矩阵表示法求递推式第 $N$ 项

矩阵表示法求递推式第 \(N\) 项

首先我们有这样一个递推式：
\(F_{(n)}=a_1F_{(n-1)}+a_2F_{(n-2)}+a_3F_{(n-3)}+\cdots+a_kF_{(n-k+1)}\)

那么我们就可以构造出一个矩阵：
\(A=\begin{pmatrix}a_1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\a_2 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\a_3 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\a_4 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_k & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\)

通过递推公式，我们可以得到：
\(\begin{pmatrix}a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_{n-k+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{k} & a_{k-1} & a_{k-2} & \cdots & a_{1}\end{pmatrix}*A^{n-k+1}\)

则我们可以使用矩阵快速幂的方法得到递推式第\(N\)项的值。