线性代数

向量的东西在 [[线性基.18540349]] 写过了，不再讲。

基向量：\(\hat{i},\hat{j},\hat{k},\cdots\)

一个向量可以由基向量通过线性组合表示。

\(\vec{a}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}+\cdots\)
则 \(\vec{a}\) 记作 \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\\ \vdots\end{bmatrix}\)
为了描述方便，讨论 \(2/3\) 维的情况。

向量加法 \(\vec{a}+\vec{b}\)，相当于把向量正交分解（高维的话就是向每个基向量的方向分解），然后在每个方向相加，最后拼起来。

\[\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d\\e\\f \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+d\\b+e\\c+f \end{bmatrix}\]

矩阵

\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{bmatrix}\) 可以认为是描述基向量的变换。矩阵可以被看做函数，接受一个向量而输出另一个向量。实际上就是将 \(\hat{i}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\) 移到 \(\begin{bmatrix}a\\ d\\ g\end{bmatrix}\)，\(\hat{j}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) 移到 \(\begin{bmatrix}b\\ e\\ h\end{bmatrix}\)，\(\hat{k}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\) 移到 \(\begin{bmatrix}c\\ f\\ i\end{bmatrix}\)……，最后得到的向量为在新的基向量下的向量。

\[\mathbf{A}\vec{a}=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}j\\ k\\ l\end{bmatrix}=j\begin{bmatrix}a\\ d\\ g\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}b\\ e\\ h\end{bmatrix}+l\begin{bmatrix}c\\ f\\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ja+kb+lc\\ jd+ke+lf\\ jg+kh+li\end{bmatrix} \]

矩阵乘法

\(\mathbf{AB}=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\ g&h\end{bmatrix}\)，其实你再在后面乘个基向量就一目了然了。就是 \(\mathbf{B},\mathbf{A}\) 依次作用在基向量上。这直接说明了矩阵乘法没有交换律，有结合律。

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\ g&h\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\ g&h\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\ g&h\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e\\ g\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f\\ h\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}ea+gb\\ ec+gd\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}fa+hb\\ fc+hd\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}ea+gb&fa+hb\\ ec+gd&fc+hd\end{bmatrix} \end{aligned}\]