 FeGe 中 Ge1 位移驱动的机制类似但 kagome 层组成不同。
共性：Kagome 晶格中过渡金属-p 轨道杂化对 CDW 相变至关重要，晶格自由度在电荷有序中扮演主动角色而非被动响应。
低自旋 -> 高自旋转变与铁基超导体的类比
FeGe 中 Ge1 位移缩小晶体场分裂、增强 Hund 耦合效应，与铁基超导体中 As/Se 高度增加增强 Hund 耦合效应的行为高度相似。
在铁基超导体中，As/Se 高度增加导致 Fe 3d 能带变窄，Hund 耦合增强，巡游电子局域化，产生高能赝能隙和谱权重转移 [Wang et al., JPCM 24, 294202 (2012)]。
FeGe 中 S2 的 SW 连续转移与铁基超导体中 doping 和温度驱动的 SW 再分布具有相同的物理起源：Hund 耦合增强导致的巡游->局域转变。
这一类比表明 FeGe 可作为研究 Hund 金属物理的理想平台，Kagome 晶格拓扑特性为 Hund 耦合效应提供了额外的调控维度。
五、讨论
晶体场分裂与 Hund 耦合竞争：Delta_CF < JH（~0.8 eV）时进入高自旋态，这是 Ge1 位移驱动磁性增强的核心机制
物理机制：晶格畸变 -> 轨道杂化 -> Hund 耦合 -> 磁性增强
M 点 vHS（dxz/dyz 简并）具有极高态密度，略微的 Ge1 位移即可使其趋近费米面，高电子密度可能引发长程晶格不稳定性，但 vHS 是否为 CDW 驱动机制仍需进一步研究。
晶格畸变通过晶体场效应和 Hund 耦合双重机制同时调控电子结构和磁性：杂化减弱 -> 能带变窄 -> 载流子动能降低 -> Hund 耦合增强 -> 高自旋态 -> 磁矩增大。
2x2x2 超胞计算（仅 1/4 Ge1 畸变）的光学电导率与实验更加接近，表明部分畸变模型更真实地反映了 CDW 态，且能带重构程度与结构畸变程度正相关。
S2 中随降温巡游载流子动能降低，Hund 耦合逐步束缚和极化巡游电子，反映为 sigma1(omega) 中 SW 从低能向高能的连续转移，与铁基超导体中 Hund 耦合增强效应一致。
CDW 形成机制：Peierls 机制 vs van Hove 奇点 vs 电子-声子耦合
传统 Peierls 机制：一维金属中 Fermi 面嵌套（q=2kF）导致晶格畸变和能隙打开，但 FeGe 为三维 Kagome 体系，嵌套条件不完全满足，CDW 不能简单归因于 Fermi 面效应。
van Hove 奇点机制：M 点 vHS 态密度极高，略微的 Ge1 位移即可使 vHS 趋近费米面，电子能量降低驱动晶格畸变，类似于 A15 超导体中的马氏体相变。
电子-声子耦合：声子谱中 Ge1 面外振动模式在 CDW 转变温度附近软化，与电子结构变化耦合形成正反馈回路，最终导致晶格失稳和长程电荷有序。
三种机制共同作用，但 Ge1 位移驱动的轨道杂化变化是核心：CDW 并非单纯的 Fermi 面效应，而是涉及晶格-电荷-自旋的全自由度耦合。
Ge1 位移在 CDW 中的主动角色与实验验证
传统观点认为 CDW 中晶格畸变是 Fermi 面不稳定性的被动响应，但本文工作表明 Ge1 位移是主动驱动因素而非被动响应。
关键证据：(i) S2 无 CDW 但 Ge1 位移预置即可产生能带重构；(ii) SW 抑制程度与 Ge1 位移量正相关；(iii) 磁矩增强与非 CDW 的 Ge1 位移直接关联。
