基础算法系列总结:回溯算法(解火力网问题)

理论辅助:

回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为:

1、定义一个解空间,它包含问题的解。

2、利用适于搜索的方法组织解空间。

3、利用深度优先法搜索解空间。

4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的,这是回溯算法的一个重要特性。

 

还是那个基调,不喜欢纯理论的东西,喜欢使用例子来讲诉理论,在算法系列总结:动态规划(解公司外包成本问题) 的那一节里面 我们举得是经典的0-1背包问题,在回溯算法里面也有一些很经典的问题,当然,动态规划的0-1背包问题其实也可以使用回溯算法来解。在诸如此类似的求最优解的问题中,大部分其实都可以用回溯法来解决,可以认为回溯算法一个”通用解题法“,这是由他试探性的行为决定的,就好比求一个最优解,我可能没有很好的概念知道怎么做会更快的求出这个最优解,但是我可以尝试所有的方法,先试探性的尝试每一个组合,看看到底通不通,如果不通,则折回去,由最近的一个节点继续向前尝试其他的组合,如此反复。这样所有解都出来了,在做一下比较,能求不出最优解吗?

例子先行,现在我们来看看经典的N后问题

问题描述:在n*n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规矩,皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在n*n格的棋盘上方置n个皇后,任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。我们需要求的是可放置的总数。

image

基本思路:   用n元组x[1;n]表示n后问题的解。其中,x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不容许将2个皇后放在同一列上,所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题,这一隐约束条件可以化成显约束的形式。如果将n*n 格的棋盘看做二维方阵,其行号从上到下,列号从左到右依次编号为1,2,...n。从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线(即斜率为-1的各斜线)上,2个下标值的差(行号-列号)值相等。同理,斜率为+1的每条斜线上,2个下标值的和(行号+列号)值相等。因此,若2个皇后放置的位置分别是(i,j)和(k,l),且 i-j = k -l 或 i+j = k+l,则说明这2个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知,只要|i-k|=|l-j|成立,就表明2个皇后位于同一条斜线上。

1、从空棋盘起,逐行放置棋子。
2、每在一个布局中放下一个棋子,即推演到一个新的布局。
3、如果当前行上没有可合法放置棋子的位置,则回溯到上一行,重新布放上一行的棋子。

代码:

View Code
#include <stdio.h> 
#include
<math.h>
 
#include
<stdlib.h>
 
static int n,x[1000
]; 
static    long
sum; 
int Place(int
k) 

for(int j=1;j <k; j++

   
if((abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return 0

    
return 1

  }

void Backtrak(int
t) 

  
if(t>n) sum++

  
else
 
      
for(int i=1; i <= n; i++

       { 
            x[t]
=
i; 
           
if(Place(t))Backtrak(t+1
); 
       } 
}

int
main() 

   
int
nn; 
   
while(scanf("%d",&nn)!=
EOF) 
    { 
    n
=
nn; 
    sum
=0

   
for(int i=0;i<=n;i++

    x[i]
=0

    Backtrak(
1
); 
    printf(
"%d\n"
,sum); 

}

这段代码有必要解释一下,Place(int)即尝试看是否可以,如果不可以则回退到t+1层,再尝试其他的组合。

这里也道出了回溯算法的核心思想:但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择


 

算法实践:

问题描述在一个n*n的网格里,每个网格可能为“墙壁”(用‘X’表示)和“街道”(用‘.’表示)。现在在街道放置碉堡,每个碉堡可以向上下左右四个方向开火,子弹射程无限远。墙壁可以阻挡子弹。问最多能放置多少个碉堡,使它们彼此不会互相摧毁。

如下面四张图,墙壁用黑正方形表示,街道用空白正方形表示,圆球就代表碉堡。1,2,3是正确的,4,5是错误的。以为4,5里面在某一行或者某一列有两个碉堡,这样他们就会互相攻击了。意思明白了吗?可能我的表达很不清晰,呵呵….

输入输出示例
Sample input:

4
       ——————输入的n值 
.X.. 

.... 

XX..

.... 

2
 
XX 
.X 
3
 
.X. 
X.X 
.X. 
4
 
.... 
.... 
.... 
....

Sample output:

5
 
1
 
5
 
4 

初拿到这个问题,你会不会想到回溯算法呢?有人说遍历墙的位置,然后再墙的上下左右四个格子放置碉堡会得到最优解,这个我没有验证过,细细的用笔画了画,好像是这么回事,但是很多时候要知道最优解用什么方法是很难发现的,利用通用解题方法回溯法,我们可以在一片茫然的时候开始我们的编程

首先我们来分析一下这个问题:使用回溯法,我们尝试每一种可能放置的情况,然后进行判断是否满足要求,若不满足,尝试放到下一个单元格,如此反复,最终,我们将所有可能放置的情况全部遍历出来了,连所有情况都出来了,难不成还找不到最优解吗?哈哈。。说做就做…

View Code
    #include <stdio.h>
     
char map[4][4];
     
int best,n;
     
int canput(int row, int col)
     {
        
int i;
        
for (i = row - 1; i >= 0; i--
        {
          
if (map[i][col] == 'o'return 0
          
if (map[i][col] == 'x'break;
        }
        
for (i = col - 1; i >= 0; i--)
        {
          
if (map[row][i] == 'o'return 0
          
if (map[row][i] == 'x'break;
        }
        
return 1;
     }
 
     
void solve(int k,int tot)
     {
        
int x,y;
        
if(k==n*n)
        {
          
if(tot>best) 
          {
           best
=tot;   return;
          }
        }
        
else
        {
          x
=k/n;
          y
=k%n;
          
if((map[x][y]=='.'&& (canput(x,y) ) )
          {
            map[x][y]
='o';
            solve(k
+1,tot+1);
            map[x][y]
='.';
          }
         solve(k
+1,tot);
         }
      }
 
     
int main()
     {
        
int i,j;
        scanf(
"%d",&n);
        
while(n>0)
        {
          
for(i=0;i< n;i++)
             
for(j=0;j< n;j++)
                 scanf(
"%1s",&map[i][j]); 
          best
=0;
          solve(
0,0);
          printf(
"%d\n",best);
          n
=0;                             
          scanf(
"%d",&n);
        }
        
return 0;
 }

 对上面的代码做一下点解释,canput是做检验的,检验放在某个地点到底行不行得通,solve才是真正进行递归回溯的函数。。

 

 

 算法系列目录:

1.算法系列总结:分治算法

2.算法系列总结:贪心算法

3.算法系列总结:动态规划(解公司外包成本问题)

4.算法系列总结:回溯算法(解火力网问题)

5.算法系列总结:分支限界算法  


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posted @ 2011-05-20 21:33  大熊先生|互联网后端技术  阅读(12518)  评论(4编辑  收藏  举报