关于莫比乌斯反演的一些思考

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借助mobius反演
可以推导出以下定理

\[\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}f(gcd(i,j))=\sum_{T=1}^{min(N,M)}\frac{N}{T}*\frac{M}{T}*\sum_{k|T}f(k)*μ(\frac{T}{k}) \]

2

在已知F和G的情况下，这两个函数的计算都需要nlogn的时间（调和级数）

\[A(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d}) \]

\[B(n)=\sum_{n|d}f(d)*g(\frac{d}{n}) \]

但是有一些特殊情况

当F和G都是积性函数的时候

它们的狄利克雷卷积也是积性函数

而积性函数是可以线性筛的！

不过会比较麻烦，需要具体问题具体讨论