进一步实验验证：(i) 原位 X 射线散射测量 Ge1 位移量随温度演化；(ii) 中子散射测量磁矩与 Ge1 位移的定量关系；(iii) 扫描隧道显微镜直接观测 CDW 调制图像。
该发现对理解 Kagome 体系中 CDW 的形成机制具有范式转移意义：晶格自由度不仅是电荷有序的伴随现象，更可能是驱动因素。
Fe 磁矩从 1.50 muB（pristine）到 1.70 muB（distorted, h=0.5 A）的单调增长，增幅约 13%，与 Ge1 高度呈近似线性关系
展望与调控策略
该机制可能适用于其他 Kagome 磁体（如 Mn3Sn, Co3Sn2S2, Fe3GeTe2, FeSn），为通过退火/应变/化学替代调控电子关联和磁性提供了通用策略。
退火调控：通过改变退火温度和持续时间可精确控制 Ge1 位移量，进而阶梯式调控 TN、磁矩和 CDW 存在与否，实现材料性质的连续可调。
应变工程：单轴应变沿 c 轴可人为引入 Ge1 位移，在无退火条件下实现能带重构和磁性调控，为器件应用提供可控手段。
化学替代：Ge 位点部分替代（如 Si, Sn）可改变 p-Fe 3d 杂化强度，调控 Hund 耦合效应，探索 Kagome 磁体家族中更多可调的量子态。
六、总结
核心结论
通过光学光谱（50~25000 cm-1, 5~300 K）和第一性原理计算（VASP PBE+SOC），系统揭示了退火 Kagome 磁体 FeGe 中 Ge1 原子沿 c 轴位移驱动的完整物理链路。
S1 在 CDW 转变处低能 SW（<0.4 eV）被急剧抑制并转移至高频（0.8~1.5 eV），Drude-Lorentz 分解显示 D1 分量骤降、L4+L5 增强，与 Fe 磁矩演化一致。
Ge1 位移 -> Ge1 pz-Fe dxz/dyz 杂化减弱 -> 晶体场效应重构能带 -> Delta_CF 缩小至 JH（~0.8 eV）以下 -> 高自旋态 -> Fe 磁矩从 1.50 muB 增至 1.70 muB。
S2 无 CDW 但 560 C 退火预置 Ge1 位移即可产生相同的能带重构和磁性增强，确证 Ge1 位移（而非 CDW 电荷有序）是驱动 FeGe 奇特物理性质的决定性因素。
展望
为 Kagome 磁体中通过退火或应变调控电子关联和磁性提供了普适策略，对理解电荷-自旋-晶格三重耦合具有重要参考价值。
Meron/拓扑磁涡旋等新奇量子态在 Kagome 磁体中的存在可能性值得进一步探索，Ge1 位移可为拓扑自旋结构提供调控自由度。
进一步探索温度、电场、应变对 Hund 耦合和磁性的多场耦合调控，为低功耗 spintronics 器件提供材料设计指导。
Kagome 磁体家族中其他成员（FeSn, Mn3Sn, Co3Sn2S2 等）的晶格-自旋-电荷耦合机制值得系统对比研究，寻找通用规律。
支撑信息 (Supporting Information)
S1 · 电阻率表征
样品电阻率对比
S1（320 C 退火）和 S2（560 C 退火）的归一化电阻率 rho(T)/rho(300 K) 随温度变化对比，两样品在室温均为金属性，电阻率量级 ~10^{-4} Ohm*cm。
S1 在 ~110 K 处出现明显的电阻率异常，对应 CDW 相变温度 TCDW，电阻率呈现突变性转折，表明 CDW 相变打开了部分费米面能隙，载流子浓度下降。
S2 从 300 K 到 5 K 呈现平滑的金属性行为，无 CDW 相变迹象，但电阻率整体略高于 S1，与退火引入的 Ge1 位移导致载流子减少和有效质量增大一致。
