第三章动态规划实验报告
《动态规划实验报告》 计科2001 陈梓聪 20201003024
动态规划的使用：通过第三章学习了动态规划，我们了解到：在原问题最优解依赖于子问题的最优解，且子问题存在重叠子问题的时候，我们用动态规划的思想去考虑这个问题。
动态规划的分析过程：首先，动态归划分析问题的过程分为四步：1.分析原问题的子结构特点 2.列出递推式（转移方程）3.给定初始化和边界条件 4.自底向上计算问题（填表）
在这个实验报告中，我将以本次实验的7-3题为例子，谈一下我对动态规划的浅薄理解。
题目如下：
一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。
输入格式:
第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；
后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。
输出格式:
至少需要的费用。
分析问题依赖关系：我们知道，要走到右下角，只能从它的左边或者上面走过来。所以对于最低通行费，我们可以知道，最终的最低通行费依赖它左边和它上面的最低通行费，它的左边同样依赖左边的左边和左边的上面。这样我们就可以发现依赖关系。
建立递推式：我们先建立一个二维数组，称为money，原数组称为a,代表着从起点到该点的最低通行费。我们就可以用money表示递推式：。
分析边界条件：我们再来分析一下边界条件，因为要走到a[0, j]或者a[i,0]，(1<=i<=N, 1<=j<=N)都是直接从起点开始走，中途不经过拐弯得到的最低费用。所以我们可以开始初始化表格：
money
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
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1 |
1 |
5 |
11 |
19 |
29 |
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2 |
3 |
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3 |
9 |
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4 |
19 |
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5 |
39 |
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填表：开始填表，填表格的代码如下：
for(int i =2;i<=n;i++)
for(int j=2;j<=n;j++){
money[i][j] = min(money[i-1][j],money[i][j-1])+a[i][j];
}
分析时间、空间复杂度：本次问题解决之后，我们再分析时间复杂度。可以看到，我们关键填表格的代码是用的n*n的时间，就证明我们的时间复杂度是O(n*n)级别的。而我们创建了一个money数组和a数组，用n*n的额外空间，所以我们的空间复杂度为O(n*n)。
心得与体会：动态规划这类型的题目，模型较多，依赖关系有的时候比较复杂，所以我们在分析这类问题的时候，要先将原问题和子问题的依赖关系分析好，再去进行接下来的步骤。在写题目的过程中，我们也要把要分析的问题的初始化做好，如果初始化没做或者步骤出错，可能对整个结果造成的影响是灾难性的。这类题目如果暂时想不到，可以尝试一下自己手画表格填一下表，可能会有意外的收获。
