P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者 题解

P5304 [GXOI/GZOI2019] 旅行者

Description

给你一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向连通图，给出 \(k\) 个点的编号，让你求出这些点中距离最近的两点之间距离。

\(n\le 10^5,m\le 5\times 10^5\)。

Solution

这题是一个十分经典的 trick —— 二进制分组。

大概的思路类似于有源汇网络流，即建立一个超级源点和超级汇点，跑最短路。具体来说，把 \(k\) 个结点随机分到两个集合 \(s\) 和 \(t\) 中，用一个 bool 数组来记录这 \(k\) 个点，如果编号为 \(i\) 的点在 \(s\) 中记为 \(0\)，在 \(t\) 中记为 \(1\)。

由于这个图是有向图，所以先从超级源点向所有 \(s\) 中的点连边，从 \(t\) 中的所有点向 \(t\) 连边跑 \(\log n\) 次最短路，再反过来跑 \(\log n\) 次最短路，最后所有最短路的最小值即为答案。

时间复杂度 \(O(Tn\log n\log k)\)，可以通过。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long T,n,m,k,a[500005],ans;
priority_queue<pair<int,int>>q;
struct graph{
	long long tot,head[500005],id[500005],dis[500005];
	struct node{
		int from,to,w,nxt;
	}e[500005];
	inline void init(){
		tot=0;
		memset(head,0,sizeof(head));
		return;
	}
	inline void add(int u,int v,int w){
		e[++tot].from=u;
		e[tot].to=v;
		e[tot].w=w;
		e[tot].nxt=head[u];
		head[u]=tot;
		return;
	}
	inline void dijkstra(){
		for(int i=1;i<=500000;i++){
			dis[i]=LONG_LONG_MAX;
				id[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=k;i++){
			dis[a[i]]=0;
			id[a[i]]=a[i];
			q.push(make_pair(0,a[i]));
		}
		while(!q.empty()){
			int u=q.top().second;
			int d=-q.top().first;
			q.pop();
			if(d==dis[u]){
				for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
					int v=e[i].to,w=e[i].w;
					if(dis[v]>d+w){
						dis[v]=d+w;
						id[v]=id[u];
						q.push(make_pair(-dis[v],v));
					}
				}
			}
		}
		return;
	}
}G[2];
signed main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m>>k;
		G[0].init();
		G[1].init();
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int u,v,w;
			cin>>u>>v>>w;
			if(u^v){
				G[0].add(u,v,w);
				G[1].add(v,u,w);
			}
		}
		for(int i=1;i<=k;i++){
			cin>>a[i];
		}
		G[0].dijkstra();
		G[1].dijkstra();
		ans=LONG_LONG_MAX;
		for(int u=1;u<=n;u++){
			for(int i=G[0].head[u];i;i=G[0].e[i].nxt){
				int v=G[0].e[i].to;
				int w=G[0].e[i].w;
				if(G[0].id[u]&&G[1].id[v]&&G[0].id[u]^G[1].id[v]){
					ans=min(ans,G[0].dis[u]+G[1].dis[v]+w);
				}
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}