两种样品的电输运和磁学性质已在参考文献 [Wu et al., PRL 132, 256501 (2024)] 和 [Chen et al., Nat. Commun. 15, 6262 (2024)] 中详细报道。
图 S1：S1（320 C 退火，红色）和 S2（560 C 退火，蓝色）样品的温度依赖归一化电阻率。S1 在 ~110 K 出现 CDW 转变的电阻异常，S2 则呈现平滑金属性行为。
S2 · 全谱反射率
反射率测量条件与温度演化
反射率测量覆盖 50~25000 cm-1（0.006~3.1 eV），温度 5~300 K，Bruker Vertex 80v FTIR 光谱仪，ab 面内偏振光，原位蒸发技术保证参考面一致性。
三个能量范围（远红外、中红外、近红外）分别测量，经过多次升降温循环验证，反射率在各能量范围交界处平滑过渡，表明样品性质稳定。
两样品均呈现典型的金属反射率特征（<0.1 eV 处反射率接近 1），随降温 S1 在中红外区域形成凹陷（CDW 特征），S2 反射率则连续变化。
S2 无 CDW 但每个能量范围的反射率同样在多次升降温循环后保持一致变化，表明 560 C 退火样品的性质同样稳定且可重复。
选定频率反射率变化分析
在中红外区域（反射率凹陷最显著处）选取三个特征频率（~3000 cm-1, ~8000 cm-1），追踪反射率相对于 300 K 的变化量 Delta R = R(T) - R(300 K)。
S1 在 CDW 转变处（110 K）反射率出现不连续跳变，此后随降温持续下降，表明 CDW 相变引发了突然的能带重构，Drude 响应被部分抑制。
S2 的反射率变化从 300 K 开始连续下降，无突变特征，说明 560 C 退火在高温即已引入能带重构，与 CDW 相变无关。
反射率凹陷的形成与载流子等离子体频率的降低和带间跃迁增强一致，是 SW 从低能向高能转移的直接光学表现。
图 S2：(a) S1 和 (b) S2 的温度依赖反射率谱，彩色虚线标出三个特征频率。(c) 选定频率处反射率相对于 300 K 的变化量。S1 在 CDW 转变处反射率不连续跳变，S2 连续变化。
S3 · 不同 Ge1 高度下的能带结构演化
Ge1 位移驱动的能带重构细节
计算了从 pristine（h=0）到 h=0.5 A 共 6 种 Ge1 高度下的能带结构，沿高对称路径 Gamma-M-K-Gamma, A-L-H-A，基于 1x1x2 原胞。
随 Ge1 原子沿 c 轴升高，能带结构呈现四个系统性变化：(i) 位于 EF 以上约 0.5 eV 的 Kagome 平带逐渐向上移动，局域性增强；(ii) Gamma 点 dxz/dyz 轨道主导的能带向下移动，占据增加。
(iii) K 点附近由 dxy/dx2-y2 轨道主导的能带向下移动，占据减少；(iv) M 点 vHS（dxz/dyz 简并）逐渐趋近费米面，态密度发散增强，可能引发晶格不稳定性。
所有能带变化均与晶体场效应一致：Ge1 远离铁层 -> Ge1 p-Fe 3d 杂化减弱 -> Fe 原子更孤立 -> 能带变窄，轨道能量差重新排列。
图 S3：不同 Ge1 高度 h（0~0.5 A）下的能带结构演化。Pristine (a) 到 h=0.5 A (f)。随 h 增大，平带上移、Gamma 点 dxz/dyz 带下移、K 点 dxy/dx2-y2 带下移、M 点 vHS 靠近费米面。
S4 · 未畸变 FeGe 的自旋极化能带
自旋极化能带结构与磁性增强的关联
