字符串

\(KMP\)

\(KMP\)是单模式匹配算法，在文本串中查找单个模式串。时间复杂度为\(O(m+n)\)，空间复杂度为\(O(n)\)。

模式匹配是指在长度为\(n\)的文本串\(S\)中查找某个长度\(m\)的模式串\(P\)。

朴素的模式匹配算法

考虑暴力匹配，\(i\)指针扫描\(S\)，\(j\)指针扫描\(P\)。每次从\(S\)的\(i\)处开始，和\(P\)逐个比较，发现失配则\(i++\)，重新与\(P\)匹配。暴力法的时间复杂度很不稳定，当\(S\)和\(P\)差别很大时，往往在第一个位置就失配，复杂度近似\(O(n)\)。但是如果每次都匹配到前\(m-1\)个字符，才发现失配，那么复杂度最坏\(O(nm)\)。

\(KMP\)算法思想

我们发现暴力法的缺点是，不管情况如何，只要失配那么\(i\)就会回溯到原位置再加一，这导致了很多多余的计算。\(KMP\)的优化的关键就是避免\(i\)的回溯，并使用了\(nxt\)数组。

我们考虑不同的失配情况：

\(1.\)

\(P\)在失配点之前的字符均不相同，此时失配，发现直接将\(P\)滑到最后失配处，即\(i\)不回溯，\(j=0\)从头匹配。

\(2.\)

\(P\)在失配点之前有字符相同，我们再细分为两种情况：

\((1)\)

相同的部分是\(P\)的前缀和后缀，那么同样当前在\(S\)匹配的一段，我们记为\(T\)，\(T\)的前缀和后缀也相同，且\(S\)与\(T\)的四段序列都相同。我们此时将\(P\)滑动到\(T\)的后缀，使\(P\)的前缀与\(T\)的后缀重合，再在此前缀后匹配。即\(i\)不回溯，\(j\)到前缀的后一个位置。

\((2)\)

相同的部分不是\(P\)的前缀和后缀，这意味着不可能再从前面中间开始匹配。即\(i\)不变，\(j\)回溯到\(0\)。

现在我们只需要快速判断\(P\)当前匹配的部分\(T\)的前缀后缀是否相等了，这就需要\(nxt\)数组。

最长公共前后缀和\(nxt\)数组

\(nxt[j]\)表示前\(j\)个字符，前缀和后缀的最长交集的长度，把这个最长交集称为最长公共前后缀\((LPS\ Longest\ proper\ Prefix\ which\ is\ also\ Suffix)\)。

可以\(O(m)\)递推出\(nxt\)数组，假设已经求出\(nxt[i]\)，我们再向后匹配一个字符。前缀用\(j\)扫描，后缀用\(i\)扫描，我习惯字符串的下标从\(1\)开始，此时\(i+1,j=nxt[i]+1\)。

如果\(p[i+1]=p[j]\)，那么\(nxt[i+1]=nxt[i]+1\)。

如果\(p[i+1]\neq p[j]\)，那么我们要缩短交集的长度，令\(j'=nxt[j-1]+1\)，这使得前后缀的交集长度缩短，再比较\(p[i+1]\)和\(p[j']\)，重复上述过程，直到\(p[i+1]=p[j']\)，此时\(nxt[i+1]=nxt[j']+1\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s1[1000005],s2[1000005];
int nxt[1000005];
int n,m,j;
int main(){
	scanf("%s",s1+1);
	scanf("%s",s2+1);
	n=strlen(s1+1);
	m=strlen(s2+1);
	for(int i=2,j=0;i<=m;i++){//求模式串的nxt数组
		j=nxt[i-1];
		while(j>0&&s2[j+1]!=s2[i]) j=nxt[j];//当前无法扩展，缩小交集范围
		if(s2[j+1]==s2[i]) nxt[i]=j+1;
	}
    int j=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        while(j&&s1[i]!=s2[j+1]){//已经匹配了j位，现在匹配j+1位，如果失配就将j回溯
            j=nxt[j];
        }
        if(s1[i]==s2[j+1]) j++;//j+1位匹配成功
        if(j==m){
            cout<<i-m+1<<endl;
        }
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		printf("%d ",nxt[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}

字典树

在\(n\)个字符串中查找某个字符串，暴力匹配的复杂度为\(O(nm)\)，但是考虑查字典的过程，我们查一个单词最多只要单词长度次数，字典树\(Trie\)就是模拟这个过程的数据结构。字典树是多叉树，英文的字典树是\(26\)叉的，数字的字典树是\(10\)叉的。字典树是很多其他算法和数据结构的基础，回文树，\(AC\)自动机，后缀自动机都建立在字典树上。

建立字典树

字典树一般可以如下建立：

struct trie{
 	<Type> data;
    bool isend; //是否是单词结尾
    trie *children[size]; //指向多个子节点，可能有很多空指针
}

字典树常见应用：

\((1)\) 字符串检索。可以检索、查询字符串。

\((2)\) 统计一个单词出现的次数

\((3)\) 字典序排序。插入时，在平级按字典序顺序插入，建好树后按先序遍历就得到字典序排序。

\((4)\) 前缀匹配。字典树一个节点后的节点都具有共同前缀，是按着公共前缀建树的，可以搜索相同前缀。

实现