本文在二维正方格子上的单轨道扩展 Hubbard 模型 (t-U-V) 中发现了一种全新的交变磁性 (AM) 微观实现机制：仅通过关联驱动的 d 波自旋键序 (dSB) 和自旋流序 (dSC) 与在位反铁磁序 (AFM) 共存，即可自发产生 d 波 AM——无需晶体学各向异性，无需多轨道物理。该发现大幅扩展了 AM 候选材料范围，并预言载流子掺杂可调控自旋劈裂方向，具有自旋电子学应用潜力。
Spontaneous Emergence of Altermagnetism in the Single-Orbital Extended Hubbard ModelJ.-W. Dong, Y.-H. Lin, R. Fu, X. Wu, G. Su, Z. Wang, S. ZhouPhysical Review B 113, 245117 (2026)
DOI: 10.1103/k5vw-c9ks
一、研究背景：交变磁性的第三类磁序
交变磁性 (Altermagnetism, AM) 的发现
交变磁性是继铁磁性 (FM) 和反铁磁性 (AFM) 之后的第三类共线磁序，由 Šmejkal 等人于 2020-2022 年系统提出 (Phys. Rev. X 12, 031042, 2022)。
AM 的核心特征：零净磁化强度（类似 AFM）+ 非相对论性动量依赖自旋劈裂（类似 FM），兼具两者的优势。
传统 AM 的实现依赖晶体学各向异性或通过多轨道关联效应自发产生交错局域轨道序，需要打破实空间反演 (P) 或平移 (τ) 对称性，但保留旋转/镜面 (R) 对称性。
AM 的判据：保持复合自旋对称性 {Cⁿ₂||R} 确保零净磁化，同时打破 PT 联合对称性和 {Cⁿ₂||τ} 自旋对称性以解除 Kramers 自旋简并。
本文的核心创新——单轨道自发 AM
本文提出一种全新的 AM 微观实现路径：在单轨道扩展 Hubbard 模型 (t-U-V 模型) 中，仅通过关联效应驱动的键序 (bond order) 自发产生 AM。
无需晶体学各向异性，无需多轨道物理——大幅扩展了 AM 候选材料范围。
d 波 AM 由三种序的共存实现：在位 AFM (U 驱动) + d 波自旋键序 dSB (V 驱动) + d 波自旋流序 dSC (V 驱动)。
三种序的自旋方向相互垂直，形成右手手性 Ω = 1（空穴掺杂）或左手手性 Ω = -1（电子掺杂）。
t-U-V 模型与方格子
模型：H = -t ∑c†c + U ∑n↑n↓ + V ∑n n，t=1 为能量单位，U 和 V 分别为在位和最近邻库仑相互作用。
考虑 √2 × √2 扩大原胞（含 2 个格点、4 条最近邻键），允许 AFM、dSC、dSB、CDW 等多种序的竞争。
8% 空穴掺杂下，在 U-V 平面的宽广区域（粉色阴影区）中，d 波 AM 被自发稳定为平均场基态。
弱耦合平均场理论的结果得到了强耦合 SU(2) 奴隶玻色子理论的验证（见支撑信息第四节）。
Eq. (1): t-U-V 模型哈密顿量——t 为最近邻跃迁，U 为在位 Hubbard 相互作用，V 为最近邻库仑相互作用
二、平均场理论与方法
平均场解耦方案
在位 Hubbard U 项通过局域磁矩 m^μ_i 解耦：ˆm^μ_i = ∑_{αβ} c†_{iα} σ^μ_{αβ} c_{iβ}。
最近邻 V 项通过键算符 ˆχ^ν_{ij} = ∑_{αβ} c†_{iα} σ^ν_{αβ} c_{jβ} 解耦，ν=0 对应电荷键，ν=x,y,z 对应自旋键。
直接 Hartree 项被忽略，因其贡献已在 DFT 中考虑，避免二次计数。
