生成函数学习笔记

一般生成函数 OGF

A是一类组合对象构成的集合
其中大小为i的物品数量为A_i

\[A(x)=\sum_{n>=0}A_n*x^n \]

组成序列

组合元素可以理解为一种由基本元素构成的集合

\[\\ \\ \\ \]

\[\\ \\ \\ \]

这里所说的SEQ(A)是一个以OGF为自变量的函数
表示的是有A中元素有序排列，大小相加构成的所有元素 所组成的集合
结合上文的两个例子理解

\(f(x)\)存在逆元的充要条件是\(f(x)\)的常数项存在逆元

指数生成函数 EGF

A是一类组合对象构成的集合
其中大小为i的物品数量为A_i

\[A(x)=\sum_{n>=0}\frac{A_n}{n!}*x^n \]

EGF的乘法定义

\[\begin{align*} &设C(x)=A(X)*B(X) \\ &则系数C_n=\sum_{i+j=n}A_i*B_j*\frac{(i+j)!}{i!*j!} \\ &等价于\frac{C_n}{n!}=\sum_{i+j=n}\frac{A_i}{i!}*\frac{B_j}{j!} \\ \end{align*} \]

实际做题中

对于EGF，我们通常把它变成OGF

按照OFG的运算准则进行运算

然后最后再重新变换为EGF

OGF转EGF 系数除以\(n!\)

EGF转OGF 系数乘以\(n!\)

组成序列/集合

\[\\ \\ \\ \]