树上DS方法汇总

约定

记：

• \(rt\) 为树根
• \(a_x\) 为 \(x\) 原本权值
• \(fa[x],fa_x\) 为 \(x\) 父亲
• \(tr[x]\) 为 \(x\) 子树集合
• \(son[x]\) 为 \(x\) 的儿子集合
• \(d_x\) 为 \(x\) 点深度
• DS 泛指线段树、树状数组

操作、查询无链

只会有单点与子树操作，通过 dfs 序将子树拍到序列上，成为区间问题，用任意 DS 维护。

链操作，单点查询

首先链可以拆成两条从上到下的路径，对它进行操作即可。

链、单点

记 \(cf_x=a_x-\sum_{s \in son[x]} a_s\)。如果更改的链为 \(u\sim v\)（\(v\) 为 \(u\) 祖先），查询的点为 \(p\)

• 链加变为更改 \(cf_{fa[v]},cf_u\)
• 单点查变为 \(p\) 的子树和

问题转化为单点加、子树和的形式，回到“操作、查询无链”。

单点加链和

记 \(s_x=a_x+sum_{fa[x]}\)，即 \(x\) 到 \(rt\) 的权值和。

• 单点加变为 \(p\) 子树加
• 链查询变为单点求 \(sum_u-sum_{fa[x]}\)

转化为子树加、单点和。

总结

操作、查询中带有链与单点，就将链转化为单点、单点转化为子树，使用单点与子树的方法解决。

链、子树

重要！链依旧可以拆成两个。

链加子树和

记 \(cf_x=a_x-\sum_{s \in son[x]} a_s\)

• 链加转化为单点加
• 子树和转化为子树和的子树和（先用差分做子树和算出原数组，在用原数组算出子树和）

对于子树和的子树和，考虑维护两个树状数组，BIT1 维护 \(cf_x\)，BIT2 维护 \(cf_x\times d_x\)。单点加时直接修改两个BIT 的值，答案推式子可得：

\[\begin{aligned} \sum_{s\in tr[x]} \sum_{t\in tr[s]} cf_t &=\sum_{s\in tr[x]} cf_s(d_s-d_{fa[x]})\\ &=\sum_{s\in tr[x]} cf_s\times d_s-d_{fa[x]}\sum_{s\in tr[x]} cf_s \end{aligned}\]

于是问题转化为了单点修改子树查询。

子树加链和

记 \(s_x=a_x+s_{fa[x]}\)

• 链和转化为单点和
• 子树加转化为子树的子树加（原本的子树加，在前缀和上高的点会对低的点前缀和产生影响，加更多）

依旧用 BIT1 维护子树的 \(s_x\)，BIT2 维护子树的 \(s_x\times d_x\)。

当 \(tr[x]\) 整体加 \(\alpha\) 时，有伪代码

\[\begin{aligned} \begin{aligned} &(\forall_{u\in tr[x]}\forall_{t\in tr[u]} s_t+=\alpha)\\ &\Rightarrow (\forall_{u\in tr[x]} s_u)+=(\alpha \times (d_u-d_{fa[x]}))\\ &\Rightarrow (\forall_{u\in tr[x]} s_u)+=\alpha\times d_u;(\forall_{u\in tr[x]} s_u)-=\alpha\times d_{fa[x]} \\ &\Rightarrow BIT1_x-=\alpha\times d_{fa[x]};BIT2_x+=\alpha \end{aligned} \end{aligned}\]

最后求答案需要用到 \(s_x=BIT1_x-BIT2_x\times d_x\)，再利用树上差分可得链和。

链修改、链查询

树链剖分即可。注意查询修改复杂度是 \(O(\log^2 n)\)