考虑 √2×√2 扩大原胞（2 个格点、4 条最近邻键），采用不同初始条件自洽求解，比较能量确定基态。
Eq. (2): 平均场哈密顿量——第一项为动能项，第二项为在位磁性解耦，第三项为最近邻键序解耦
三、相图与 d 波交变磁性
图 1：(a) 8% 空穴掺杂下 t-U-V 模型的平均场相图，包含 PM、AFM、dSC/dCC 和 d 波 AM 金属相；(b) (U,V)=(3,1.5) 时 d 波 AM 沿高对称路径的电子结构，颜色表示自旋劈裂；(c) 对应的费米面。
相图分析（图 1a）
PM 相（灰色）：U 和 V 均较弱时，仅存在均匀电荷键序 χ'₀ₛ，重整化带宽但不破坏对称性。
AFM 相（绿色）：在位 U 主导，驱动反铁磁序，完全自旋极化，保持 Kramers 简并。
dSC/dCC 相（青色）：V 较大时，d 波自旋流序或 d 波电荷流序（两者能量简并）成为基态，产生 Dirac 半金属。
d 波 AM（粉色）：中等 U 和 V 下，AFM + dSB + dSC 三种序共存，产生动量依赖的 d 波自旋劈裂。
d 波 AM 的电子结构特征（图 1b,c）
自旋劈裂主要沿 e_dSB 方向，垂直于 e_AFM 和 e_dSC——与之前报道的 AM（自旋劈裂沿有序磁矩方向）截然不同。
能带是部分自旋极化的，而非完全极化——当引入 SOC 后，传统 AM 也会变为部分极化。
沿 Γ-M 和 X-Y 方向保持自旋简并，体现 d 波对称性：M_x,y 镜面下自旋对称，M_±xy 镜面下自旋反对称。
dSB 和 dSC 的 d 波对称性不改变 N=(π/2,π/2) 处的 Dirac 点，主要修饰 X=(π,0) 附近的电子结构。
X 点能级劈裂与能量优化
X 点四个本征值 E_{ττ'} = τUm/2 + τ'·2V(χ_dSC - τΩχ_dSB)，τ,τ'=±1。
Ω=1 时，下双重态 (τ=-1) 的劈裂达到最大 4V|χ_dSC+χ_dSB|=0.870，将一条能带尽可能推至费米能以下，降低总能量。
正是这一能量优化机制使得 d 波 AM 在空穴掺杂下自发稳定为基态。
电子掺杂侧，Ω=-1 时上双重态 (τ=1) 的劈裂最大，同样自发稳定 AM。
X 点能级表达式：τ 标记上下双重态，τ' 标记双重态内的劈裂，Ω 为手性
图 2：d 波 AM 中共存三种序的示意图。(a) AFM：A/B 子晶格上反平行的共线磁矩；(b) dSB：沿 x 和 y 轴自旋跃迁符号相反；(c) dSC：交错循环自旋流；(d) 三种序的自旋方向相互垂直，形成右手手性 Ω=1。
三种序的微观图像（图 2）
AFM：m_i = γ_i m e_AFM，γ_i = (-1)^{i_x+i_y}，子晶格交错磁矩，m=0.269 μ_B。
dSB (d 波自旋键序)：χ_dSB = 0.062，沿 e_dSB 方向的自旋跃迁在 x 和 y 键上符号相反（图 2b 红色/蓝色椭圆）。
dSC (d 波自旋流序)：χ_dSC = 0.083，自旋向上和向下电子沿相反方向循环流动（图 2c 箭头）。
任意两种序的组合与三种序共存共享相同的非平庸自旋空间群——因此第三种序自然涌现以进一步降低能量。
四、对称性分析与自旋空间群
自旋空间群（Spin Space Group）框架
自旋空间群 G_SS = G_SO × G_NSS，其中 G_SO 为纯自旋操作群，G_NSS 为包含自旋+空间分量的非平庸自旋空间群。
d 波 AM 的 G_NSS 由四个陪集构成，涉及恒等、C^{edSC}₂、C^{eAFM}₂、C^{edSB}₂ 四种自旋旋转操作。
自旋对称性 {C^{edSB}₂||τ} 被保持 → 电子能带沿 e_dSB 部分自旋极化。
