求树的最大独立集，最小点覆盖，最小支配集 贪心and树形dp

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求树的最大独立集，最小点覆盖，最小支配集

目录

• 求树的最大独立集，最小点覆盖，最小支配集
  • 三个定义
  • 贪心解法
    • 树的最大独立集：
    • 树的最小点覆盖：
    • 树的最小支配集：
  • 树形DP解法
    • 树的最大独立集：
    • 树的最小点覆盖：
    • 树的最小支配集：

三个定义

最大独立集：

 对一个图选出尽量多的点组成一个集合，满足这些点之间没有边相连。所有独立集中，顶点数最多的称作最大独立集。

最小点覆盖：

 对一个图选出尽量少的点组成一个集合，满足图中所有的边均有端点属于这个集合。所有覆盖集中，顶点数最少的称作最小点覆盖。

最小支配集：

 对一个图选出尽量少的点组成一个集合，满足图中剩余的点都和集合中的点有边相连。从集合中出去任何一个点之后若不再是支配集，则此支配集是极小支配集。所有支配集中，顶点数最少的称作最小支配集。

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贪心解法

树的最大独立集：

 先求一遍dfs序，倒序遍历。若此节点未被标记，则将此端点加入独立集，并标记此节点和其父节点。

树的最小点覆盖：

 先求一遍dfs序，倒序遍历。若此节点及其父节点均未被标记，则将其父节点加入覆盖集，并标记此节点及其父节点。

树的最小支配集：

 先求一遍dfs序，倒序遍历。若此节点未被标记，把其父节点加入支配集(前提是它不在支配集中)，然后标记此节点，父节点及其爷爷节点。

树形DP解法

树的最大独立集：

\(dp[i][0]\)表示点i在独立集中；\(dp[i][1]\)表示点i不在独立集中

\[dp[u][0] = 1 + \sum dp[v][1];\\ dp[u][1] = \sum max(dp[v][0], dp[v][1]); \]

树的最小点覆盖：

\(dp[i][0]\)表示点i在点覆盖集中；\(dp[i][1]\)表示点i不在点覆盖集中

\[dp[u][0] = 1 + \sum min(dp[v][0], dp[v][1]);\\ dp[u][1] = \sum dp[v][0]; \]

树的最小支配集：

\(dp[i][0]\)表示点i属于支配集,并且以点i为根的子树都被覆盖了的情况下支配集中所包含最少点的个数

\(dp[i][1]\)表示点i不属于支配集合,且以i为根的子树都被覆盖,且i被其中不少于一个子节点覆盖的情况下支配集所包含最少点的个数

\(dp[i][2]\)表示点i不属于支配集合,且以i为根的子树都被覆盖,且i没被子节点覆盖的情况下支配集中所包含最少点的个数.即i将被父节点覆盖

\[dp[u][0] = 1 + \sum min(dp[v][0],dp[v][1],dp[v][2]);\\ dp[u][2] = \sum dp[v][1];dp[u][2]=min(dp[u][2],INF);\\ if(dp[v][0]<=dp[v][1]) inc = 0;(if\;0\;always\;0)\\ else\;inc = min(inc, dp[v][0]-dp[v][1]);\\ if(u\;no\;son)dp[u][1] = INF;\\ else\; dp[u][1] = \sum min(dp[v][0],dp[v][1])+inc; \]

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参考博文：Ash-ly