计算了 pristine FeGe 的自旋极化能带结构，红色标记自旋向上主导的能带，蓝色标记自旋向下主导的能带，高对称路径与图 S3 一致。
在未畸变状态下，自旋向上和自旋向下能带在费米面附近交错分布，体系处于 A 型反铁磁基态，净磁矩由两套自旋子晶格的差异贡献。
结合图 S3 的能带演化可见，随着晶格畸变发展，自旋向上主导的能带整体向下移动，自旋向下主导的能带向上移动，自旋极化能带分裂增大，表明磁性增强。
这种自旋依赖的能带移动是 Ge1 位移通过晶体场效应和 Hund 耦合双重作用调控 Fe 3d 轨道占据的直接体现，与光学 SW 转移的物理起源一致。
图 S4：未畸变 FeGe 的自旋极化能带结构。红色和蓝色分别标记自旋向上和自旋向下主导的能带。晶格畸变使自旋向上带下移、自旋向下带上移，磁性增强。
S5 · Ge 轨道贡献与态密度
Ge1 和 Ge2 的 p 轨道杂化分析
在未畸变 FeGe 能带中，以红色/蓝色高亮分别标记 Ge1 p 和 Ge2 p 轨道贡献的能带，揭示两种不等价格位 Ge 原子在费米面附近的电子结构角色。
Ge1 pz 轨道与 Fe 3d 轨道在费米面附近多组能带中显著重叠，表明存在强杂化；而 Ge1 px/py 轨道远离费米面，杂化贡献可忽略，因此 Ge1 位移主要影响 pz-Fe 3d 杂化。
Ge2 的 p 轨道同样在费米面附近有可观贡献，但近期 X 射线散射测量 [Chen et al., Nat. Commun. 15, 6262 (2024)] 表明 CDW 相变中 Fe-Ge2 距离变化可忽略，因此 Ge2 杂化在 CDW 过程中不变。
因此，Ge1 原子沿 c 轴的位移是影响 Fe 3d 轨道杂化强度和能带结构的关键因素，Ge2 的贡献可视为固定的背景，突显了 Ge1 位移的独特重要性。
态密度随晶格畸变的演化
计算了 pristine、h=0.5 A 和 h=1.0 A 三种畸变程度下费米面附近的态密度（DOS），纵轴单位为 states/eV/f.u.，能量范围 -1.0 ~ 1.0 eV。
随 Ge1 高度增加，费米面处态密度 N(EF) 单调下降，对应实验中 Drude 分量（带内响应）的抑制和载流子有效质量的增大，定量验证了 SW 转移的态密度起源。
同时，费米面附近 dxz/dyz 轨道贡献的态密度峰向低能移动，dxy/dx2-y2 贡献的峰向高能移动，与能带结构的变化一致，反映了晶体场分裂的重新排列。
DOS 的重分布直接反映了 Ge1 位移引起的晶体场效应和轨道杂化变化，为光学电导率的谱权重转移提供了态密度层面的微观解释。
图 S5：(a) 未畸变 FeGe 能带中 Ge1 p（红色）和 Ge2 p（蓝色）轨道贡献。Ge1 pz 轨道与 Fe 3d 杂化最强，是能带重构的关键。(b) 不同畸变程度下的费米面附近态密度，费米面态密度随畸变增大而下降。
S6 · 磁矩与 Ge1 位移的定量关系
Fe 磁矩随 Ge1 高度的单调增长
DFT 计算了 Ge1 原子高度 h 从 0 到 0.5 A 时 Fe 原子的磁矩，磁矩从约 1.50 muB/atom 单调增至约 1.70 muB/atom，增幅约 13%，呈近似线性趋势。
磁矩增长呈近似线性趋势，表明 Ge1 位移驱动的晶格畸变与磁性增强之间存在直接的定量关联，而非阈值效应，这为精确调控磁性提供了便利。
这一单调增长趋势与实验中 S1 在 CDW 转变后磁矩增强（中子散射 [Teng et al., Nature 609, 490 (2022)]）以及 S2 中磁矩持续增强（磁化率测量 [Wu et al., PRL 132, 256501 (2024)]）定性一致。
