莫比乌斯反演优化版

 正常的莫比乌斯反演写出后，对应某些题目实践尽然还会被卡，证明还有优化得余地，面对这个反演函数我们能在哪做文章呢？？

求和？NO,莫比函数？NO,F(d)may be?

F(d)是我们最不费力的一个，特就是b/i,d/i（b,d是区间上限），但注意这是相除后去余的，所以你模拟一下，看一看 b      i       b / i        b / (b / i)

5      1         5               1

5       2        2                2

5      3         1                5

5      4         1               5

5      5         1               5

看看b / i项明显的就是重复了，如果把求和展开的化，我们都会有一个结合率的冲动把，但是这个结合的前提是，你得准备好mobi函数的前缀和，类似于分块的公共乘积优化

for(int i = 2;i < maxn;i++)
    {
        if(!mark[i]){pri[++tot] = i;mb[i] = -1;}
        for(int j = 1;j <= tot;j++)
        {
            int x = pri[j];
            if(x * i >= maxn)break;
            mark[i * x] = 1;
            if(i % x == 0){mb[i * x] = 0;break;}
            else mb[i * x] = -mb[i];
        }
        s[i] = s[i - 1] + mb[i];
    }

 

其实也就是在正常线性筛莫比乌斯反演的时候，用s数组记录一下前缀和

如何用这个结合呢，看看b / (b / i) 吧，这个会直接跳到最后一个能结合的下标，+1就是新的索引了~~ for(int i = 1;i <= a;i = last + 1)     {         last = min(a / (a / i),b / (b / i));         ret += (a / i) * (b / i) * (s[last] - s[i - 1]);     }

last就是代表的跳的位置，结合中i保留的是上一个last所以相减即可

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 5e4 + 5e2;
int mb[maxn];
int tot = 0;
int mark[maxn],s[maxn],pri[maxn];
void getmb()
{
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    mb[1] = 1;
    s[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;i++)
    {
        if(!mark[i]){pri[++tot] = i;mb[i] = -1;}
        for(int j = 1;j <= tot;j++)
        {
            int x = pri[j];
            if(x * i >= maxn)break;
            mark[i * x] = 1;
            if(i % x == 0){mb[i * x] = 0;break;}
            else mb[i * x] = -mb[i];
        }
        s[i] = s[i - 1] + mb[i];
    }


}
int getret(int a,int b)
{
    if(a > b)swap(a,b);
    int ret = 0,last;
    for(int i = 1;i <= a;i = last + 1)
    {
        last = min(a / (a / i),b / (b / i));
        ret += (a / i) * (b / i) * (s[last] - s[i - 1]);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int t,a,b,c,d,k;
    scanf("%d",&t);
    getmb();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        int ret = getret(b/k,d/k) - getret((a-1)/k,d/k) - getret(b/k,(c-1)/k) + getret((a-1)/k,(c-1)/k);
        printf("%d\n",ret);
    }
    return 0;
}