Scheme来实现八皇后问题(1)

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　　作者：窗户

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　　看到有人写八皇后，那我就也写写这个吧。

 

　　八皇后问题

　　

　　这个问题大家应该都不陌生，很多计算机教程都以八皇后为例题。

　　

 

　　上面是一个国际象棋棋盘，总共8X8个格子。

　　皇后是国际象棋里杀力最强的子，它可以吃掉同一条横线、竖线上其他棋子，也可以吃掉所在的两条斜线上的其他棋子（当然在角上只有一条斜线）。

　　

　　能否在棋盘上放更多的皇后，让彼此之间不能互相吃到？基于很显然一行或者一列最多只有一个皇后，那么这个8X8的棋盘是否可以放8个皇后？

　　

　　解的表示

 

　　8个皇后的表示可以用坐标，那么就是8个坐标的集合，其中行、列都是范围1~8的数字。

　　考虑到每一行都只有一个，我们完全可以用让8个皇后按照行坐标进行从小到大排序，那么必然8个皇后的行坐标分别是1、2、3、4、5、6、7、8，于是这都是无用的信息。又因为只有8列，而且任意两个皇后都不能同列，从而每一列也有且只有一个，从而刚才排序之后的8个皇后的纵坐标序列是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列。于是每一种可行的解对应着1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列。

　　考虑更一般的情况，n皇后问题：nXn的棋盘上放n个皇后，要求彼此之间不互相吃。那么它的每一个解对应着1~n的一个排列。

 

　　解法框架

 

　　一种做法就是先找到1~n的所有排列，然后筛选符合条件的结果。

 　　那么利用filter算子最终代码很容易给出:

(define (queen n)
 (filter
  valid?
  (P n)
 )
)

　　

　　这里的(P n)是所有的1~n排列的集合，这里排列当然用list来表示，集合也用list来表示。

　　集合的每个元素是没有序的关系，所以逻辑上表示集合的list我们应该忽略其各个元素的序的差别。

　　比如(P 2)表示的是'((1 2) (2 1))，或者是'((2 1) (1 2))，无论哪种实现，都是可行的。

 

　　valid?是个谓词函数(返回bool值的函数)，它的作用是对于某个具体排列，判断其表示的n个皇后有没有互相吃的情况：

　　如果有两个皇后互相吃，那么这个排列不可以作为最后的解，应当返回假，Scheme里也就是#f；

　　如果不存在两个皇后互相吃，那么这个排列可以作为最后的皆，从而应当返回真，Scheme里也就是#t。

　　

　　filter算子就是使用valid?这样的谓词函数来过滤后面的集合，

　　比如(filter even? '(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10))就是抓取其中为偶数的元素组成的集合，那么当然返回'(2 4 6 8 10)。

　　filter这么常用的算子似乎并未出现在r5rs中，很奇怪，我在这里就给出一个实现如下：

(define (filter boolf set)
 (cond
  ((null? set) '())
  ((boolf (car set)) (cons (car set) (filter boolf (cdr set))))
  (else (filter boolf (cdr set)))
 )
)

 　　

　　接下去就是P函数和valid?函数的实现。

 

　　全排列

 

　　第一个问题就是要解决1~n的所有排列，可能会有人考虑将所有的排列用字典排序依次输出。

　　不过这一般是迭代的思想，而对于一种Lisp，我们第一反应一般是递归。

　　

　　假设我们已经有1~n-1的全排列了，那么我们怎么得到1~n的全排列呢？

　　我们可以取1~n-1的一个排列，不妨用字母标注

　　a₁ a₂ ... a_n-1

　　我们希望找个位置插入n，得到新的1~n的排列。

　　这个插入点一共有n个，分别为：

　　a₁之前

　　a₁和a₂之间

　　a₂和a₃之间

　　...

　　a_n-2和a_n-1之间

　　a_n-1之后

　　从而可以得到n个1~n的排列。

　　而对1~n-1的所有排列都这么做，则构成了1~n的所有排列，且不存在重复。

　　

　　比如1~2的所有排列组成的集合为

　　((1 2) (2 1))

　　现在我们要用它生成1~3的全排列

　　对于(1 2)，有3个插入点，插入3，得到三个排列

　　(3 1 2) (1 3 2) (1 2 3)

