洛谷博客杂题 #1

P5979 [PA2014] Druzyny

考虑 \(\max\) 根笛卡尔树上启发式合并。

我们知道方程是

\[f_i = \underset{\underset{k \in [j, i]}\max a_k \leq i - j \leq \underset{k \in [j, i]}\min{b_k} }\max f_j + 1 \]

然后我们知道 \(\min\) 是方便维护的，可以使用两遍扫描线求出 \(i\) 在左边还是右边的情况。

考虑这个东西既然跨过了笛卡尔树的根节点，那么就可以算出另一端的贡献区间。

然后就是经典的对另一端区间取 \(\max\)，并加方案数。这个可以线段树维护。

Uoj#637. 【美团杯2021】A. 数据结构

考虑正难则反。

然后就相当于求有多少个颜色不出现在 \([l, r]\) 里面。相当于 \(\forall ocur_c \in [l, r], \forall ocur_{c - 1} \not\in [l, r]\)。

这个就是小清新扫描线了。

手玩若干年发现，当一个颜色不合法当且仅当 \(l \in (pre_{c_i - 1}, st_{c_i}]\)，然而相反的，如果没有 \(c_i\) 但是有 \(c_{i} - 1\)，还得加上这个颜色。

总之就是很有趣。

不难使用树状数组维护。

「JOISC2019」 两个天线

我的做法好笨。

考虑绝对值拆掉，然后对于两种情况取个 \(\max\)。

考虑用 \(inf\) 来描述有几个可以配对的端点。

然后我们考虑前面的一个 \(j\)，我们右端扫描线，并用线段树维护左端点，然后就是经典的一加一删。

然后我们对于右端点的东西直接使用历史最大值，感觉有点大炮轰蚊子.jpg。

似乎是最劣的 \(O(n \log n)\) ，好像还跑不过 \(O(n \log^2 n)\) 的线段树分治。

CF1028F

2900？1900！！

考虑定义就知道要到 \((0, 0)\) 的距离相同，然后这个又是格点，所以对于定长的点对个数很少。

最多大概只有 \(V = 144\) 个？好像是的。

然后我们插入删除直接模拟，枚举距离相同的点，只需要求出对应的斜率即可。

具体来说我们考虑两个点对的中点就在那条对称轴上，也就是说我们对 \((x_1 + x_2, y_1 + y_2)\) 的极角来维护就好了。

实现使用了 map 套 set。

时间复杂度大概是 \(O(Vq \log n)\) 属于是比较 dirty work 了。

实际上远远跑不满。

CF639F Bear and Chemistry

考虑对于原来的无向图缩一个边双，然后就相当于边双之间连边，在新图上询问那些原来的标记的边双是否在一个边双里面。

但是暴力边双连边会爆，所以就是很平凡的虚树，我们对于这些边双建虚树，让后再连边，再跑边双就可以了。

复杂度 \(O(\sum |V|\log |V| + \sum |E|)\)。

sub：#243907390

P8528 [Ynoi2003] 铃原露露

感觉是 P7880 和 CF997E 拼起来。

因为太像前者了，所以我们先做一边 P7880 的支配点对的理论，发现到了这个题里面变成了：

在右端点扫描线的情况下扫到了一组新的点对，对于点对 \((x, y, z)\) 我们钦定 \(a_x < a_y\) 分类讨论 \(a_z\) 有：

• \(a_z < a_z < a_y\) ：ban 掉 \((a_z, a_x]\) 为左端点的区间

• \(a_x < a_z < a_y\)：没有任何影响

• \(a_x < a_y < a_z\) ：扫到 \(a_y\) 的时候 ban 掉 \([1, x]\) ，扫到 \(a_z\) 取消这个限制。

但是点对个数还是太多？？我们发现对于 \([l, r] \subseteq [l', r']\) 的限制，显然后置更优，所以我们对于 \(x\) 就是要求距离更小的 \(y\)，就转为 P7880 的前驱后继。

具体来说就是树上启发式合并，对于一定的 LCA，对于每个 \(x\) 求出其前驱后继即可。

我们用 CF1044F 中经典的区间 \(+1\) 来描述 ban 的这一个限制，所以转化为右端点扫描线、区间加、区间历史 0 的个数。

然后根据 tirck 的直觉反射，发现 \(0\) 只会是最小值，再按照 CF997E 的经典维护历史最小值个数就好了。

时间复杂度 \(O(n\log_2^2 n)\)，代码算是写的最抽象的一个。