【LeetCode动态规划#06】01背包问题一维写法（状态压缩）实战（分割等和子集、最后一块石头的重量II）
分割等和子集
分割等和子集
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11]
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
提示：
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100
思路
题意分析
题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和，就算是可以分割成两个相同元素和子集了。
例如示例1：
输入元素总和是22，要分成两个元素和相等的子集，那这两个子集各自之和肯定都是11，即sum / 2
解题方法
既然这题出现在dp章节了，那肯定就是用dp来做了
但是，如果第一次遇见，应该怎么确定适用dp来解呢？可以先尝试分析一下题目，看看能不能把题目往这边靠
比如，这题中，每个构成子集的元素只能使用一次（关键点1）
这个描述可以联想到01背包问题，那就尝试去抽象一下：
本题可以转换为一个01背包问题，目标是给定一个数组，用数组中的元素去填满一个容量为 sum / 2 的背包（如果能填满的话，就找到了题目要求的子集）
还不够，还要继续确定什么是物品（物品重量），什么是价值
显然，能够作为物品的只有数组里的元素了，那么物品的重量就是元素数值，物品的价值也是元素数值
现在就把01背包问题套进来了，当前问题的条件如下：
- 背包的体积是 sum / 2
- 要放入背包的物品是数组元素，其重量为元素数值，重量也为元素数值
- 背包中每个元素不可重复使用
- 如果背包正好装满，那么说明找到了总和为 sum / 2 的子集（有一种就行，不用最优）
ok，现在可以五部曲去分析了
五步走
以一维01背包问题为模板来解题，详见
1、确定dp数组含义
回顾一下分析一维数组的背包问题时，dp[j]的定义：在容量为j时，背包能装下的物品的最大价值
根据上面的分析，本题中物品重量是数组元素数值，物品价值还是数组元素数值
那上面的定义可以改为：背包总容量是j，放入物品后，背包的最大重量为dp[j]
即本题dp数组的含义
举个例子，假设背包容量为target，那么dp[target]就是背包装满时的重量
当dp[target] = target，背包就装满了，此时变找到了题解子集
这里会出现一种情况：在所给的背包容量下，没有物品能装满
什么意思？举个例子，输入是数组 [1, 5, 11, 5]，target是7
那么，当dp[7]的时候，背包只能放1、5，总价为6，没放满，显然这不是我们需要的结果（不满足dp数组定义），不过好在我们是倒序遍历，在之后的遍历中，dp[6] = 6，满足dp定义，并且我们也找到了一个满足条件的子集[1,5]
2、确定递推公式
其实可以直接套用一维dp数组背包问题的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - wight[i]] + value[i])
本题中，物品重量和价值都是数组元素，所以可以改成：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
其含义是：
不放入物品时，容量为j的背包最大的价值是dp[j];
放入物品时，容量为j - nums[i]的背包所背的最大价值是dp[j - nums[i]];
3、确定如何初始化
还是参考一维背包问题，当背包容量为0，也就是dp[0]时，里面不可能装东西
因此，dp[0] = 0;
其他部分全部初始化为0（因为题目说了数组元素全是正数），目的是为了防止倒序遍历过程中，上一层的值与当前值叠加（详见：一维dp数组如何初始化）
又因为题目给了：每个数组元素不会超过100，数组本身的大小不会超过200，且元素总和不会超过20000
那么创建dp数组时只需要取一半的大小即可
vector<int> dp(10001, 0);
4、确定遍历顺序
都套一维dp数组的背包问题了，肯定是倒序遍历
原因详见：为什么要倒序遍历？
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍历物品
for(int j = target; j > 0; --j){//遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
代码
根据上面的分析可写出一下代码
步骤：
1、求数组的总和，用于求背包容量target
2、判断当前总和sum是否为偶数，不为偶数就直接返回false
3、根据题目提示定义dp数组，同时进行初始化
4、倒序遍历dp数组，先遍历物品，再遍历背包容量，计算dp[j]
5、判断dp[target] 是否等于 target
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
//求背包容量，也就是target
//先定义一个sum用于求数组总和
int sum = 0;
for(auto num : nums) sum += num;
//如果sum值不能均分(不是偶数)，那么一定无法分为两个和相等的子集，直接返回false
if(sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
//定义dp数组,同时初始化
vector<int> dp(10001, 0);
// //初始化dp数组
// dp[0] = 0;
//遍历dp数组（注意是倒序遍历）
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍历物品
// 如果当前背包容量小于物品重量，换一个物品继续遍历容量
// 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
for(int j = target; j >= nums[i]; --j){//遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
//判断是否满足题意条件
if(dp[target] == target) return true;
return false;
}
};
二刷问题
1、第二层for循环中的条件需要重新理解一下，也就是遍历背包容量的过程需要重新梳理一下