自旋对称性 {C^{eAFM}₂||τ} 和 {C^{edSC}₂||τ} 被打破，PT 联合对称性被打破 → Kramers 自旋简并被解除。
Eq. (S10): d 波 AM 的非平庸自旋空间群表达式——四个陪集对应四种自旋操作
AM 的条件：{C^{eAFM}₂||τ} 和 {C^{edSC}₂||τ} 破缺 + PT 破缺 → Kramers 简并解除；{C^{edSB}₂||τ} 保持 → 部分自旋极化
图 S1：序参量自旋方向示意图。(a) d 波 AM (AFM+dSC+dSB)；(b) AFM+dSC；(c) dSC+dSB；(d) dSB+AFM。三种序的自旋方向相互垂直。
共存态的自旋方向（图 S1）
自洽计算发现：AFM、dSC、dSB 的自旋方向始终相互垂直，形成右手手性 Ω=1。
通过变分计算验证：固定序强度，扫描角度 (θ₁,θ₂,θ₃)，能量极小值恰好出现在 (π/2, π/2, π/2)，即 Ω=1。
变分路径：(0,0,0) → (π/2,0,0) → (π/2,π/2,π/2) → (π/2,π/2,-π/2) → (0,0,0)，能量在 Ω=1 处达到全局最小。
任意两种序的组合（AFM+dSC、dSC+dSB、dSB+AFM）与完整的 d 波 AM 共享相同的非平庸自旋空间群——因此第三种序自然涌现。
五、掺杂演化与自旋电导率
图 3：空穴掺杂 x 依赖。(a) 收敛低能态相对于 PM 相的单位格点能量；(b) 对应的序参量大小；(c) 平均场基态的纵向自旋电导率 σ_yy。库仑相互作用 (U,V)=(3,1.5)。
掺杂演化（图 3a,b）
半填充 (x=0)：完全带隙的 AFM 绝缘体，费米能位于 X 点上下双重态之间，无法发展 dSC 和 dSB 序。
引入空穴后：费米能下移至 X 点下双重态，V 驱动 dSC 和 dSB 发展，劈裂下双重态，稳定 d 波 AM。
随空穴掺杂增加：AFM 磁矩减小，dSB 和 dSC 增强，自旋劈裂愈加显著。
x_c ≈ 0.135 处发生一级相变，d 波 AM 转变为 PM 相。
自旋电导率（图 3c）
纵向自旋电导率 σ_yy = -σ_xx 通过 Kubo 公式计算，反映沿 y 方向流动的 z 方向极化自旋流对 y 方向电场的响应。
半填充时 σ_yy = 0（绝缘体），随空穴掺杂逐渐增强，在 x_c 处达到最大值，然后突变至零（PM 相）。
电子掺杂侧：通过粒子-空穴变换，自旋方向反转，手性变为 Ω=-1，FS 上自旋极化方向反转 → 自旋电导率符号相反。
这意味着可以通过载流子掺杂或栅压调控自旋流方向，具有潜在的自旋电子学应用价值。
自旋电导率 Kubo 公式：J^z_a 为自旋流算符，v_b 为速度算符，A_nk(ω) 为谱函数
谱函数与散射率 Γ=0.02 的定义
速度算符 v_a 与自旋流算符 J^z_a 的定义
手性 Ω = ±1 决定空穴/电子掺杂侧的能带劈裂特征和自旋极化方向
六、支撑信息 (Supporting Information)
S1 · 自旋空间群基本理论
自旋空间群的定义
自旋空间群 G_SS 是晶格对称群 G_s0 和自旋对称群 O_s(3) 的外直积的任意子群。
O_s(3) = SO(3) × {E, Ē}，其中 SO(3) 为三维欧几里得矢量旋转，E 和 Ē 为自旋空间恒等和反演。
每个自旋空间群可分解为纯自旋群 G_SO 和非平庸自旋空间群 G_NSS 的直积：G_SS = G_SO × G_NSS。
Eq. (S1): 自旋空间群 O_s(3) 的定义
Eq. (S2): 外直积构造 G_s0 ⊗ O_s(3)
Eq. (S3): 自旋空间群分解 G_SS = G_SO × G_NSS