磁矩变化幅度（~0.20 muB）与 Fe2+ 低自旋（S=1, mu=2.83 muB）到高自旋（S=2, mu=4.90 muB）转变的部分特征一致，说明 Ge1 位移驱动了部分自旋态转变。
Hund 耦合增强的微观机制
Ge1 高度增加 -> Ge1 pz-Fe dxz/dyz 杂化减弱 -> dxz/dyz 轨道能量下降，与 dx2-y2/dxy 轨道能量差 Delta_CF 缩小至 Hund 耦合 JH（~0.8 eV）以下。
Hund 耦合使更多电子被束缚并极化到 dxz/dyz 轨道 -> 高自旋态，净磁矩增大。同时杂化减弱使 Fe 3d 能带变窄，巡游性减弱，进一步增强 Hund 耦合的局域极化效应。
该机制解释了为何 S2（无 CDW 但 Ge1 位移预置）同样表现出磁性增强：Ge1 位移本身即可触发 Hund 耦合增强，无需 CDW 电荷有序的参与。
这与铁基超导体中 As/Se 高度增加增强 Hund 耦合效应的物理机制高度相似，为通过结构调控磁性的策略提供了微观理论基础。
图 S6：Fe 原子磁矩随 Ge1 高度的变化。磁矩从 1.50 muB（h=0）单调增至 1.70 muB（h=0.5 A），证实晶格畸变通过 Hund 耦合增强机制驱动磁性增强。
S7 · 2x2x2 超胞能带结构
超胞建模与部分畸变模拟
构建 2x2x2 超胞（包含 8 个 FeGe 原胞），其中仅 2 个 Ge1 原子（占总数的 1/4）沿 c 轴位移 0.5 A 形成二聚化，其余 6 个 Ge1 保持在铁平面内，模拟 CDW 态中 1/4 Ge1 二聚化的真实情况。
超胞导致能带折叠，布里渊区缩小，能带结构较 1x1x2 原胞更加复杂。但即使在部分畸变的情况下，能带结构的关键特征（平带上移、dxz/dyz 带下移、dxy/dx2-y2 带下移）仍然保持。
超胞计算还揭示了部分畸变导致的能带折叠和能隙打开，这些特征在更高分辨率的实验（如 ARPES）中可能被观测到，为未来实验验证提供了具体预测。
基于 2x2x2 超胞能带计算的光学电导率（正文图 3(e)）表明，当仅 1/4 Ge1 原子畸变时，SW 再分布趋势与全畸变一致但变化幅度更加温和，与实验观测更加接近。
部分畸变对光学电导率的影响
当仅 1/4 Ge1 原子畸变时，谱权重从低能向高能的再分布趋势与全畸变（1x1x2 原胞）一致，但变化幅度大幅减小，更接近实验观测值，确认了部分畸变模型的必要性。
这一结果进一步确认了能带重构程度与结构畸变程度之间的正相关关系，以及 Ge1 位移（而非 CDW 电荷有序）是决定光学性质变化的核心因素。
2x2x2 超胞与 1x1x2 原胞的对比表明，单纯考虑全畸变会高估能带重构效果，真实 CDW 态中仅 1/4 Ge1 二聚化，光谱效应被部分畸变稀释。
该计算策略为其他 CDW 材料中部分畸变/部分电荷有序的建模提供了方法学参考，强调了超胞大小和畸变比例对理论预测精度的重要性。
图 S7：2x2x2 超胞（仅 1/4 Ge1 原子发生 0.5 A 畸变）的折叠能带结构。能带折叠使结构复杂化，但关键能带演化趋势与 1x1x2 原胞一致，为部分畸变模型提供了基准。
A. Zhang, X. Wu, R. Yang et al., Phys. Rev. B 113, 085146 (2026) | FeGe · Kagome 磁体 · 晶格畸变 · 光学光谱 · DFT · Hund 耦合
