[数位dp][斯特林反演] Jzoj P5765 相互再归的鹅妈妈

Description

 

Input

Output

 

Sample Input

Input 1
3 1
101
Input 2
4 3
10
Input 3
5 100
1

Sample Output

Output 1
1
Output 2
1978
Output 3
598192244
 

Data Constraint

对于所有数据，保证满足m<=50000

 

 

题解

  • 题目大意：选出n个0~R-1的数，两两不能相同，要使得这n个数的异或和为0，求方案数
  • 要求求无序方案，可以转化为求有序方案，最后除n!
  • 现在，考虑一下，如果不要求两两不能相同（就是可以相同），可以怎么做
  • 枚举脱离限制的位置（该位置在R中必须为1），脱离限制也就是说后面怎样选都不会超过R（也就是R为1的位置选了0）
  • 可以用g(n)表示，选n个数异或值为0的方案数
  • 然后，考虑加上两两必须不同
  • 可以用斯特林反演式子来求容斥
  • 式子：[𝑚=1]=∑︀∏︀(𝑘,𝑖=1)(𝑎[𝑖] − 1)!(−1)^𝑎[𝑖]−1
  • 枚举一个m的集合划分，其实k就是这种集合划分方案的几何数，而a表示各个集合的大小（可以用dfs实现）
  • 注意，答案最后要除于n!，要用逆元做

代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define M 5000010
 5 #define N 8
 6 #define ll long long
 7 #define up(x,y) x=(x+(y))%mod
 8 using namespace std;
 9 const int mod=1000000007;
10 int n,m,K,w[M],p2[M][N],pw[M][N];
11 ll g[N],C[N][N],f[N],fac[N],ans;
12 char s[50010];
13 bool a[M];
14 ll ksm(ll a,ll b)
15 {
16     ll r=1;
17     for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) r=r*a%mod;
18     return r;   
19 }
20 void find(int num,int v)
21 {
22     if(v>n)
23     {
24         ll c=1,cnt=0;
25         for(int i=1;i<=num;i++) c=c*fac[f[i]-1]*((f[i]&1)?1:-1)%mod;
26         for(int i=1;i<=num;i++) if(f[i]&1) cnt++; else c=c*w[1]%mod;
27         up(ans,c*g[cnt]);   
28         return;
29     }
30     for(int i=1;i<=num+1;i++) f[i]++,find(max(num,i),v+1),f[i]--;
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%d%d%s",&n,&K,s+1);
35     m=strlen(s+1);
36     for(int i=0;i<K;i++)
37         for(int j=1;j<=m;j++)
38             a[i*m+j]=s[j]-'0';
39     m*=K;
40     for(int i=m,mi=1;i;i--,mi=(mi<<1)%mod) w[i]=(w[i+1]+mi*a[i])%mod;
41     fac[0]=1;
42     for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;  
43     C[0][0]=1;
44     for(int i=1;i<=n;C[i][0]=1,i++)
45         for(int j=1;j<=i;j++)
46             C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
47     bool flag=0;
48     g[0]=1;
49     for(int i=0,tmp=1;i<=m+1;i++,tmp=(tmp<<1)%mod)
50     {
51         p2[i][0]=pw[i][0]=1;
52         for(int j=1;j<=n;j++) p2[i][j]=(ll)tmp*p2[i][j-1]%mod,pw[i][j]=(ll)w[i]*pw[i][j-1]%mod;
53     }
54     for(int i=1;i<=m;flag|=a[i],i++)
55         if(a[i])
56         for(int j=1;j<=n;j++)
57             if(!flag||!(j&1))
58                 for(int k=0;k<=((j-1)>>1);k++)
59                     up(g[j],C[j][k<<1]*pw[i+1][k<<1]%mod*p2[m-i][j-(k<<1)-1]);
60     find(0,1);
61     printf("%lld",(ans+mod)*ksm(fac[n],mod-2)%mod);
62     return 0;
63 }

 

 

posted @ 2018-08-08 22:00  BEYang_Z  阅读(562)  评论(0)    收藏  举报