S1 · 自旋群对称性表
Table S1：AFM、dSC、dSB 的非平庸自旋群对称性
表格给出了 AFM、dSC、dSB 三种序在各对称操作下恢复自身所需的晶格平移量。
τ 表示沿 x 或 y 方向平移一个晶格常数，× 表示不存在这样的平移（即不具备该对称性）。
AFM 保持 PT 和 {Cⁿ₂||E|τ}，故能带保持 Kramers 自旋简并。
dSB 打破 PT 和 {Cⁿ₂||E|τ}，故能带自旋劈裂——但由于其 SO(2) 自旋对称性，劈裂是完全极化的。
Table S1：AFM、dSC 和 dSB 的非平庸自旋群对称性。上半部分（1st-3rd 行）为无自旋翻转操作，下半部分（4th-6th 行）为 180° 自旋旋转操作。
Table S2：Kramers 简并条件
自旋对称性 {Cⁿ₂||E|τ} 和联合对称性 PT 共同保证 Kramers 简并。
若两者均被打破，Kramers 简并被解除，能带在动量空间中自旋劈裂。
AFM 保持两者 → 自旋简并；dSC 保持两者 → 自旋简并；dSB 打破两者 → 自旋劈裂。
Table S2：自旋对称性 {Cⁿ₂||E|τ} 和 PT 联合对称性保证 Kramers 简并。AFM 和 dSC 保持两者，dSB 打破两者。
Table S3：共存态的非平庸自旋群对称性
四种自旋操作（E, C^{edSC}₂, C^{eAFM}₂, C^{edSB}₂）在 C₄v 点群对称操作下的晶格平移需求。
d 波 AM 保持 {C^{edSB}₂||M_x} 和 {C^{edSC}₂||C₄} 自旋对称性，确保零净磁化和 d 波对称性。
任意两种序的组合（AFM+dSC、dSC+dSB、dSB+AFM）与完整 d 波 AM 共享相同的 Table S3。
Table S3：共存态（自旋方向相互垂直）的非平庸自旋群对称性。τ 为平移一个晶格常数，× 表示不存在。
S1 · 三种序的对称性推导
AFM 的对称性
AFM 的唯象哈密顿量由 Eq. (S4) 给出，其中 γ_i = (-1)^{i_x+i_y} 在 A/B 子晶格上取 ±1。
任何绕 e_AFM 的自旋旋转保持 AFM 态不变 → 具有纯自旋对称性 SO(2)。
非平庸自旋空间群由 Eq. (S5) 给出，其中 G^{AFM}_{s0} = {{E|0}, {C₄|τ}, {C₂|0}, {C⁻¹₄|τ}, {M_x|τ}, {M_y|τ}, {M_{xy}|0}, {M_{-xy}|0}}。
AFM 保持 PT 和 {Cⁿ₂||E|τ} → Kramers 自旋简并保持。
Eq. (S4): AFM 唯象哈密顿量——γ_i 为子晶格交错因子，e_AFM 为自旋方向单位矢量
Eq. (S5): AFM 的非平庸自旋空间群——两个陪集分别对应无自旋翻转和 180° 自旋旋转
dSC 的对称性
dSC 的唯象哈密顿量由 Eq. (S6) 给出，η_{ij} = (-1)^{i_y+j_y} 为 d 波形因子。
dSC 描述交错循环自旋流：自旋向上/向下电子沿相反方向循环。
非平庸自旋空间群由 Eq. (S7) 给出，G^{dSC}_{s0} = {{E|0}, {C₄|0}, {C₂|0}, {C⁻¹₄|0}, {M_x|τ}, {M_y|τ}, {M_{xy}|τ}, {M_{-xy}|τ}}。
dSC 同样保持 PT 和 {Cⁿ₂||E|τ} → Kramers 自旋简并保持。
Eq. (S6): dSC 唯象哈密顿量——i 因子确保自旋向上的循环方向与自旋向下相反
Eq. (S7): dSC 的非平庸自旋空间群
dSB 的对称性