　　对于(2 1)，有3个插入点，插入3，得到三个排列

　　(3 2 1) (2 3 1) (2 1 3)

　　以上6个排列组成的集合就是我们所需要的结果。

　　

　　首先，当然要建立一个往列表某个位置插值的函数list-insert,带三个参数，将列表lst的位置pos插入v。而对于位置的解释是，列表头之前的位置称为0，然后依次增加。比如(1 2 3)的位置1插入4，得到列表(1 4 2 3)。这个很容易用递归设计出来，如下：

(define (list-insert lst pos v)
 (if (zero? pos) (cons v lst)
  (cons (car lst) (list-insert (cdr lst) (- pos 1) v))
 )
)

　　上述(list-insert '(1 2 3) 1 4)，运算返回'(1 4 2 3)

　　

　　按照上面的递归思想，我们使用map算子先写一点测试测试，我们希望从1~2的全排列推到1~3的全排列

　　(map

　　 (lambda (x) (map (lambda (m) (list-insert x m 3)) '(0 1 2))) ;对于每个排列，给出0、1、2三个位置插入3

　　 '((1 2)(2 1))

　　)

　　结果为

　　'(((3 1 2) (1 3 2) (1 2 3)) ((3 2 1) (2 3 1) (2 1 3)))

　　

　　这很像我们所要的，但似乎又不是，因为我们需要应该是'((3 1 2) (1 3 2) (1 2 3) (3 2 1) (2 3 1) (2 1 3))

　　实际上，(apply append '(((3 1 2) (1 3 2) (1 2 3)) ((3 2 1) (2 3 1) (2 1 3))))就是我们需要的结果了。

　　而apply是把最后一个参数(这个参数一定要是i列表)展开。

　　于是上述就成了(append '((3 1 2) (1 3 2) (1 2 3)) '((3 2 1) (2 3 1) (2 1 3)) )，当然就是我们需要的结果了。

　　

　　而只有1个元1的全排列集合就是'((1))，这是递归的边界，

　　结合上述，全排列的函数定义应该如下：

(define (P n)
 (if (= n 1) '((1))
  (apply append 
   (map 
    (lambda (x) (map (lambda (m) (list-insert x m n)) (range 0 n)))
    (P (- n 1))
   )
  )
 )
)

　　

 

　　判断合法

 

　　目前只剩下valid?函数的实现了。实际上，在我们开始采用用1~n排序来作为最后的解的时候，已经把棋盘中同行同列的情况给排除了。于是，valid?函数实际上是要判断是否有两个棋子在同一个斜线上。

　　比如'(1 3 6 4 2 5 8 7)表示如图的八个皇后，皇后的位置被打了红圈

　　

　　其中存在着皇后互吃，

　　

　　在数据上看，'(1 3 6 4 2 5 8 7)，其中

　　1和4相差3，距离也为3(1在列表的第0个位置，4在列表的第3个位置，所以距离为3)；

　　3和8相差5，距离也为5；

　　8和7相差1，距离也为1。

　　对应着上面三对互吃的皇后。

　　

　　我们这里可以用迭代来完成，这有点类似于过程式语言的循环了。

　　从左到右先距离为1的，看看有没有值也相差1的，如果有，那么valid?返回假，也就是#f

　　然后从左到右再扫距离为2的....

　　...

　　最后当距离到n的时候，直接返回真，也就是#f(因为最左边和最右边距离达到，也就是n-1，此时代表所有可能都已扫过)

(define (_valid? x left-pos distance)
 (cond
  ;当距离以及达到列表长度了，扫完了，返回真
  ((= distance (length x)) #t)
  ;如果发现差值等于距离，这一对皇后互吃，返回假
  ((= distance (abs (- (list-ref x left-pos) (list-ref x (+ left-pos distance))))) #f)
  ;如果这个距离还没扫完，那么往后推一个扫
  ((< (+ left-pos distance) (- (length x) 1)) (_valid? x (+ left-pos 1) distance))
  ;否则，这个距离的已经扫完，距离加1，从最左边开始扫
  (else (_valid? x 0 (+ distance 1)))
 )
)

　　

