第五章作业

1. 回溯法分析“最小重量机器设计问题”

1.1 解空间

解空间是指所有可能解的集合。
在这个问题中，每个部件 i可以从 m个供应商中选择一个，因此一个解是一个长度为 n的序列(s1​,s2,…,sn)
其中 si∈{1,2,…,m}表示第 i个部件选择的供应商编号。

解空间的大小为 m的n次方。合法解是满足总价格不超过预算 d的那些解。最优解是合法解中总重量最小的解。

1.2 解空间树

解空间树是一棵高度为 n+1的 m叉树（从根到叶节点路径长度为 n）：

• 根结点（第 0 层）：尚未选择任何部件的供应商。
• 第 t层结点（0≤t≤n）：表示已经对前 t个部件选择了供应商，正在决定第 t+1个部件的供应商。
• 叶子结点（第 n层）：表示一个完整的选择方案。

每个非叶子结点有 m个子结点，分别对应选择下一个部件的 m个供应商。

1.3 每个结点的状态值

在遍历解空间树时，每个结点（对应递归的某一层）的状态值包括：

• 当前总价格​ cur_cost：已选部件的价格总和。
• 当前总重量​ cur_weight：已选部件的重量总和。
• 当前部分解​ cur_supplier[0..t-1]：已选部件的供应商编号序列。
• 当前层数 t：递归深度，表示正在选择第 t个部件的供应商（从 0 开始编号）。

这些状态值用于：

• 判断是否继续向下搜索（剪枝）。
• 到达叶子结点时判断是否更新最优解。

2. 回溯算法的理解

回溯法是一种系统性搜索问题的解空间的方法，适用于组合优化问题。假设走进一个迷宫，遇到岔路就选一条走，边走边记下路线。如果走到死胡同，就退回上一个岔路口，换条路再试。如果发现当前路线已经比已知的最近路线还长，就立刻放弃这条路，不再浪费时间走到底。这样系统地尝试所有可能路径，最终一定能找到最优路线，而且比盲目乱找要高效得多。

简单地说，就是深度优先地尝试所有可能，遇到失败就回头，发现没希望就提前放弃。