A*学习笔记

发现尼姑上没有太多 A* 学习笔记，来一发。

算法简介

A* 又称启发式搜索，能够解决带权有向图上的最短路问题。具体的，给出起点 \(s\) 和终点 \(t\)，它能在不劣于（不是一定优于）优先队列 bfs（即 Dijkstra）的时间内求出从起点到终点的最短路。

我们先来思考，为什么 Dijkstra 会在有些情况下慢呢？因为它的优先队列只保证了 \(s\) 到队头点的距离最短，但如果队头到 \(t\) 的最短路不是最优解，而队尾点到 \(t\) 是最优解，那么就会花费大量时间使用优先队列前面的点松弛，松弛出来的也不是最优解。A* 就解决了这个问题，它保证了在优先队列中靠前的点 \(u\) 从 \(s\) 到 \(u\) 再到 \(t\) 的路径一定是比较优的。

具体的，对于每个点 \(x\) 都有两个属性 \(g(x),h(x)\)，其中 \(g(x)\) 为起点到当前节点的最短路（由前驱点松弛得到），\(h(x)\) 为 \(x\) 的预估价值，在最短路问题中就是预估的 \(x\) 到 \(t\) 的最短路。定义 \(x\) 点的价值 \(f(x)=g(x)+h(x)\)，优先队列中的节点按价值 \(f\) 排序。

可以发现，当 \(h(x)=0\) 时，一个点的价值就相当于起点到当前点的最短路，这时算法就退化为了 Dijkstra。这启示我们，恰当的 \(h\) 函数值可以让 A* 算法的复杂度降低。需要特别注意的是，\(h\) 预估的值必须是最乐观的估计，即只能估少不能估多。具体证明可以看这篇文章。sto

稍微总结一下，Dijkstra 只是保证了 \(s\) 到队头 \(u\) 最优，而 A* 虽然没有保证它，但它保证了 \(s\) 到 \(u\) 再到 \(t\) 是最优的。

例题

A* 算法最重要的就是 \(h\) 函数的设计。

走迷宫

题目

给出一个 \(n \times m\) 的迷宫，每单位时间内可以从一个点向四个方向走一步求从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 最少需要多少单位时间。

解析

显然 dfs 和 bfs 可做。这里给出 A* 做法。

显然 \(f(x,y)\) 可以

踩蛋

不知道大家发现了没有，想要用 A* 求最短路前，为了得到每个点的 \(h\) 函数，必须知道当前点到终点 \(t\) 的最短路，需要建反图跑 Dijkstra。这样就不如我们直接跑一遍 Dijkstra 了。