「LibreOJ β Round #4」求和

「LibreOJ β Round #4」求和

易得所求式为

\[\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d|T}μ^2(d)μ(\frac{T}{d}) \]

我们有如下结论

\[\sum_{d|n}μ^2(d)μ(\frac{n}{d})=μ(\sqrt{n})[\sqrt{n} \in \textbf{N}] \]

证明：

显然只需考虑\(n\)的所有质因子的次数小于等于\(2\)的情况。

不妨设\(n=p^2q(p \perp q)\)

则

\[\begin{align*} \sum_{d|n}\mu^2(d)\mu(\frac{n}{d}) &= \sum_{d|q}\mu^2(dp)\mu(\frac{pq}{d})\\ &= \sum_{d|q}\mu^2(d) \mu^2(p) \mu(\frac{q}{d}) \mu(p) \\ &= \mu(p) \sum_{d|q} \mu(d) \\ &= \mu(p) [q=1] \\ &= \mu(\sqrt{n}) [\sqrt{n} \in \textbf{N}] \end{align*} \]

于是，直接整除分块即可