[ksm][数学] Jzoj P5810 简单的玄学

Description

 

Input

第一行两个正整数 n, m。 

Output

一行两个整数，它们的含义如题所述。 

 

Sample Input

【样例 1 输入】
3 2

【样例 2 输入】
1 3

【样例 3 输入】
4 3
 

Sample Output

【样例 1 输出】 
1 8 
【样例 2 输出】 
1 1 
【样例 3 输出】 
23 128

 

Data Constraint

对于 10% 的数据，nm < 16；
对于 30% 的数据，nm < 64；
对于 50% 的数据，nm ≤ 10^3；
对于 70% 的数据，m ≤ 10^6；
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 10^18 , 2 ≤ m ≤ 10^18。

 

题解

• 可以考虑将问题转换为求m个数都互不相同的概率
• 显然，对于所有人取数的可能性是2^nm
• 那么现在如果确定了1号的数，那么2与它不相同的概率求出2^n-1，3与1、2不相同的概率就是2^n-2...以此类推
• 一共有m-1个数
• 那么总共就是
• 然后考虑将其约分，那么对于分母是只有2的质因数的，那么分子也只能约2
• 考虑能约多少个
• 对于任意一个1<=a<2^n，a与2^n-a的中2的次数相同
• 因此，只用求出(m-1)!的2的次数就好了
• 答案就是1-a/b=(b-a)/b

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const long long mo=1e6+3;
long long n,m;
long long ksm(long long a,long long b)
{
    long long r=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mo) if(b&1) r=r*a%mo;
    return r;   
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if (log2(m)>n) 
    {
        printf("1 1\n");
        return 0;
    }
    long long a=ksm(2,n),down=ksm(a,m),up=1;
    for (long long i=0;i<m;i++)
    {
        up=up*(a-i)%mo;
        if (!up) break;
    }
    m--; long long k=n;
    for (long long i=2;i<=m;i<<=1) k+=m/i;
    down=down*ksm(500002,k)%mo;
    up=up*ksm(500002,k)%mo;
    printf("%lld %lld\n",(down-up+mo)%mo,down);
}