//遍历dp数组（注意是倒序遍历）
for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){//遍历物品
//第一层for只是用来从nums中取物品，这个取的顺序可以是正序的
//第二层for开始倒序遍历背包，j为当前遍历到的背包容量
//如果背包容量大于根据i取出的物品容量，那么可以继续放入，否则遍历结束
for(int j = target; j >= nums[i]; --j){//遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
要记住，我们已经将背包降维，使用两层for的原因不是遍历两个维度，内层循环的遍历是核心
2、dp[target] == target条件有点不理解了
虽然"背包问题"里面有个"背包"，但实际上"背包"本身是没有"重量"的
再来看一下dp数组的含义：背包总容量是j，放入物品后，背包的最大重量为dp[j]
dp[target]表示：背包总容量是target，放入物品后，背包的最大重量为dp[target]
换种说法就是，当背包总容量是target时，那么该背包装满的最大重量就是dp[target]
也就是说，在数值上，如果dp[target] == target，代表背包装满了。
最后一块石头的重量II
题目难度：中等
有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例：
- 输入：[2,7,4,1,8,1]
- 输出：1
解释：
- 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
- 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
- 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
- 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
提示：
- 1 <= stones.length <= 30
- 1 <= stones[i] <= 1000
思路
给了一个石头数组stones，要求我们从中两两选取石头相撞（作差），最后只能剩下一块石头，如何使得这块石头的重量最小
由常识可知，如果要两数之差更小，那么这两个数就要越接近越好。解决该问题的一个直观思路是，把所有值相近的石头两两用来相撞（作差）
注意，这里不对选取顺序做要求
因此问题转换为：我们可以先把石头分成两堆，这两堆石头的重量总和尽量接近，然后以"堆"为单位进行作差，得到"最小的可能重量"
这里就可以套01背包了，选择其中一个“堆”看做背包，往里面放石头即可
怎么确定背包的容量呢？计算出石头的总重量sum，然后除以2即可
注意，除2是向下取整
和 分割等和子集 类似，这里放入背包的物品的重量和价值都是数组中元素本身的值
可见，很多时候，背包问题中，所放物品不一定都有价值，所谓价值和重量更多的是一种比喻，可以根据题目的具体情况进行替换
套入01背包问题后，当前问题的条件如下：
- 背包的容量是 sum / 2
- 要放入背包的物品是石头数组stones中的元素，其重量和价值均为元素数值
- 背包中元素不可重复使用
- 若背包正好装满，则表明石头数组stones被尽可能均分为两个部分，此时可以进行作差找出"最小的可能重量"
五步走
1、确定dp数组含义
老规矩，回忆一下一维01背包的dp含义：dp[j],在容量为j时，背包能装下的物品的最大价值
假设target为求得的背包容量，那么本题dp数组的含义就是：dp[j]是在容量为j时背包能装下的物品的最大价值
2、确定递推公式
一维01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
这里可以直接套用（不明白的详见：分割等和子集）
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
3、初始化dp数组
当背包容量j为0时，此时无法放入任何东西
因此，dp[0]需要初始化为0，即 dp[0] = 0
其余部分初始化为0
原因是我们需要从后向前遍历，因此为了不让初始值覆盖递归累加得到的结果，初始值要设为0（还是详见之前的博客）
4、确定遍历顺序
从后向前遍历
代码
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
//求出总重量
int sum = 0;
for(auto stone : stones) sum += stone;
int target = sum / 2;//求出背包容量大小，注意是向下取整
//初始化dp数组
vector<int> dp(1501, 0);//因为dp[0] = 0，所以一块初始化了
//遍历dp数组（注意是倒序遍历）
//第一层for循环用于遍历物品，第二层for循环则是尝试将物品放入不同容量下的背包（遍历背包）
for(int i = 0; i < stones.size(); ++i){//遍历物品
for(int j = target; j >= stones[i]; --j){//遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
//dp数组遍历完成，此时dp[target]就是容量为target的背包所能装下的最大重量
//石头被分为两堆，一堆重量是dp[target]，另一堆是sum - dp[target]
//又因为target是由sum除以2向下取整得到的，所以sum - dp[target]一定大于等于dp[target]（差值就是被取整抹掉的那些部分）
//所以相撞之后剩下的是两堆石头总和的差值
return (sum - dp[target]) - dp[target];
}
};
二刷问题
为什么在创建dp数组时，其大小设置为1501？
设置为1501的原因是为了满足题目中给出的石头重量的范围（1 <= stones[i] <= 1000）和背包容量的要求（1 <= stones.length <= 30）
因为石头重量的范围是1到1000，而背包容量是石头总重量的一半，所以最大的石头总重量是1000 * 30 = 3000，其一半是1500。为了提供一定的缓冲空间，将数组大小设置为1501，以确保能够覆盖到所有可能的重量和容量。