dSB 的唯象哈密顿量由 Eq. (S8) 给出，自旋跃迁沿 x 和 y 轴符号相反。
dSB 不破坏平移对称性，保持 {E||E|0} 和 {E||E|τ}。
非平庸自旋空间群由 Eq. (S9) 给出，H^{dSB}_{s0} = {{E|0,τ}, {C₂|0,τ}, {M_x|0,τ}, {M_y|0,τ}} 是 G^{dSB}_{s0} 的半子群。
dSB 打破 PT 和 {Cⁿ₂||E|τ} → Kramers 简并解除 → 自旋劈裂。由于 SO(2) 对称性，劈裂是完全极化的。
dSB 是 q=0 序，不打开能隙，因此无法独立稳定为基态。
Eq. (S8): dSB 唯象哈密顿量——η_{ij} 为 d 波形因子，自旋跃迁在 x 和 y 键上符号相反
Eq. (S9): dSB 的非平庸自旋空间群——包含半子群 H^{dSB}_{s0} 和陪集 C^n₂||G^{dSB}_{s0}-H^{dSB}_{s0}
S1 · d 波 AM 的对称性推导
d 波 AM 的非平庸自旋空间群推导
d 波 AM 中三种序的自旋方向相互垂直 → SO(2) 自旋旋转对称性被完全打破。
能够在晶格对称变换下恢复自身的自旋操作仅为 E, C^{edSC}₂, C^{eAFM}₂, C^{edSB}₂。
通过对比 Table S1 中各行，推导出 Table S3 的四行，最终得到 Eq. (S10) 的自旋空间群表达式。
H_{s0} = {{E|0}, {C₂|0}, {M_x|τ}, {M_y|τ}}，其余三个陪集分别由 C₄、M_{xy}、M_x 生成。
d 波 AM 保持 {C^{edSB}₂||E|τ} → 部分自旋极化；打破 {C^{eAFM}₂||E|τ} 和 {C^{edSC}₂||E|τ} → Kramers 简并解除。
Eq. (S10): d 波 AM 的非平庸自旋空间群——四个陪集对应四种自旋操作
S1 · 任意两种序的组合对称性
AFM+dSC、dSC+dSB、dSB+AFM 的对称性
有趣的是，任意两种序的组合（自旋方向相互垂直）与完整 d 波 AM 共享相同的 Table S3 和 Eq. (S10)。
因此，在自洽计算中，第三种序会自然涌现以进一步降低能量。
唯象验证：手动引入两种序（强度 0.05），第三种序的期望值随掺杂连续变化（图 S2）。
这解释了为何 d 波 AM 区域在相图中延伸至 U=0——运动学 AFM 在无在位排斥时也可由键序诱导。
图 S2：唯象共存态中序参量期望值随空穴掺杂浓度 x 的变化。(a) dSB，(b) AFM，(c) dSC。手动引入两种序（强度 0.05），第三种序自然涌现。
S2 · 自旋方向角度效应
图 S3：(a) 共存态中 AFM、dSC、dSB 自旋方向示意图；(b) 相对于 Ω=1 的 d 波 AM 的变分能量，路径 (0,0,0)→(π/2,0,0)→(π/2,π/2,π/2)→(π/2,π/2,-π/2)→(0,0,0)；(c) X 点四个本征值随角度变化。
变分计算验证
固定序强度 (m=0.269, χ_dSC=0.083, χ_dSB=0.062)，扫描自旋方向角度，能量极小值在 Ω=1 处。
X 点下双重态劈裂 E_{-11}-E_{-1-1} 在 Ω=1 时达到最大 4V|χ_dSC+χ_dSB|=0.870。
空穴掺杂下 Ω=1 使一条下能带尽可能低于费米能 → 降低总能量 → 自发稳定。
电子掺杂下 Ω=-1 使上双重态劈裂最大 → 同样自发稳定（左旋手性）。
Eq. (S11): 自旋方向参数化——θ₁ 为 e_dSC 与 e_AFM 夹角，θ₂ 为 e_dSB 与 e_AFM 夹角，θ₃ 为 e_dSB 在 yz 平面投影与 y 轴夹角
