微积分

导数

\(f'(x)/ \dfrac{df}{dx}(x)\) 函数的瞬时变化率（在 \(dx\) 内的变化量）。

记些结论就差不多了。

多项式：\(d(ax^k)=akx^{k-1}(a,k\neq 0)\)，其实由泰勒展开可知三角和指数函数都可以直接表示。

\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)
\(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\)
\(\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\sin x(\cos^{-2} x\sin x)+\cos x\cos^{-1}x=\tan^2 x+1\)
\(\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x\)

\(f(x)=a^x(a>0),\dfrac{df}{dx}(x)=\dfrac{a^{x+dx}-a^x}{dx}=a^x\dfrac{a^{dx}-1}{dx}=a^x \ln a\)

\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\)

复合函数：

• \(f(x)+g(x)\)：分别求导
• \(f(x)g(x)\)：左乘右导加右乘左导，即 \(f(x)\dfrac{dg}{dx}+g(x)\dfrac{df}{dx}\)，由面积推会清晰些
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• \(f(g(x))\)：链式法则，外导乘内导，即 \(\frac{df}{dg}(g(x))\frac{dg}{dx}g(x)\)
  ![[2025-01-12 20-36-26屏幕截图.png]]

隐函数求导

对于一个二维平面，类似于一个二元函数 \(f(x,y)\)。

从最基础的圆写起。

\(f(x,y)=C:x^2+y^2=5\)

设 \(M(x,y)\) 在 \(C\) 上，从 \(M(x,y)\) 分别进行一个微小位移到 \(M'(x+dx,y+dy)\)，则 \(f\) 在 \(M\) 处的切线斜率（导数）为 \(\dfrac{dy}{dx}\)，不仅如此还要求 \(M'\) 在 \(C\) 上。

假如把 \((x,y)\) 看做一个变量，则 \(f(X):x(X)+y(X)=5(x(X)=x_X^2,y(X)=y_X^2)\)，将 \(f\) 看做一个关于 \(X(x,y)\) 的函数，然后左右两边同时求导得

\[df=\dfrac{d(x(X)+y(X))}{dX}=\dfrac{2x(X)dx+2y(X)dy}{dX}=2x(X)\dfrac{dx}{dX}+2y(X)\dfrac{dy}{dX}=0 \]

写得漂亮一点

\[df=2xdx+2ydy=0 \]

\[\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x} \]

即要满足对于 \(f\)，变化量为 0。

总结一下就是方程左右两边分别求导，然后

来个更好的例子：求 \(y=f(x)=\ln x\) 的导数。

先变形为 \(e^y=x\)，对于这个方程两边同时求导

\[e^ydy=dx \]

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac{1}{x} \]

即 \(\ln x\) 的导数为 \(\dfrac{1}{x}\)。

高阶导数

\(f(x)\) 的 \(n\) 阶导表示为 \(\dfrac{d^nf}{dx^n}(x)\)，由 \(\dfrac{d\left(\dfrac{d(...)}{dx}\right)}{dx}\) 化简得来。

其实就是一直导。

泰勒级数

用多项式函数去近似超越函数（不能用有限项多项式表示），精度取决于项数以及近似中心的距离。

比如 \(\cos x\)。假设现在精度是二次，近似中心是 \(x=0\)。设其为 \(g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\)。

首先 \(\cos 0=1\)，所以 \(g(0)=a_0=1\)。

其次 \(\cos' 0=-\sin 0=0\)，所以 \(g'(0)=a_1+2a_2x=a_1=0\)

然后 \(\cos'' 0=-\cos 0=-1\)，所以 \(g''(0)=2a_2=-1\)

近似完可得 \(g(x)=1-\dfrac{1}{2}x^2\)。

对于一个多项式函数 \(h(x)=ax^n\)，其导至常数后的结果为 \(n!a\)，这也为阶乘的一种定义。

如此无限进行下去，可以得到 \(\cos x=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\cdots+(-1)^{2n}x^{2n}\)
以 0 为近似中心可以得到很多超越函数的多项式表达。

\(\sin x=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots+(-1)^{2n+1}x^{2n+1}\)
\(e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\cdots+(-1)^{n}x^{n}\)

特别地，\(\ln x\) 以 \(1\) 为中心，\(\ln x\) 在 \(x>2\) 的位置不能靠拢到某个确切的值，则称 \(\ln x\) 在 \(x>2\) 时发散。

一般地，若某函数 \(f\) 在某区间 \(C\) 上不发散，则任取一点 \(x=a\) 则有

\[g(x)=f(a)(x-a)^0+\dfrac{df}{dx}(a)(x-a)^1+\cdots+\dfrac{d^nf}{dx^n}(a)(x-a)^n \]

极限

\(\lim\limits_{x\to a}f(x)\)，表示 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的极限。一般来说 \(f\) 在 \(x=a\) 处没有定义。

极限的四则运算与实数一致。

如果上/下极限（从大减小到 \(a\) / 从小增加到 \(a\)）在 \(x=a\) 处同为常数 \(A\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的极限为 \(A\)，否则称在此没有极限。

导数可以由极限定义：

\[\frac{df}{dx}(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

反过来，\(f(x)\) 在 \(x=a\) 处的极限即为

比如求 \(f(x)=\dfrac{\sin(π x)}{x^2-1}\)，在 \(x=1/-1\) 处的极限，若有定义的话，我们可以直接代入计算，若没有定义怎么办呢？

洛必达法则

将上下两个函数拆分。

\(x=1\) 时对于 \(dx\)，\(\sin(\pi x)\) 变化量 \(d(\sin(\pi x))=\pi\cos(\pi x) dx=-\pi dx\)，可知 \(d(\sin(\pi x))\) 与 \(dx\) 成正比；\(x^2-1\) 变化量 \(=2x dx=2dx\)，可知 \(d(x^2-1)\) 与 \(dx\) 成正比。

所以有 \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sin(π x)}{x^2-1}=\dfrac{-\pi dx}{2dx}=-\dfrac{\pi}{2}\)

\(x=-1\) 同理。

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更一般地，对于任意函数 \(h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)，\(f(x),g(x)\) 在 \(x=a\) 时取值都为 0，且在 \(x=a\) 处可导，则 \(\lim\limits_{x\to a}h(x)=\frac{\frac{df}{dx}(a)dx}{\frac{dg}{dx}(a)dx}=\frac{\frac{df}{dx}(a)}{\frac{dg}{dx}(a)}\)。

![[Pasted image 20250112200120.png]]

积分

\(\int_{a}^{b} f(x)dx\) 形象来说就是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上与 \(x\) 轴围成的有符号面积。

这个值为 \(F(b)-F(a)\)，其中 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的原函数，即 \(f(x)\) 是 \(F(x)\) 的导函数；

由于对于任意 \(x\)，\(dF(x)=f(x)dx\)，所以 \(\dfrac{dF}{dx}(x)=f(x)\)。
![[Pasted image 20250113144713.png]]
微积分基本定理：

\[\boxed{\int^{b}_{a}f(x)dx=F(b)-F(a)} \]

显然 \(F(x)+C\) 都是原函数。但由于是差分，所以 \(C\) 无影响。

这个 \(C\) 可以钦定为 \(\int_{a}^{a} f(x)dx=f(a)\)，方便。

对于 \(f(x)\) 区间 \([a,b]\) 的函数值平均值等于 \(\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}\)。