「MO Formula」
CreeperMO 在参加 2025 高联北京预赛还有 10 分钟结束时开始做一个和三角函数相关的题目，此时他突然发现先前讲过的三角恒等式全都忘却了，于是只能现推，最终考试结束也没把条件化简出来遗憾离场. 痛并思痛，于是有了这篇文章.
代数
极坐标系
\((\rho,\theta)\)，类似于复平面的幅角和模长.
与直角坐标系的转化：\(x=\rho\cos \theta,y=\rho\sin\theta\)，\(\rho^2=x^2+y^2\).
处理曲线时将其转化成极坐标可能简化问题. 尤其是出现与角度有关的特征时.
行列式
行列式是对方阵（\(n \times n\) 矩阵）定义的一个标量值，记作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\).
-
\(1×1\) 矩阵：\(A = [a]\)，行列式 \(\det(A) = a\).
-
\(2×2\) 矩阵：
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc \] -
\(3×3\) 矩阵（萨里法则 / Sarrus' Rule，仅适用于 \(3×3\)）：
\[A = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 \\ \end{vmatrix}, \quad \det(A) = a_1a_5a_9 + a_2a_6a_7 + a_3a_4a_8 - a_3a_5a_7 - a_2a_4a_9 - a_1a_6a_8 \]顶点为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) 的三角形面积为 \(\dfrac12\begin{Vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1\end{Vmatrix}\).
-
\(n \times n\) 矩阵 \(A = (a_{ij})\)，其行列式可以按第 \(i\) 行或第 \(j\) 列展开：
其中 \(A_{ik}\) 是去掉第 \(i\) 行第 \(k\) 列的子矩阵.
极化恒等式
泰勒展开
三角
常用性质
和差角公式
辅助角公式
倍角公式
二倍角
三倍角
\(n\) 倍角
万能公式
把所有函数全都换成 \(\tan\frac\theta2\) 以暴力计算几乎可以解决所有问题，故名为"万能公式".
和差化积 & 积化和差
三角恒等式
在 \(\triangle ABC\) 中，有以下常见性质.
以及一些多项式的取值范围.
| \(\sum x\) | \(\prod x\) | \(\sum x^2\) | |
|---|---|---|---|
| \(\sin A\) | \(\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right]\) | \(\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)\) | \(\left(0,\frac{9}{4}\right]\) |
| \(\sin\frac{A}{2}\) | \(\left(1,\frac{3}{2}\right]\) | \(\left(0,\frac{1}{8}\right]\) | \(\left[\frac{3}{4},1\right)\) |
| \(\cos A\) | \(\left(1,\frac{3}{2}\right]\) | \(\left(-1,\frac{1}{8}\right]\) | \(\left[\frac{3}{4},3\right)\) |
| \(\cos\frac{A}{2}\) | \(\left(2,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\) | \(\left(0,\frac{3}{8}\sqrt{3}\right]\) | \(\left(2,\frac{9}{4}\right)\) |
双曲函数
主要用处在于三角换元.
区别于圆函数在 \(x^2+y^2=1\) 上定义，双曲函数对双曲线 \(x^2-y^2=1\) 上的与原点连线双曲角为 \(\theta\) 的点，定义其坐标为 \((\cosh \theta,\sinh \theta)\). 其中双曲角的角度定义为始边终边与双曲线所形成的双曲扇形面积的两倍.
通过积分，可以得到双曲正余弦用指数函数表达的式子：
类似的定义 \(\tanh,\coth\) 等函数.
双曲函数继承了大部分原函数的公式，只是一些项的正负有区别. 其中和差角公式的右式符号全部与左式一致.
双曲函数的求导法则：
反双曲函数以后再学.
