GF 和 群论

以前稍微看过一点 GF，大受震撼。无语住了，看错题了，知耻而后勇。

OGF

形如 $$f(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_ix^i$$

\(\frac{1}{(1- x) ^ m}\) 貌似可以直接用多项式定理。但是有 \((1 - x)^{-m}\) 二项式定理即可。

用插板法可得 \(\tbinom{n + m - 1}{n}\)

拯救世界

SE 宝拯救世界！

\(\frac{1}{1 - x^6} \times \frac{1 - x^10}{1 - x} \times \frac{1 - x^6}{1 - x} \times ...\)

全部乘起来得到 \(\frac{1}{(1 - x) ^ 5}\)。

用广义二项式定理，然后用 NTT 优化高精度即可。

EGF

形如 $$f(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}$$

观察 \(a_i\) 是提出来的，那么这个就是代表着排列。
考虑两个 EGF \(f(x), g(x)\) 卷起来有 ：

\[h_n = \sum_{i = 0}^n f_ig_{n - i} \tbinom{n}{i} \]

本质上只是拼了两个序列，选出了一些位置，但是用 EGF 全部卷起来确实比 OGF 好用。

可以考虑直接 EGF 暴力乘起来就是对的，别再用你那傻缺 OGF 了/fn

完蛋，成 retard 了，实力倒退三年。

\[f(x) = xf(x) + x^2f(x) + x \]

\[f(x) = \frac{x}{1 - x - x^2} \]

巧克力

貌似要写巨大长式子，畏难了。

群论

畏难了。

杂题。

不能再畏难了！！/fn/fn/fn
P4389 付公主的背包
考虑这样 $$\prod \frac{1}{1 - x^v}$$。
Trick：

\[\ln (1 - x^v) = -\sum_{i = 1} \frac{x^{vi}}{i} \]

考虑求导。

\[(\ln (1 - x^v))' \to \frac{-vx^{v - 1}}{1 - x^v} \to \sum v x^{v - 1 + vi} \]

对右式求积分即可。

\[\int \sum v x ^ {v - 1 + vi} \to \sum \frac{x ^ {v + vi}}{v + vi} \to \sum_{i = 1} \frac{x^{vi}}{i} \]

直接把系数塞进去再加上多项式 exp 即可。

P4841 [集训队作业2013] 城市规划

我只会贺。

考虑围绕 \(1\) 这个点来构造连通图，这个是 lyd 教过的。所以我们考虑围绕 \(1\) 点的连通块。

\(f_n\) 表示包含 \(1\) 点的大小为 \(n\) 的连通块个数，\(g_n\) 则为普通无向图个数，显然有：

\[f_n = g_n - \sum^{n - 1}_{k = 1} \binom{n - 1}{k - 1} f_k g_{n - k} \]

考虑我们要求 \(f_n\) 我们可以直接转换角度，移项。

\[g_n = \sum_{k = 0} \binom{n - 1}{k - 1}f_k g_{n - k} \]

然后我们展开那个组合数。

\[\frac{g_n}{(n - 1)!} = \sum^{n}_{k = 1} \frac{f_k}{(k - 1)!} \frac{g_{n - k}}{{(n - k)}!} \]

显然就是 \(\frac{g_n}{(n - 1)!} \cdot \frac{g_n}{n!} ^ {-1}\)。