POJ2480

题目：求\(\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\)

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd(i,n)=\sum_{d\mid n}(d\times\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(i,n)==d])=\sum_{d\mid n}(d\times\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}[\gcd(di,n)==d])\)
\(=\sum_{d\mid n}d\times\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}[\gcd(i,n/d)==1]=\sum_{d\mid n}d\times\varphi(\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor)\)

然而这么做是会TLE的

显然\(g(n)=gcd(a,n)\)是积性函数（a为常数），而积性函数的和也是积性函数（？），所以\(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\)是积性函数
那么答案就是\(\prod\limits_{i=1}^k f(p_i^{c_i})\)

考虑开始推出的结论，可以知道
\(f(p^c)=\sum\limits_{i=0}^c p^i\times\varphi(p^{c-i})=\sum\limits_{i=0}^{c-1} p^i\times(p^{c-i}-p^{c-i-1})+p^c=\sum\limits_{i=0}^{c-1} (p^c-p^{c-1})+p^c=c\times(p-1)\times p^{c-1}+p^c\)

那么答案就显然了