第二周作业

一、分治算法找第 k 小元素的描述（自然语言 + 伪代码）

该算法基于分治法思想，核心是通过 "分区" 操作将问题规模缩小，步骤如下：

1. 从数组中选一个基准值（如最左侧元素），将数组分为两部分，即左半部分元素≤基准值，右半部分元素≥基准值，基准值位于最终位置pivotPos。

2.计算基准值在当前子数组中的排名currentRank（即左半部分元素个数，pivotPos - left + 1）。

3.分情况：

• 若currentRank == k，基准值就是第 k 小元素，直接返回。
• 若currentRank > k，第 k 小元素在左半部分，递归处理左子数组。
• 若currentRank < k，第 k 小元素在右半部分，递归处理右子数组（此时 k 需减去左半部分元素个数）。

function findKthSmallest(a, left, right, k):
    if left == right:
        return a[left]  // 子数组只有一个元素，即为目标
    
    pivotPos = partition(a, left, right)  // 分区并返回基准值位置
    currentRank = pivotPos - left + 1     // 基准值在当前子数组的排名
    
    if currentRank == k:
        return a[pivotPos]
    else if currentRank > k:
        return findKthSmallest(a, left, pivotPos-1, k)  // 左子数组找第k小
    else:
        return findKthSmallest(a, pivotPos+1, right, k - currentRank)  // 右子数组找第k-currentRank小

二、时间复杂度分析

最好时间复杂度：O (n)

每次分区操作能将数组均匀分为两部分（基准值恰好是当前子数组的中间元素）。第一次分区处理 n 个元素，第二次处理 n/2 个，第三次 n/4 个…… 总操作次数为n + n/2 + n/4 + ... + 1 ≈ 2n，因此时间复杂度为 O (n)。

最坏时间复杂度：O (n²)

每次分区后基准值是当前子数组的最大 / 最小元素（如数组已排序，选最左侧元素为基准）。第一次分区处理 n 个元素，第二次 n-1 个，第三次 n-2 个…… 总操作次数为n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2，因此时间复杂度为 O (n²)。

三、对分治法的体会和思考

总之，分治法的价值在于将复杂问题简单化，通过聚焦核心目标减少计算量，是算法设计中极具普适性的思想，也是理解更复杂算法（如动态规划）的基础。