X 点下双重态最大劈裂：4V|χ_dSC + χ_dSB| = 0.870
S3 · 额外 Hartree-Fock 平均场结果
图 S4：(a) 收敛态相对于 PM 的单位格点能量；(b) 对应的磁性和键序大小，作为最近邻库仑排斥 V 的函数。U=3t，空穴掺杂 x=0.08。
相变细节（图 S4）
V=0 时仅 AFM 收敛，m≈0.4μ_B。随 V 增加，AM 相涌现，AFM→AM 一级相变发生在 V≈0.215t。
能量交叉和序参量突变证实一级相变特征。随 V 继续增大，χ_dSC 逐渐增强，χ_dSB 几乎不变，m 逐渐被压制。
AM→dSC/dCC 一级相变发生在 V≈3t。综上所述，AFM-AM 和 AM-dSC 均为一级相变。
图 S5：(a) 有限次近邻跃迁 t'=0.1t 时，(U,V)=(3,1.5)t 下收敛态的能量-掺杂关系；(b) 6% 空穴掺杂下 AM（红色）和 AFM（黑色）的能带色散；(c) 6% 电子掺杂下 AFM 的能带色散。
有限次近邻跃迁 t' 的影响（图 S5）
引入 t'=0.1t 打破粒子-空穴对称性，但 d 波 AM 依然在宽广掺杂范围稳定。
半填充处的 AFM 绝缘体现在扩展到 -0.07<x<0 区域，但两侧仍被宽的="" am="" 区域包围。<="" span="">
有限 t' 下，X 点能级高于 N 点，因此引入极少量空穴即可使费米能截断 X 点下双重态 → 极小掺杂即可稳定 AM。
电子掺杂侧，费米能先截断 N 点上双重态（而非 X 点），因此需要约 7% 电子掺杂才能稳定 AM。
图 S6：(a) 包含 CDW 竞争的 t-U-V 模型相图，8% 空穴掺杂；(b) U=3t 时收敛态相对于 PM 的能量-V 关系；(c) (U,V)=(4,0.6)t 时 d 波 AM 的电子结构；(d) 对应的费米面。
CDW 与 AM 的竞争（图 S6）
引入 Hartree 项后，(π,π) CDW 在 V 足够大时成为基态（棕色区域），但中等 U 和较小 V 下 AM 仍稳定。
U=3t 时，CDW 在 V≈0.6t 出现，V>0.78t 成为基态；但 0.22<v<0.76 区间="" am="" 保持稳定。<="" span="">
U 增大压制 CDW → AM 区域扩大。(U,V)=(4,0.6)t 时 AM 的电子结构和费米面与主文图 1 高度相似。
序参量：m=0.507μ_B, χ_dSC=0.066, χ_dSB=0.064，手性 Ω=1。CDW 竞争不影响本文主要结论。
Eq. (S12): 包含 Hartree 项的平均场哈密顿量——第二行为新引入的 Hartree 贡献，用于描述 CDW 序
S4 · SU(2) 奴隶玻色子平均场结果
图 S7：SU(2) 奴隶玻色子方法的结果。(a) 8% 空穴掺杂下 t-U-V 模型相图，插图为基态 d 波 AM 的序参量自旋方向；(b) 相对于 PM 的单位格点能量；(c) 磁性和键序大小；(d) 基态手性 Ω 随掺杂 x 的变化。(U,V)=(4,1.5)t。
强耦合验证（图 S7）
采用 Kotliar-Ruckenstein SU(2) 奴隶玻色子方法非微扰处理 Hubbard U，验证弱耦合平均场结论。
相图在定性上与主文一致：大范围粉色区域为 d 波 AM，灰色为 PM，绿色为 AFM，青色为 dSC/dCC。
相边界仅有定量移动，不改变 d 波 AM 涌现的核心结论。
U 增大时，AM 区域扩大，与弱耦合趋势一致。
SU(2) 奴隶玻色子理论推导
物理电子算符 c_α 分解为旋量费米子 f_β 和玻色子 (e, d, p) 的乘积：c_α = Z_{αβ} f_β。
