P2261 [CQOI2007] 余数求和 题解

P2261 - Description

给出正整数 \(n\) 和 \(k\)，请计算

\[G(n,k)=\sum_{i=1}^n k\mod i \]

\(1\le n.k\le 10^9\)。

P2261 - Solution

首先很自然地把 \(k\mod i\) 转化为 \(k-i\times \lfloor \frac{k}{i}\rfloor\)。再把每次不变的 \(k\) 移到 \(\sum\) 外面去，就得到了

\[G(n,k)=n\times k-\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{k}{i} \rfloor\times i \]

式子可以直接整除分块搞。

记当前块的左端点为 \(l\)，右端点为 \(r\)。由于 \(\left [ l,r\right ]\) 内所有数的 \(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\) 都是相等的，因此当前块对答案的贡献为：

\[\begin{align} \sum_{i=l}^r \lfloor \frac{k}{i} \rfloor\times i &=\sum_{i=l}^r \lfloor \frac{k}{l} \rfloor\times i\\ &=\lfloor \frac{k}{l} \rfloor\times\sum_{i=l}^r i\\ &=\lfloor \frac{k}{l} \rfloor\times \frac{(l+r)\times (r-l+1)}{2} \end{align} \]

可以 \(O(1)\) 计算。

总复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)，可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long n,k,ans;
inline int getsum(int l,int r){
	return (l+r)*(r-l+1)/2;
}
signed main(){
	cin>>n>>k;
	ans=n*k;
	int r=1;
	for(int l=1;l<=n;l=r+1){
		if(l>k){
			break;
		}
		r=k/(k/l);
		if(r>n){
			r=n;
		}
		ans-=getsum(l,r)*(k/l);
//		cout<<l<<" "<<r<<endl;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}