不等式
全导数
对于多元函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)，偏导数 \(f_1=\dfrac{\delta f}{\delta x_1},f_2=\dfrac{\delta f}{\delta x_2},\cdots\)，也就是逮着一个变量求导，其他看成常数. 定义多元函数的全导数为：
全导数是线性运算符，即 \(\left\{\begin{matrix}D(kf)=kD(f)\\D(f+g)=D(f)+D(g)\end{matrix}\right.\);
且继承了所有求导法则，比如 \(\left\{\begin{matrix}D(f\cdot g)=D(f)g+fD(g)\\D\left(\dfrac fg \right)=\dfrac{D(f)g-fD(g)}{g^2}\end{matrix}\right.\).
全导数定理
设 \(n\) 元函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)：\(\mathbb R^n\to\mathbb R\) 满足 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\ge 0\)，如果想证明 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ge 0\)，只需证明：
- 若 \(x_1x_2\cdots x_n=0\)（即让一个变量为 \(0\)），\(f\ge 0\)
- \(D(f)\ge 0\).
这个过程可以递归，这也是全导数优秀的地方.
对偶不等式
pqr方法
不等式基本证明方法
绝对值不等式 / 三角不等式
Jensen 不等式
- 构造函数 \(k(x)\) 使 \(k(0)=LHS,k(1)=RHS\)，利用二阶导证明 \(k(x)\) 的单调性然后再归纳到 \(n\) 元即可，类似均值.
均值不等式
- \(a_i>0\)，在 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 时取等.
- 二元均值配方显然，可以归纳到 \(2^n\) 元均值成立，然后取 \(a_n=\frac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i\) 或 \(\sqrt[n-1]{\prod\limits_{i=1}^{n-1}a_i}\) 向下归纳即得证.
AM - GM
-
其中 \(\sum \alpha_i=1\)，\(x_i\ge 0\).
-
也可以用上面的方法证明，需要用有理逼近无理. 下面是一种分析的方法：
因为 \(\ln x\le x-1\)，所以
\[\sum_{i=1}^n\left(\alpha _i\ln\frac{x_i}{GM}\right)\le\sum_{i=1}^n\alpha_i\left(\frac{x_i}{GM}-1\right)\]所以
\[\ln\left(\prod_{i=1}^n\frac {x_i^{\alpha_i}}{GM^{\alpha_i}}\right)=\ln\frac{GM}{GM}=0\le\frac{AM}{GM}-1\]移项得证.
幂平均
对于 \(x_i>0,r\in R\)。定义 \(r\) 次幂平均为
- 根据极限，\(A_0=GM,A_{+\infty}=\max\limits_{1\le i\le n}x_i,A_{-\infty}=\min\limits_{1\le i\le n}x_i\).
- 若 \(s<r\)，则 \(A_s\le A_r\)，取得当且仅当所有 \(x_i\) 相同.
- 可以加权：
马克劳林
定义初等对称多项式：
- 如果 \(x_i\) 非全负，则 \(\left(\frac{\sigma_r}{C_n^r}\right)^{\frac1r}\) 关于 \(r\) 递减，其中 \(1\le r\le n\)，全体 \(x_i\) 相等时取等.
柯西不等式
-
在 \(a_i=\lambda b_i\) 时取等，其中 \(\lambda\) 为常数.
-
使用 Lagrange 恒等式有：
- 也可以考察二次函数的判别式.
Aczel
- \(A,B>0,A^2\ge \sum a_i^2,B^2\ge \sum b_i^2\).
- 取 \(|\vec{a}|^2=\sum a_i^2,| \vec b|^2=\sum b_i^2\)，\(\sqrt{(A^2-|\vec a|^2)(B^2-|\vec b|^2)}\le AB-|\vec a|\cdot|\vec b|\le AB-\vec a\cdot\vec b\).
- 或者考察 \((Ax+B)^2-\sum(a_ix+b_i)^2\) 的判别式.
Cauchy 变式 & Titu 引理
Holder 不等式
- 其中 \(a_i,b_i\ge 0,p,q>0,\frac1p+\frac1q=1\).
