一种新奇的字符串哈希方法

前言

做一道需要动态改字符串哈希值的题时，突发奇想获得了一个在某些方面可能更容易维护的字符串哈希方法，据说是对的。

不过据说这好像不算是新方法，它好像早有记载。

Update : 不是据说了，此事在 [CSP-S 2023] 消消乐 中早有记载。

正文

注意：默认字符串下标为 0 - index。

先考虑一个明显错误的哈希：我们给每个字符随机生成一个权值，定义一个字符串的哈希值为其中每个字符的权值和，也就是 \(H(S) = \sum_{i = 0}^{|S| - 1} w[S[i]]\)。

因为出题人不知道每个字符对应的权值，所以正常情况下（至少我能想到的）他会通过交换字符的顺序来卡掉这种哈希。

为什么可以这样卡呢？因为加法是满足交换律的。这启示我们改用一种不满足交换律的运算。

容易想到，矩阵乘法是不满足交换律的。

所以我们给每个字符随机生成一个矩阵，定义一个字符串的哈希值为从左到右做矩阵乘法的结果。

这样，我们就可以比较方便的维护某个区间的哈希值，单点修，并且强度也比普通的字符串哈希要强。缺点是因为有矩阵乘法，所以常数比较大。

这种方法还有一个应用，就是处理有多种括号的括号序列是否匹配。具体的，我们可以让每种扩号的右括号是左括号的逆矩阵。