e: 空穴子 (holon)，d: 双占据子 (doublon)，p: 单占据态（以 2×2 矩阵表示，保持 SU(2) 自旋旋转不变性）。
Z 矩阵保证自旋旋转不变性和正确的非相互作用极限。
L = (1-d†d)σ₀ - p†p，R = (1-e†e)σ₀ - p̄†p̄，其中 σ₀ 为 2×2 单位矩阵。
p_{αβ} = (1/√2) Σ_{μ=0,x,y,z} p_μ σ^μ_{αβ}，p̄ = T p T⁻¹ 为时间反演变换。
Eq. (S13): SU(2) 奴隶玻色子表示——物理电子 c_α 分解为旋量费米子 f_β 和玻色子 (e,d,p) 的乘积
p 矩阵的 Pauli 矩阵展开：p_{αβ} = (1/√2) Σ_μ p_μ σ^μ_{αβ}
L 和 R 矩阵定义：确保自旋旋转不变性和正确的非相互作用极限
奴隶玻色子哈密顿量与约束
Eq. (S14): 有效哈密顿量——包含重整化跃迁、Hubbard 项、Lagrange 乘子约束和键序解耦。
Eq. (S15): Hilbert 空间完备性约束 Q̂_i = 0——确保每个格点上的物理态完备。
Eq. (S16): 费米子与玻色子表示的粒子数和自旋密度等价性约束 Q̂^μ_i = 0。
鞍点解对应所有玻色场凝聚，通过自洽最小化 ⟨H̃⟩ 确定其值。
Eq. (S14): SU(2) 奴隶玻色子有效哈密顿量——λ_i 和 λ^μ_i 为 Lagrange 乘子
Eq. (S15): Hilbert 空间完备性约束——玻色子占据数之和为 1
Eq. (S16): 密度等价性约束——确保费米子和玻色子表示给出相同的粒子数和自旋密度
掺杂演化（图 S7b-d）
半填充：完全带隙 AFM 绝缘体。引入空穴 → 费米能下移至 X 点下双重态 → dSC 和 dSB 发展 → d 波 AM。
x_c ≈ 0.127 处一级相变至 PM。手性 Ω 在空穴掺杂侧始终为 1。
由于弱耦合平均场高估了 U 的效应，此处使用 (U,V)=(4,1.5)t 替代主文的 (3,1.5)t 以便更好对比。
强耦合处理与弱耦合结论一致，表明本文发现在微扰和非微扰层次均成立。
七、总结与讨论
核心结论
1. 在单轨道扩展 Hubbard 模型 (t-U-V) 中，仅通过关联驱动的键序自发实现了 d 波交变磁性，无需晶体学各向异性或多轨道物理。
2. d 波 AM 由 AFM + d 波自旋键序 (dSB) + d 波自旋流序 (dSC) 三种序的共存实现，自旋方向相互垂直形成手性。
3. 电子能带沿 e_dSB 方向部分自旋极化——与之前报道的 AM（沿有序磁矩方向完全极化）截然不同。
4. 自旋劈裂可通过载流子掺杂反转：空穴侧 Ω=1，电子侧 Ω=-1，自旋电导率符号相反，可用于栅压调控自旋电子学器件。
展望与局限
平均场理论是变分近似，无法给出定量精确的基态判断。竞争涨落和超出平均场 ansatz 的序可能修改相图。
引入 Hartree 项后，CDW 在 V 较大时竞争 AM，但中等 V 下 AM 仍稳定。
t-U-V 模型适用于铜氧化物、过渡金属氧化物和硫族化物等广泛关联材料体系——AM 可能在掺杂 Mott-Hubbard 系统中普遍存在。
Sr₂IrO₄ 是候选材料：已有理论和实验证据支持 dSC 序的存在，建议进行自旋分辨 ARPES 测量以探测动量依赖自旋劈裂。
更精确的方法（如 DMFT、量子 Monte Carlo、泛函重整化群）对扩展 Hubbard 模型的进一步研究是必要的。
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