P2260 [清华集训 2012] 模积和

P2260 [清华集训 2012] 模积和 - Description

给定正整数 \(n\) 和 \(m\)，求

\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} (n \bmod i) \times (m \bmod j), i \neq j\mod 19940417 \]

的值

\(1\le n,m\le 10^9\)。

P2260 [清华集训 2012] 模积和 - Solution

感觉有点无脑。

首先令 \(n\le m\)。

\[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (n\bmod i) \times (m\bmod j)-\sum_{i=1}^n (n\bmod i)\times (m\bmod i)\\&= \sum_{i=1}^n \left ( n\bmod i \right )\times \sum_{i=1}^m \left ( m\bmod i\right )-\sum_{i=1}^n \left ( n\bmod i \right )\times \left ( m\bmod i \right )\\&= \sum_{i=1}^n \left ( n- \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i \right )\times \sum_{i=1}^m \left ( m-\lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i \right )-\sum_{i=1}^n \left ( n-\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i \right )\times \left ( m-\lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i \right ) \\&= \left ( n^2-\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i \right )\times \left ( m^2-\sum_{i=1}^m \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i \right )-\sum_{i=1}^n \left ( n\times m-n\times \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\times i - m\times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\times i + \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i^2 \right )\\&= \left ( n^2-\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i \right )\times \left ( m^2-\sum_{i=1}^m \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i \right )-n^2m+n\times \sum_{i=1}^n \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i+m\times \sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times i -\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \lfloor \frac{m}{i} \rfloor i^2 \end{aligned} \]

现在这坨东西是 \(O(n)\) 的。碰到下取整那当然是 imagine 一下数论分块啦

形如 \(\sum \lfloor x\rfloor \times k\) 是经典的，这里主要讲讲最后面那一坨，即

\[\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{i} \rfloor \times i^2 \]

这个东西我们称之为 二维数论分块。类似一维地，存在类似的规律，即在一个块内 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \frac{m}{i} \rfloor\) 相等。

此处为了使两个下取整的积相等，更新右端点时应比较两个下取整，看哪个离左端点距离近。

时间复杂度还是 \(O(\sqrt{n})\)。

这题还有个难点是 \(O(1)\) 算 \(\sum i^2\)，但是这是个小学数学题，只挂个结论。

\[\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 19940417
using namespace std;
long long n,m,ans,ans1,sumn,summ,sumnm,qwqq;
inline void init_n(){
	int r=1;
	for(int l=1;l<=n;l=r+1){
		int now=n/l;
		r=n/now;
		sumn+=(l+r)*(r-l+1)/2%mod*now%mod;
		sumn%=mod;
	}
	return;
}
inline void init_m(){
	int r=1;
	for(int l=1;l<=m;l=r+1){
		int now=m/l;
		r=m/now;
		summ+=(l+r)*(r-l+1)/2%mod*now%mod;
		summ%=mod;
	}
	return;
}
int S(int n){return 1ll*n*(n+1)%mod*(n+n+1)%mod*3323403%mod;}
inline void get_sumnm(){
	int r=1;
	for(int l=1;l<=m;l=r+1){
		int now=m/l;
		r=m/now;
        if(r>=n){
            sumnm+=(l+n)*(n-l+1)/2%mod*now%mod;
            break;
        }
		sumnm+=(l+r)*(r-l+1)/2%mod*now%mod;
		sumnm%=mod;
	}
	return;
}
inline void qwq(){
	int r=1;
	for(int l=1;l<=n;l=r+1){
		int now=m/l;
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		qwqq+=(n/l)*now%mod*(S(r)-S(l-1))%mod;
		qwqq%=mod;
	}
	return;
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	if(n>m){
		swap(n,m);
	}
	init_n();
	init_m();
	get_sumnm();
	qwq();
	ans=n*n%mod;
	ans-=sumn;
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
	ans1=m*m%mod;
	ans1-=summ;
	ans1=(ans1%mod+mod)%mod;
	ans*=ans1;
	ans%=mod;
	ans-=n*n%mod*m%mod;
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
	ans+=n%mod*sumnm%mod;
	ans%=mod;
	ans+=m*sumn%mod;
	ans%=mod;
	ans-=qwqq;
	ans=(ans%mod+mod)%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}