Manacher 学习笔记

Manacher是一个求出一个字符串中所有回文子串的利器。

记录方法

首先我们发现一个问题，一个长为 \(S\) 的字符串一共有 \(S^2\) 个子串，所以记录回文子串时不可能记录左右端点。如何解决呢？根据回文串的特点，我们发现，一个回文串，将它的两端各删去一个字符，那么它还是一个回文串。所以我们可以记录下每一个回文串的中心点以及回文串的“半径” \(a_i\) ，这样记录的问题解决了，接下来就到如何快速求解了。

过程

在Manacher中，我们需要维护一个 \(l\) 和 \(r\) ，表示当前右端点最靠右的回文串是哪个。设当前枚举到的中心点为 \(i\) ，之前的所有点的 \(a\) 已计算完毕，分两种情况讨论：

\(i>r\)

此时我们不能从前面计算到的数据求出当前点的 \(a_i\) ，只能暴力扩展半径到不能再扩展为止。

\(i\le r\)

此时我们可以从当前的这个回文串中找到 \(i\) 的对应点 \(j=l+(r-i)\) ，之后我们在大部分情况下可以将 \(a_j\) 赋值 \(a_i\)。但是考虑到可能 \(j-a_j\) 比 \(l\) 小，不能保证 \(r\) ~ \(i+a_i\) 和 \(l\) ~ \(j-a_j\) （这个是倒过来的）相同，所以在赋值时将 \(a_j\) 与 \(r-i\) 取 \(min\) ，之后再暴力扩展。

计算完一个点的 \(a\) 后，要记得更新 \(l\) 和 \(r\)。

初始值可以设为 \(l=0,r=-1\) 。

技巧

等等，上面讲的好像是只能算奇数长度的回文子串，那偶数的怎么办？

其实用上面的方法再推一推就可以找到计算偶数的方法了。但是有另一个技巧，可以在原字符串中，每两个字符中间插入一个不在原字符集中的字符（例如‘#’），这样就可以一遍算出所有的回文子串。

如果怕在枚举时边界不好控制，也可以在字符串两端加不一样的特殊字符。

Code

#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1.1e7+10;
char ch[N*2];int a[N*2];
int max(int x,int y)
{
	if(x>y)
	return x;
	return y;
}
int min(int x,int y)
{
	if(x<y)
	return x;
	return y;
}
int main()
{
	int i,n,l=0,r=-1,ans=0;
	scanf("%s",ch);
	n=strlen(ch);
	for(i=n;i>=1;i--)
	ch[i*2]=ch[i-1];
	for(i=1;i<=n*2+1;i+=2)
	ch[i]='#';
	ch[0]='!';ch[n*2+2]='@';
	for(i=1;i<=2*n+1;i++)
	{
		if(i<=r)
		a[i]=min(r-i,a[l+r-i]);
		while(ch[i-a[i]-1]==ch[i+a[i]+1])
		a[i]++;
		if(r<a[i]+i)
		{
			r=a[i]+i;l=i-a[i];
		}
		ans=max(ans,a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
}