2025牛客寒假算法基础集训营3

B 智乃的质数手串

先考虑链而不是环的情况。

因为前面的元素不可能用于消去后面的元素，所以删除的顺序不影响有解性。

对于链的情况，我们直接用栈维护未消去的元素，每次插入新元素前尽可能删去栈顶，若最后栈中只剩最后一个元素则有解。

环有解等价于任意一个循环移位有解，而循环移位不破坏前面元素的相对顺序，于是我们直接复制一遍，滑动窗口即可。

---

D 智乃的Notepad(Hard version)

容易发现每次询问的最优策略：考虑 \([l,r]\) 内的串构成的 Trie，我们从根开始 dfs，并且最后走通向深度最大节点的那条路，到达深度最大节点后不再回溯。

也就是求 Trie 边数的两倍减去最大深度。

最大深度就是 RMQ，容易处理，问题是如何求区间内的串构成 Trie 的点数。

如果我们把询问离线到 \(r\) 上，那么每次询问的便是在 \(l\) 之后的插入串覆盖点集的并。

想象我们第 \(k\) 次插入一个串相当于把路径上的点都染上颜色 \(k\)，用一个数组维护当前各个颜色点数，问题就变成求区间和，树状数组做就好。

---

E 智乃的小球

经典的速度交换可以看作直接穿过，最多碰撞次数就是对每个 \(-1\) 前面的 \(1\) 求和，前缀和处理即可。

然后是求第 \(k\) 次碰撞时间，我们二分答案 \(mid\)。

对每个 \(-1\)，坐标小于 \(p-2 \cdot mid\) 的小球不会与之碰撞，我们二分出这个位置，利用前面的前缀和即可计算 \(mid\) 之内的碰撞次数。

郑州站的教训：实数域二分直接写成常数次更安全。

---

G 智乃与模数

这道比较板，求 \(n \mod i\) 前 \(k\) 大之和，我们二分出这个第 \(k\) 大，然后对超过它的部分数论分块求和即可。