组合数学

组合数式子

定义式

\[{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

递推式

\[{n \choose m}={n-1\choose m-1}+{n-1 \choose m} \]

杨辉三角。

对称式

\[{n \choose m}={n \choose n-m} \]

\(n\) 里选 \(m\) 个相当于 \(n\) 里不选 \(m\) 个。

范德蒙德卷积

\[\sum^k_{i=0}{n \choose i}{m \choose k-i}={n+m\choose k} \]

前面 \(n\) 个选 \(i\) 个，后面 \(m\) 个选 \(k-i\) 个

二项式系数和

\[\sum_{i=0}^n{n \choose i}=2^n \]

二项式定理

平方和

\[\sum^n_{i=0}{n \choose i}^2={2n\choose n} \]

范德蒙德卷积可推

上指标求和

\[\sum_{i=0}^n{k+i \choose k}={n+k+1\choose k+1} \]

杨辉三角向下合并。

基础公式

\[{n\choose k}={n\choose k-1}\times \frac{n-k+1}k \]

直接拆，或者考虑新加入一个方案数

带权和

\[\sum^n_{i=0}i{n \choose i}=n2^{n-1} \]

先拆组合数再提 \(n\)，或者看最后一个选哪个

三项式系数

\[{n \choose m}{m \choose k}={n\choose k}{n-k \choose m-k} \]

选出的一堆再选一堆，相当于直接选出最后一堆，整体再选出丢掉的 \(m-k\) 个

带权卷积

\[\sum^n_{i=k}{n \choose i}{i \choose k}={n \choose k}2^{n-k} \]

选出的不固定大小的一堆里再选固定大小的一堆，可以先选出固定的大小，剩余 \(n-k\) 个随意

斐波那契数列

\[\sum^{\left \lfloor \frac n 2 \right \rfloor}_{i=0} {n-i\choose i}=fib_{n+1} \]

走楼梯，一共走 \(n-i\) 步，其中 \(i\) 次走两步

立方和

\[{n \choose 2}^2=\sum_{i=0}^{n-1}i^3 \]

立方和公式

经典组合模型

可重集排列

有 \(n\) 种物品，个数为 \(a_i\)：

\[\frac{(\sum^n_{i=1}a_i)!}{\prod^n_{i=1}(a_i!)} \]

圆排列

将 \(n\) 个物品选出 \(m\) 个排成一圈：

\[\frac 1 mA^m_n \]

可重集组合

有 \(k\) 种物品，每种物品无穷个，选出 \(n\) 个：

\[n+k-1\choose k-1 \]

或：\(n\) 个小球放入 \(k\) 个有标号箱子

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum^n_{i=0}{n\choose i}a^ib^{n-i} \]

卢卡斯定理

\[{n\choose m}\equiv{n/p\choose m/p}\times{n\bmod p\choose m \bmod p}(\bmod p) \]

\(p\) 为质数