- 借助 Young 不等式 \(\dfrac{x^p}p+\dfrac{y^q}{q}\ge xy\) （由 AM - GM 可证）,令 \(x=\dfrac{a_i}{\left(\sum a_j^p\right)^\frac1p},y=\dfrac{b_i}{\left(\sum b_j^q\right)^\frac1q}\)，对 \(i\) 求和即得证.
- 可视为柯西不等式的推广.
- 可加权.
Holder 变式 & 权方和
- 取等同柯西.
- 令 Holder 不等式中 \(p=r+1,q=\frac 1r+1\).
卡尔松不等式
- 一般形式：\[\begin{gather}\prod_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n w_ia_{i,j}^{p_j}\right)^{\frac1{p_j}}\ge\sum_{i=1}^nw_i\left(\prod_{j=1}^m a_{i,j}\right)\end{gather} \]
- \(p_j>0,\sum \frac 1{p_j}=1,a_{i,j}\ge 0,\sum w_i=1\).
Minkowski
排序不等式
设 \(a_1\le a_2\le\cdots\le a_n,b_1\le b_2\le\cdots\le b_n\)，\(a_{p_1},a_{p_2},\cdots,a_{p_n}\) 为 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的任意一个排列，\(b_{p_1},b_{p_2},\cdots,b_{p_n}\) 为 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 的任意一个排列，则有：
Abel 变换
Chebyshev 不等式
其中 \(a_1\le a_2\le\cdots\le a_n,b_1\le b_2\le\cdots\le b_n\)，在 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\cdots=b_n\) 时取等.
Shur 不等式
其中 \(a,b,c>0,t\in\mathbb{R}\).
伯努利不等式
- 若 \(x>-1,\alpha\ge 1\) 或 \(\alpha\le 0\) 即有：\[\begin{gather}(1+x)^\alpha\ge1+\alpha x\end{gather} \]
- 取等：\(\alpha=0,1\) 或 \(x=0\)
- 证明：对 \(\alpha\) 求导
- 如果 \(0<\alpha<1\) 则反号.
- 若 \(x_i\ge 0\) 即有：
- 去等：至多一个非零.
- 证明方法：归纳
- $x_i\in[-1,0]$ 时也成立.
几何
梅涅劳斯定理 & 塞瓦定理
梅涅劳斯
设 \(A',B',C'\) 分别是 \(\triangle ABC\) 上三边 \(AB,BC,CA\) 或其延长线上的点，则 \(A',B',C'\) 共线的充要条件为
塞瓦定理
设 \(A',B',C'\) 分别是 \(\triangle ABC\) 上三边 \(AB,BC,CA\) 或其延长线上的点，则 \(AA',BB',CC'\) 共点（平行相交于无穷远点）的充要条件是
其中 \(A_1,B_1,C_1\) 分别是 \(\triangle ABC\) 外接圆三段弧上的点.
其他几何定理
西姆松定理
- 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线.
- 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.
托勒密定理
圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.
- 如果 \(A\) 是圆上一点，\(AB,AC,AD\) 是圆上顺次的三条弦，则
- 四边形 \(ABCD\) 内接于 \(\odot O\)，则
-
托勒密的逆定理：在凸四边形 \(ABCD\) 中，若 \(AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD\)，则 \(A,B,C,D\) 四点共圆.
-
四边形中的托勒密定理：设 \(ABCD\) 为任意凸四边形，则 \(AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD\). 在四点共圆时取等.
帕斯卡定理
设广义六边形（即可以有顶点重合） \(ABCDEF\) 内接于二次曲线，设 \(AB\cap DE=X,CD\cap FA=Z,EF\cap BC=Y\)，则 \(X,Y,Z\) 三点共线. 此线称为帕斯卡线.
每个六边形有 \(60\) 条帕斯卡线.
五心与九点圆
三角形的五心
内心
重心
三角形三条中线的交点，设为 \(G\).
- \(G\) 是三条中线的三等分点.
- \(S_{\triangle BCG}=S_{\triangle BAG}=S_{\triangle ACG}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\)
-
\[\]
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