　　用它实现valid?，初始的时候，从left-pos为0，distance为1的一对皇后开始扫起

(define (valid? x)
 (_valid? x 0 1)
)

 

 

　　运行

　　

　　我们就拿8个皇后来测试一下，计算(queen 8)

　　得到　　

((4 7 3 8 2 5 1 6) (3 6 4 2 8 5 7 1) (3 5 2 8 6 4 7 1) (6 3 7 2 4 8 1 5) (3 6 8 2 4 1 7 5) (3 7 2 8 6 4 1 5) (3 5 2 8 1 7 4 6) (6 3 7 2 8 5 1 4) (3 6 2 7 5 1 8 4) (3 6 2 5 8 1 7 4) (7 3 8 2 5 1 6 4) (3 7 2 8 5 1 4 6) (3 6 2 7 1 4 8 5) (4 2 7 3 6 8 5 1) (4 2 7 3 6 8 1 5) (5 2 4 6 8 3 1 7) (5 2 4 7 3 8 6 1) (2 4 6 8 3 1 7 5) (5 7 2 6 3 1 8 4) (5 7 2 6 3 1 4 8) (8 2 5 3 1 7 4 6) (2 7 3 6 8 5 1 4) (7 2 6 3 1 4 8 5) (2 6 8 3 1 4 7 5) (4 7 5 2 6 1 3 8) (6 4 2 8 5 7 1 3) (4 2 5 8 6 1 3 7) (4 2 7 5 1 8 6 3) (7 4 2 5 8 1 3 6) (4 2 8 5 7 1 3 6) (4 6 8 2 7 1 3 5) (7 4 2 8 6 1 3 5) (4 2 8 6 1 3 5 7) (5 7 2 4 8 1 3 6) (2 5 7 4 1 8 6 3) (6 8 2 4 1 7 5 3) (7 2 4 1 8 5 3 6) (8 2 4 1 7 5 3 6) (5 2 6 1 7 4 8 3) (5 2 8 1 4 7 3 6) (2 7 5 8 1 4 6 3) (6 2 7 1 4 8 5 3) (2 6 1 7 4 8 3 5) (2 5 7 1 3 8 6 4) (6 2 7 1 3 5 8 4) (2 8 6 1 3 5 7 4) (4 7 5 3 1 6 8 2) (4 8 5 3 1 7 2 6) (4 6 8 3 1 7 5 2) (5 3 8 4 7 1 6 2) (3 5 8 4 1 7 2 6) (3 6 4 1 8 5 7 2) (6 3 7 4 1 8 2 5) (3 8 4 7 1 6 2 5) (6 3 5 7 1 4 2 8) (6 3 5 8 1 4 2 7) (3 5 7 1 4 2 8 6) (3 6 8 1 4 7 5 2) (6 3 1 8 4 2 7 5) (7 5 3 1 6 8 2 4) (5 3 1 6 8 2 4 7) (5 3 1 7 2 8 6 4) (6 3 1 7 5 8 2 4) (6 3 1 8 5 2 4 7) (3 6 8 1 5 7 2 4) (7 3 1 6 8 5 2 4) (3 1 7 5 8 2 4 6) (8 3 1 6 2 5 7 4) (5 7 4 1 3 8 6 2) (5 8 4 1 3 6 2 7) (4 1 5 8 6 3 7 2) (6 4 7 1 3 5 2 8) (8 4 1 3 6 2 7 5) (4 8 1 3 6 2 7 5) (5 7 1 3 8 6 4 2) (1 6 8 3 7 4 2 5) (7 1 3 8 6 4 2 5) (5 1 8 6 3 7 2 4) (1 5 8 6 3 7 2 4) (5 8 4 1 7 2 6 3) (6 4 1 5 8 2 7 3) (4 6 1 5 2 8 3 7) (4 7 1 8 5 2 6 3) (4 8 1 5 7 2 6 3) (4 1 5 8 2 7 3 6) (6 4 7 1 8 2 5 3) (5 1 4 6 8 2 7 3) (5 7 1 4 2 8 6 3) (5 1 8 4 2 7 3 6) (1 7 4 6 8 2 5 3) (1 7 5 8 2 4 6 3) (6 1 5 2 8 3 7 4))

　　一共92个解。